1. 在比例式$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$中，两个内项的积是。

1. $\sqrt{6}$

【分析】
首先要回忆比例式的组成结构：形如$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$的比例式可转化为$a:b=c:d$的形式，其中位于比例中间位置的两个项$b$和$c$叫做比例的内项，位于两端的$a$和$d$叫做外项。解题时先从给出的比例式中找到两个内项，再计算它们的乘积即可得到结果。
【解析】
将比例式$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$写成比的形式为$\sqrt{2}:\sqrt{6}=1:\sqrt{3}$，根据比例内项的定义，可知两个内项为$\sqrt{6}$和$1$。
计算两个内项的积：$\sqrt{6} × 1 = \sqrt{6}$。
【答案】
$\sqrt{6}$
【知识点】
比例的项的定义；二次根式的乘法运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查对比例各部分名称的识别，解题时注意区分内项和外项，避免混淆两类项的位置导致计算错误。
【难度系数】
0.9

2.若$5a=4b$，则$a:b=$.若$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}$，则$x:y=$.

2. $4:5\quad 3:4$

【分析】
本题考查比例基本性质的应用，解题思路如下：1. 对于乘积形式的等式$5a=4b$，我们可以逆用比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积），将其转化为$a:b$的形式，注意等式两侧的因数要分别对应比例的外项和内项，避免写反；2. 对于分数形式的比例式$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}$，先通过交叉相乘转化为乘积式，再用同样的方法变形得到$x:y$的比值。
【解析】
1. 已知$5a = 4b$，根据比例的基本性质，若将$a$和$5$作为比例的外项，$4$和$b$作为比例的内项，可得$a:b = 4:5$；
2. 已知$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}$，交叉相乘（应用比例基本性质）得$4x = 3y$，同理转化为比例式可得$x:y = 3:4$。
【答案】
$4:5$；$3:4$
【知识点】
比例的基本性质；比例式变形
【点评】
本题属于比例相关的基础题型，核心是熟练掌握比例基本性质的正用和逆用，变形时注意区分比例的内项和外项，避免出现比值颠倒的错误。
【难度系数】
0.9

3.若$m:n=2:3$，则$\dfrac{2m - n}{m + n}=$.

3. $\frac{1}{5}$

【分析】
已知m与n的比值，我们可以采用参数法求解：先根据比例关系设参数分别表示m和n，再将其代入待求的分式中，通过约分消去参数即可得到结果。这是解决已知比值求代数式值类问题的常用思路，能避免复杂的分数运算，降低出错率。
【解析】
解：
∵ $ m:n = 2:3 $
∴ 设 $ m = 2k $，$ n = 3k $（$ k ≠ 0 $）
将 $ m = 2k $，$ n = 3k $ 代入 $ \dfrac{2m - n}{m + n} $ 得：
$\begin{aligned}\dfrac{2m - n}{m + n}&=\dfrac{2× 2k - 3k}{2k + 3k}\\&=\dfrac{4k - 3k}{5k}\\&=\dfrac{k}{5k}\\&=\dfrac{1}{5}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{1}{5}$
【知识点】
比例的性质、分式化简
【点评】
本题是比例应用的基础题型，核心考查参数法在比例相关计算中的运用，熟练掌握设参数的技巧就能快速准确求解这类题目。
【难度系数】
0.9

4. 已知$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$，则$\frac{a+b}{b}$的值为 （$\quad$）

A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{5}{3}$
D.$\frac{3}{5}$

4. C

【分析】
已知$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$，求$\frac{a+b}{b}$的值，有两种符合学段要求的解题思路：第一种是利用分式拆分规则，将待求式拆成包含$\frac{a}{b}$的形式，直接代入已知条件计算；第二种是设参数法，根据已知的比例关系设参数表示a和b，再代入待求式约分化简得到结果。
【解析】
方法一：拆分分式计算
根据分式的运算性质，$\frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+\frac{b}{b}=\frac{a}{b}+1$，
将$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$代入上式，可得$\frac{a+b}{b}=\frac{2}{3}+1=\frac{5}{3}$。
方法二：设参数法
设$a=2k$，$b=3k$（$k≠0$，符合比例的基本性质），
将$a=2k$、$b=3k$代入待求式得：$\frac{a+b}{b}=\frac{2k+3k}{3k}=\frac{5k}{3k}=\frac{5}{3}$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
比例的性质，分式化简求值
【点评】
本题是比例相关的基础题型，考查对比例性质的理解和简单应用，用到的拆分法、设参数法都是比例计算中常用的基础技巧，熟练掌握后可以快速解决同类题型。
【难度系数】
0.9

5. 判断 $2-\sqrt{2},1,2,2+\sqrt{2}$ 四个数是否成比例.如果成比例,试写出一个比例式.

5. $\frac{2-\sqrt{2}}{1}=\frac{2}{2+\sqrt{2}}$

【分析】
要判断四个数是否成比例，可先将四个数按从小到大（或从大到小）的顺序排列，再分别计算最小数与最大数的乘积、中间两个数的乘积，若两个乘积相等，则四个数成比例，反之则不成比例。若成比例，可根据比例的基本性质“两外项积等于两内项积”写出对应的比例式。
【解析】
步骤1：先对四个数从小到大排序：
已知$\sqrt{2}\approx1.414$，因此$2-\sqrt{2}\approx0.586$，$2+\sqrt{2}\approx3.414$，排序得：$2-\sqrt{2}＜1＜2＜2+\sqrt{2}$。
步骤2：验证乘积是否相等：
最小数与最大数的乘积：$(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})=2^2-(\sqrt{2})^2=4-2=2$；
中间两个数的乘积：$1×2=2$。
两个乘积相等，说明这四个数成比例。
步骤3：根据比例的基本性质写比例式：
将$2-\sqrt{2}$和$2+\sqrt{2}$作为外项，1和2作为内项，可得比例式$\frac{2-\sqrt{2}}{1}=\frac{2}{2+\sqrt{2}}$（比例式不唯一）。
【答案】
$\frac{2-\sqrt{2}}{1}=\frac{2}{2+\sqrt{2}}$
【知识点】
比例的基本性质，成比例的判定，二次根式的运算
【点评】
本题是比例判定的基础题型，解题核心是掌握“排序后验证最大与最小乘积、中间两数乘积是否相等”的判定方法，能有效降低试写比例式的难度，注意符合条件的比例式不唯一，只要满足比例基本性质即可。
【难度系数】
0.7

6. 求下列比例式中的 $x$.
(1) $\frac{x}{2}=\frac{x+1}{3}$.
(2) $\frac{x}{x+1}=\frac{x-1}{2}$.

6. (1)$x=2$ (2)$x_1=1+\sqrt{2}\quad x_2=1-\sqrt{2}$

【分析】
解比例式的核心是利用比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，将比例式转化为整式方程后求解。对于分式形式的比例，求解后要检验根是否使原分母不为0，避免出现增根。第(1)题转化后为一元一次方程，移项合并即可求解；第(2)题转化后为一元二次方程，整理为标准形式后用求根公式或配方法求解，最后检验根的有效性。
【解析】
(1) 对$\frac{x}{2}=\frac{x+1}{3}$，根据比例的基本性质交叉相乘得：
$3x = 2(x+1)$
去括号得：$3x = 2x + 2$
移项、合并同类项得：$x = 2$
检验：将$x=2$代入原比例式，左边$\frac{2}{2}=1$，右边$\frac{2+1}{3}=1$，左右两边相等，故$x=2$是原方程的解。
(2) 对$\frac{x}{x+1}=\frac{x-1}{2}$，由分母不为0得$x ≠ -1$，根据比例的基本性质交叉相乘得：
$2x = (x+1)(x-1)$
利用平方差公式展开右边得：$2x = x^2 - 1$
移项整理为一元二次方程标准形式：$x^2 - 2x - 1 = 0$
其中$a=1, b=-2, c=-1$，判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×(-1) = 8$
由求根公式得：$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$
检验：$x_1=1+\sqrt{2}$和$x_2=1-\sqrt{2}$均满足$x ≠ -1$，代入原方程左右两边均相等，故均为原方程的解。
【答案】
(1)$x=2$；(2)$x_1=1+\sqrt{2}, x_2=1-\sqrt{2}$
【知识点】
比例的基本性质；一元一次方程解法；一元二次方程解法
【点评】
本题考查比例方程的求解，解题关键是熟练运用比例性质将比例式转化为熟悉的整式方程，注意分式形式的比例求解后要验根，避免出现增根，同时要熟练掌握一元一次、一元二次方程的求解方法。
【难度系数】
0.7