1.已知线段$a,b,c$,其中$c$是$a$和$b$的比例中项，$a=4$，$b=9$，则$c=$（）

A.4
B.6
C.9
D.36

1.B

【分析】
解题首先抓住核心条件：c是线段a、b的比例中项，先回忆比例中项的定义：若c是a、b的比例中项，则满足$c^2=ab$。其次要注意c是线段，长度为正数，计算后需舍去负根。解题步骤为：先根据比例中项性质列等式，代入a、b的数值计算$c^2$，再结合线段长度的非负性求出c的取值即可。
【解析】
解：
∵c是a和b的比例中项，
∴根据比例中项的定义可得：$c^2 = ab$，
将$a=4$，$b=9$代入得：$c^2 = 4×9 = 36$，
又
∵c是线段长度，即$c＞0$，
∴$c = \sqrt{36} = 6$，
故选B。
【答案】
B
【知识点】
比例中项的定义；算术平方根的应用
【点评】
本题属于基础题，重点考查对比例中项概念的掌握，解题时容易忽略线段长度为正的隐含条件，错选负数解或直接选36，做题时要注意审题，关注条件的隐含限制。
【难度系数】
0.8

2. 如图，点C是线段AB的黄金分割点，且$AC＜BC$，$AC=mBC$，则$m$的值是（）

A.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
C.$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
D.$\sqrt{5}-2$

2.A

【分析】
解题时首先回忆黄金分割的定义：若点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＜BC），满足$\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{AB}$，则称点C是AB的黄金分割点，这个公共比值为黄金比。题目已知AC=mBC，变形可得$m=\frac{AC}{BC}$，正好对应黄金比的定义，也可通过代入列方程求解验证。
【解析】
已知点C是线段AB的黄金分割点，且$AC＜BC$，根据黄金分割的性质可得：
$\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
又因为$AC=mBC$，等式两边同时除以长度不为0的BC，可得：
$m=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
【答案】
A
【知识点】
黄金分割，比例的基本性质
【点评】
本题主要考查黄金分割的基本概念，解题核心是明确黄金分割中较短线段与较长线段的比值为固定的黄金比，掌握对应定义即可快速得出结果，属于基础概念考查类题目。
【难度系数】
0.8

3. 小慈同学在学习了今天的新课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程。

3.2

【分析】
解题时先观察最后给出的特殊比例关系，已知$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\sqrt{2}$，要求$\frac{a}{c}$的值，我们可以利用比例的性质，将两个已知的比例式相乘，消去中间量$b$，即可求出$\frac{a}{c}$的结果。
【解析】
解：由题意得$\frac{a}{b}=\sqrt{2}$，$\frac{b}{c}=\sqrt{2}$。
将两个等式左右两边分别相乘：
$\frac{a}{b} × \frac{b}{c} = \sqrt{2} × \sqrt{2}$
左边约分后得$\frac{a}{c}$，右边计算得$(\sqrt{2})^2=2$，因此$\frac{a}{c}=2$。
【答案】
2
【知识点】
比例的基本性质，二次根式运算，比例中项
【点评】
本题通过比例逐步特殊化的演变过程，考查对比例性质的掌握情况，解题时只需抓住已知比例和待求式的关联，消去中间量即可快速得出结果，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8

4.为了美观起见，通常把一本书的宽与长之比设计成黄金比.已知这本书的宽为15cm，则它的长为cm.

4.$\frac{15(\sqrt{5}+1)}{2}$

【分析】
解题首先回忆黄金比的定义，黄金比的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，题目明确宽与长之比为黄金比，可得到等量关系：$\frac{宽}{长}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。已知宽为15cm，我们将已知量代入等量关系，把长设为未知数列方程，再通过比例性质变形、分母有理化化简，就能求出长的数值。
【解析】
解：黄金比的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，设这本书的长为$x$cm，根据题意可得：
$\frac{15}{x}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
由比例的基本性质交叉相乘得：
$(\sqrt{5}-1)x=30$
系数化为1，对结果分母有理化（分子分母同乘$\sqrt{5}+1$）：
$x=\frac{30}{\sqrt{5}-1}=\frac{30(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{30(\sqrt{5}+1)}{4}=\frac{15(\sqrt{5}+1)}{2}$
【答案】
$\frac{15(\sqrt{5}+1)}{2}$
【知识点】
黄金比，比例的基本性质，二次根式化简
【点评】
本题属于基础概念应用题，只要熟记黄金比的比值，结合比例关系列式计算即可，解题的易错点是混淆宽和长的比例顺序，以及分母有理化时运算出错。
【难度系数】
0.8

5.若线段 $y$ 是线段 $x,z$ 的比例中项,且 $x:z=3:4$,求 $y:z$ 的值.

5.$y: z=\sqrt{3}: 2$

【分析】
解题首先要回忆比例中项的定义：若线段y是x、z的比例中项，则满足$y^2=xz$。已知x与z的比值，我们可以通过设参数的方法，用同一个参数表示x和z的长度，代入比例中项的关系式求出y的表达式，再计算y与z的比值即可，注意线段长度为正数，开平方时只需取正根。
【解析】
解：
∵线段y是线段x，z的比例中项
∴根据比例中项的性质可得：$y^2 = x · z$
∵$x:z=3:4$，设$x=3k$，$z=4k$（$k＞0$，k为常数）
将x、z代入$y^2 = xz$得：
$y^2 = 3k · 4k = 12k^2$
∵y是线段长度，为正数
∴$y = \sqrt{12k^2} = 2\sqrt{3}k$
∴$y:z = 2\sqrt{3}k : 4k = \sqrt{3}:2$
【答案】
$y: z=\sqrt{3}: 2$
【知识点】
1. 比例中项的性质
2. 比例的计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是对比例中项定义的理解和应用，解题时通过参数法表示线段长度可简化计算，需注意线段长度为正，开方时要取算术平方根。
【难度系数】
0.8

6.若线段$AB=6\mathrm{cm}$，点$C$是线段$AB$的一个黄金分割点，则$AC$的长为多少？

6. ①若$AC＞CB$,则$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×6=3(\sqrt{5}-1)\mathrm{cm}$
②若$AC＜CB$,则$AC=\frac{3-\sqrt{5}}{2}×6=(9-3\sqrt{5})\mathrm{cm}$

【分析】
解决本题首先要明确黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使较长部分与整体线段的比值等于较短部分与较长部分的比值，该比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。由于题目未明确说明$AC$是较长线段还是较短线段，因此需要分两种情况讨论计算：①当$AC$为较长线段时，直接用线段总长乘黄金比得到$AC$的长度；②当$AC$为较短线段时，可先算出较长线段的长度，再用总长度减去较长线段的长度得到$AC$，也可直接用总长度乘较短段对应的比例$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$计算。
【解析】
已知线段$AB=6\mathrm{cm}$，点$C$是$AB$的黄金分割点，分两种情况讨论：
① 若$AC＞CB$，即$AC$为较长线段，根据黄金分割的性质：
$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}× AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×6=3(\sqrt{5}-1)\mathrm{cm}$
② 若$AC＜CB$，即$AC$为较短线段，此时较长线段为$BC$，则：
$AC=\frac{3-\sqrt{5}}{2}× AB=\frac{3-\sqrt{5}}{2}×6=(9-3\sqrt{5})\mathrm{cm}$
【答案】
$AC$的长为$3(\sqrt{5}-1)\mathrm{cm}$或$(9-3\sqrt{5})\mathrm{cm}$
【知识点】
黄金分割，线段长度计算，分类讨论
【点评】
本题核心考查对黄金分割概念的理解，易错点是容易忽略点$C$的位置存在两种可能，导致漏解，解题时需结合线段的位置关系全面分析所有可能的情况。
【难度系数】
0.6