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7.已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，判断比例式$\frac{a}{b}=\frac{a+2b}{c+2d}$是否成立，并说明理由。
答案
7. 不成立,如 $a=2,b=3,c=4,d=6$ 代入验证即可
解析
【分析】
要判断给定的比例式是否成立，可通过两种思路验证：一是根据已知比例关系做恒等变形，推导是否能得到待判断的比例式；二是采用举反例法，只要找到一组满足已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，但不满足待判断比例式的数值，即可证明该比例式不成立。本题用举反例的方法更简便，先选取符合已知比例的具体数值，再代入待验证式子对比左右两边结果即可。
【解析】
该比例式不成立，理由如下：
选取满足$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$的数值：$a=2,b=3,c=4,d=6$，此时$\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$，符合已知条件。
分别计算待判断比例式的左右两边：
左边：$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$
右边：$\frac{a+2b}{c+2d}=\frac{2+2×3}{4+2×6}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$
显然$\frac{2}{3}≠\frac{1}{2}$，因此该比例式不成立。
【答案】
不成立,如 $a=2,b=3,c=4,d=6$ 代入验证即可
【知识点】
比例的性质；反例法应用
【点评】
本题考查比例式成立的判断，解题时注意不能对已知比例做无依据的随意变形，举反例是验证比例类结论是否成立的简便方法，适用性较强。
【难度系数】
0.7
要判断给定的比例式是否成立，可通过两种思路验证：一是根据已知比例关系做恒等变形，推导是否能得到待判断的比例式；二是采用举反例法，只要找到一组满足已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，但不满足待判断比例式的数值，即可证明该比例式不成立。本题用举反例的方法更简便，先选取符合已知比例的具体数值，再代入待验证式子对比左右两边结果即可。
【解析】
该比例式不成立，理由如下：
选取满足$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$的数值：$a=2,b=3,c=4,d=6$，此时$\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$，符合已知条件。
分别计算待判断比例式的左右两边：
左边：$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$
右边：$\frac{a+2b}{c+2d}=\frac{2+2×3}{4+2×6}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$
显然$\frac{2}{3}≠\frac{1}{2}$，因此该比例式不成立。
【答案】
不成立,如 $a=2,b=3,c=4,d=6$ 代入验证即可
【知识点】
比例的性质；反例法应用
【点评】
本题考查比例式成立的判断，解题时注意不能对已知比例做无依据的随意变形，举反例是验证比例类结论是否成立的简便方法，适用性较强。
【难度系数】
0.7
8. 已知$\frac{x}{3}=\frac{y}{2}$，那么下列式子中一定成立的是（
A.$2x=3y$
B.$3x=2y$
C.$x=6y$
D.$xy=6$
A
）A.$2x=3y$
B.$3x=2y$
C.$x=6y$
D.$xy=6$
答案
8. A
解析
【分析】
本题考查比例的基本性质应用，解题思路有两种：①直接利用比例的基本性质变形：比例式中，两个外项的乘积等于两个内项的乘积，对已知的比例式交叉相乘即可得到等价的等式，再和选项比对；②参数法：设已知比例的比值为参数k，用含k的式子表示x、y，代入各个选项验证是否恒成立。
【解析】
方法一：根据比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。
已知$\frac{x}{3}=\frac{y}{2}$，该比例的外项为$x$和$2$，内项为$3$和$y$，交叉相乘可得：
$2x=3y$，对应选项A成立。
其余选项验证：B选项$3x=2y$与推导结果不符，错误；C选项$x=6y$显然不成立；D选项$xy=6$，举例验证：当$x=6$，$y=4$时，$\frac{6}{3}=\frac{4}{2}$满足已知条件，但$xy=24≠6$，故D不恒成立。
方法二：设$\frac{x}{3}=\frac{y}{2}=k$，则$x=3k$，$y=2k$。
代入A选项：左边$2x=6k$，右边$3y=6k$，左边=右边，恒成立；
代入B选项：左边$3x=9k$，右边$2y=4k$，仅当$k=0$时相等，不是一定成立；
代入C选项：左边$x=3k$，右边$6y=12k$，仅当$k=0$时相等，不是一定成立；
代入D选项：$xy=3k×2k=6k²$，仅当$k²=1$时等于6，不是一定成立。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
比例的基本性质
【点评】
本题是比例性质的基础考查题，难度较低，只要熟练掌握比例式交叉相乘的变形规则，就能快速选出正确答案，是学习比例相关内容必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.9
本题考查比例的基本性质应用，解题思路有两种：①直接利用比例的基本性质变形：比例式中，两个外项的乘积等于两个内项的乘积，对已知的比例式交叉相乘即可得到等价的等式，再和选项比对；②参数法：设已知比例的比值为参数k，用含k的式子表示x、y，代入各个选项验证是否恒成立。
【解析】
方法一：根据比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。
已知$\frac{x}{3}=\frac{y}{2}$，该比例的外项为$x$和$2$，内项为$3$和$y$，交叉相乘可得：
$2x=3y$，对应选项A成立。
其余选项验证：B选项$3x=2y$与推导结果不符，错误；C选项$x=6y$显然不成立；D选项$xy=6$，举例验证：当$x=6$，$y=4$时，$\frac{6}{3}=\frac{4}{2}$满足已知条件，但$xy=24≠6$，故D不恒成立。
方法二：设$\frac{x}{3}=\frac{y}{2}=k$，则$x=3k$，$y=2k$。
代入A选项：左边$2x=6k$，右边$3y=6k$，左边=右边，恒成立；
代入B选项：左边$3x=9k$，右边$2y=4k$，仅当$k=0$时相等，不是一定成立；
代入C选项：左边$x=3k$，右边$6y=12k$，仅当$k=0$时相等，不是一定成立；
代入D选项：$xy=3k×2k=6k²$，仅当$k²=1$时等于6，不是一定成立。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
比例的基本性质
【点评】
本题是比例性质的基础考查题，难度较低，只要熟练掌握比例式交叉相乘的变形规则，就能快速选出正确答案，是学习比例相关内容必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.9
9.若$\frac{2y + 3x}{5y - 3x} = \frac{3}{5}$，则$x:y$的值为
$\frac{5}{24}$
。答案
9. $\frac{5}{24}$
解析
【分析】
本题给出了关于x、y的比例式，要求x与y的比值，解题思路如下：首先利用比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，将分式形式的比例式转化为整式方程；再通过移项、合并同类项，把含x的项和含y的项分别放在等号两侧；最后将式子变形为x:y的形式即可求出结果。
【解析】
已知$\frac{2y + 3x}{5y - 3x} = \frac{3}{5}$，根据比例的基本性质，交叉相乘得：
$5(2y + 3x) = 3(5y - 3x)$
展开括号：
$10y + 15x = 15y - 9x$
移项，将含x的项移到等号左侧，含y的项移到等号右侧：
$15x + 9x = 15y - 10y$
合并同类项：
$24x = 5y$
两边同时除以$24y$（比例中分母不为0，故$y≠0$），得：
$\frac{x}{y} = \frac{5}{24}$
即$x:y = \frac{5}{24}$
【答案】
$\frac{5}{24}$
【知识点】
1.比例的基本性质
2.代数式化简
【点评】
本题属于比例相关的基础题型，核心是考查比例基本性质的应用，解题时需注意交叉相乘后移项的符号问题，避免因符号计算错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
本题给出了关于x、y的比例式，要求x与y的比值，解题思路如下：首先利用比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，将分式形式的比例式转化为整式方程；再通过移项、合并同类项，把含x的项和含y的项分别放在等号两侧；最后将式子变形为x:y的形式即可求出结果。
【解析】
已知$\frac{2y + 3x}{5y - 3x} = \frac{3}{5}$，根据比例的基本性质，交叉相乘得：
$5(2y + 3x) = 3(5y - 3x)$
展开括号：
$10y + 15x = 15y - 9x$
移项，将含x的项移到等号左侧，含y的项移到等号右侧：
$15x + 9x = 15y - 10y$
合并同类项：
$24x = 5y$
两边同时除以$24y$（比例中分母不为0，故$y≠0$），得：
$\frac{x}{y} = \frac{5}{24}$
即$x:y = \frac{5}{24}$
【答案】
$\frac{5}{24}$
【知识点】
1.比例的基本性质
2.代数式化简
【点评】
本题属于比例相关的基础题型，核心是考查比例基本性质的应用，解题时需注意交叉相乘后移项的符号问题，避免因符号计算错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
10. 已知$\dfrac{x}{x+2}=\dfrac{3}{4}$，求$\dfrac{x^2+1}{x+1}$的值.
答案
10. $\frac{37}{7}$
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步先利用比例的基本性质求解已知的比例式，得到x的取值；第二步将求出的x代入待求的代数式计算结果。首先回忆比例的基本性质：比例中两内项之积等于两外项之积，将分式形式的比例式转化为整式方程求解x，求解后验证x是否使原分式分母不为0，排除增根后再代入求值即可。
【解析】
解：已知$\dfrac{x}{x+2}=\dfrac{3}{4}$，根据比例的基本性质交叉相乘得：
$4x=3(x+2)$
展开括号：$4x=3x+6$
移项计算得：$x=6$
检验：当$x=6$时，原方程分母$x+2=8≠0$，因此$x=6$是原方程的解。
将$x=6$代入$\dfrac{x^2+1}{x+1}$得：
$\dfrac{6^2+1}{6+1}=\dfrac{36+1}{7}=\dfrac{37}{7}$
【答案】
$\dfrac{37}{7}$
【知识点】
比例的基本性质；分式方程求解；代数式求值
【点评】
本题属于基础计算题，解题核心是先通过比例性质求出未知数的值，再代入待求式计算，求解时注意检验分式方程的解是否使分母不为零，避免出现增根导致错误。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：第一步先利用比例的基本性质求解已知的比例式，得到x的取值；第二步将求出的x代入待求的代数式计算结果。首先回忆比例的基本性质：比例中两内项之积等于两外项之积，将分式形式的比例式转化为整式方程求解x，求解后验证x是否使原分式分母不为0，排除增根后再代入求值即可。
【解析】
解：已知$\dfrac{x}{x+2}=\dfrac{3}{4}$，根据比例的基本性质交叉相乘得：
$4x=3(x+2)$
展开括号：$4x=3x+6$
移项计算得：$x=6$
检验：当$x=6$时，原方程分母$x+2=8≠0$，因此$x=6$是原方程的解。
将$x=6$代入$\dfrac{x^2+1}{x+1}$得：
$\dfrac{6^2+1}{6+1}=\dfrac{36+1}{7}=\dfrac{37}{7}$
【答案】
$\dfrac{37}{7}$
【知识点】
比例的基本性质；分式方程求解；代数式求值
【点评】
本题属于基础计算题，解题核心是先通过比例性质求出未知数的值，再代入待求式计算，求解时注意检验分式方程的解是否使分母不为零，避免出现增根导致错误。
【难度系数】
0.8
11. 已知$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$，求$\frac{x+y+z}{x+y-z}$的值.
答案
11. 9
解析
【分析】
遇到等比形式的已知条件时，我们通常采用设参数的方法解题：先设等比的比值为k（k≠0），将x、y、z分别用含k的代数式表示，再代入所求的分式中，参数k会在约分过程中消去，即可求出分式的值。
【解析】
设$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k$（$k≠0$），
则$x=2k$，$y=3k$，$z=4k$。
将上述结果代入$\frac{x+y+z}{x+y-z}$得：
$\frac{x+y+z}{x+y-z}=\frac{2k+3k+4k}{2k+3k-4k}=\frac{9k}{k}=9$。
【答案】
9
【知识点】
比例的性质；代数式化简求值
【点评】
本题是比例相关的基础题型，核心考查等比问题中设参数的解题方法，该方法能将多个相关未知量用同一参数表示，大大降低代数式求值的计算难度，是解决比例类求值问题的常用技巧。
【难度系数】
0.85
遇到等比形式的已知条件时，我们通常采用设参数的方法解题：先设等比的比值为k（k≠0），将x、y、z分别用含k的代数式表示，再代入所求的分式中，参数k会在约分过程中消去，即可求出分式的值。
【解析】
设$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k$（$k≠0$），
则$x=2k$，$y=3k$，$z=4k$。
将上述结果代入$\frac{x+y+z}{x+y-z}$得：
$\frac{x+y+z}{x+y-z}=\frac{2k+3k+4k}{2k+3k-4k}=\frac{9k}{k}=9$。
【答案】
9
【知识点】
比例的性质；代数式化简求值
【点评】
本题是比例相关的基础题型，核心考查等比问题中设参数的解题方法，该方法能将多个相关未知量用同一参数表示，大大降低代数式求值的计算难度，是解决比例类求值问题的常用技巧。
【难度系数】
0.85
★12. 已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. 求证: $\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}$(其中$b+d≠0,b-d≠0)$.
答案
12. 证明:设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k,\therefore a=kb,c=kd,\therefore \frac{a+c}{b+d}=\frac{kb+kd}{b+d}=k,\frac{a-c}{b-d}=\frac{kb-kd}{b-d}=k,\therefore \frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}$
解析
【分析】
本题属于比例等式证明题，已知两个比值相等，要证明另外两个比值相等，可采用比例问题中最常用的“设参法”解题：先设已知相等的两个比的公共比值为k，将a、c转化为含k、b、d的代数式，再分别代入待证等式的左右两边进行化简，若两边化简后结果相同，即可证明等式成立。题目给出的$b+d≠0$、$b-d≠0$是为了保证待证式的分母有意义，可正常约分计算。
【解析】
证明：设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$，
$\therefore a=kb$，$c=kd$，
$\because b+d≠0$，
$\therefore \frac{a+c}{b+d}=\frac{kb+kd}{b+d}=\frac{k(b+d)}{b+d}=k$，
$\because b-d≠0$，
$\therefore \frac{a-c}{b-d}=\frac{kb-kd}{b-d}=\frac{k(b-d)}{b-d}=k$，
$\therefore \frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}$，原式得证。
【答案】
$\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}$，等式成立。
【知识点】
比例设参法，分式化简，比例的性质
【点评】
本题是比例相关的基础证明题，核心考察比例问题的设参技巧，通过引入公共参数将不同变量关联，代入化简即可完成证明，解题时需注意分母不为0的前提条件，确保分式有意义。
【难度系数】
0.8
本题属于比例等式证明题，已知两个比值相等，要证明另外两个比值相等，可采用比例问题中最常用的“设参法”解题：先设已知相等的两个比的公共比值为k，将a、c转化为含k、b、d的代数式，再分别代入待证等式的左右两边进行化简，若两边化简后结果相同，即可证明等式成立。题目给出的$b+d≠0$、$b-d≠0$是为了保证待证式的分母有意义，可正常约分计算。
【解析】
证明：设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$，
$\therefore a=kb$，$c=kd$，
$\because b+d≠0$，
$\therefore \frac{a+c}{b+d}=\frac{kb+kd}{b+d}=\frac{k(b+d)}{b+d}=k$，
$\because b-d≠0$，
$\therefore \frac{a-c}{b-d}=\frac{kb-kd}{b-d}=\frac{k(b-d)}{b-d}=k$，
$\therefore \frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}$，原式得证。
【答案】
$\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}$，等式成立。
【知识点】
比例设参法，分式化简，比例的性质
【点评】
本题是比例相关的基础证明题，核心考察比例问题的设参技巧，通过引入公共参数将不同变量关联，代入化简即可完成证明，解题时需注意分母不为0的前提条件，确保分式有意义。
【难度系数】
0.8
