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7.现已知线段AB=10，点P是线段AB的黄金分割点(PA＞PB)，那么线段PA的长约为（
A.0.618
B.0.382
C.6.18
D.3.28
C
）A.0.618
B.0.382
C.6.18
D.3.28
答案
7.C
解析
【分析】
解题首先需要明确黄金分割点的相关概念：黄金分割点将线段分为较长线段和较短线段，较长线段与原线段的比值为黄金比，约等于0.618。本题中已知PA＞PB，因此PA是较长线段，只需要用线段AB的总长度乘以黄金比，即可求出PA的长度。
【解析】
根据黄金分割的定义，若点P是线段AB的黄金分割点且PA＞PB，则较长线段PA与原线段AB的比值为黄金比，即$\frac{PA}{AB}\approx0.618$。
已知AB=10，代入得：
$PA\approx0.618× AB=0.618×10=6.18$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 黄金分割的定义
2. 黄金比的应用
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是熟记黄金分割的定义，准确区分较长线段、较短线段与原线段的比例关系，避免混淆长短线段对应的比值。
【难度系数】
0.8
解题首先需要明确黄金分割点的相关概念：黄金分割点将线段分为较长线段和较短线段，较长线段与原线段的比值为黄金比，约等于0.618。本题中已知PA＞PB，因此PA是较长线段，只需要用线段AB的总长度乘以黄金比，即可求出PA的长度。
【解析】
根据黄金分割的定义，若点P是线段AB的黄金分割点且PA＞PB，则较长线段PA与原线段AB的比值为黄金比，即$\frac{PA}{AB}\approx0.618$。
已知AB=10，代入得：
$PA\approx0.618× AB=0.618×10=6.18$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 黄金分割的定义
2. 黄金比的应用
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是熟记黄金分割的定义，准确区分较长线段、较短线段与原线段的比例关系，避免混淆长短线段对应的比值。
【难度系数】
0.8
▲8.若b是a和c的比例中项，则关于x的一元二次方程$ax^2+2bx+c=0$的根的情况是（
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
A
）A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
答案
8.A
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，核心是计算根的判别式Δ的符号。本题已知b是a和c的比例中项，可先根据比例中项的定义推出b²与ac的等量关系，再将该关系代入判别式Δ中计算，最后根据Δ的取值判断根的情况即可。
【解析】
∵ b是a和c的比例中项，
∴ 根据比例中项的定义可得：$b^2 = ac$，
又
∵ 方程$ax^2+2bx+c=0$是一元二次方程，
∴ $a≠0$，
计算根的判别式：
$\Delta = (2b)^2 - 4ac = 4b^2 - 4ac$，
将$b^2 = ac$代入上式得：
$\Delta = 4ac - 4ac = 0$，
∴ 该一元二次方程有两个相等的实数根。
【答案】
A
【知识点】
比例中项；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是比例性质与一元二次方程知识的简单综合题，解题的关键是熟记比例中项的性质，以及根的判别式与方程根的情况的对应关系。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程根的情况，核心是计算根的判别式Δ的符号。本题已知b是a和c的比例中项，可先根据比例中项的定义推出b²与ac的等量关系，再将该关系代入判别式Δ中计算，最后根据Δ的取值判断根的情况即可。
【解析】
∵ b是a和c的比例中项，
∴ 根据比例中项的定义可得：$b^2 = ac$，
又
∵ 方程$ax^2+2bx+c=0$是一元二次方程，
∴ $a≠0$，
计算根的判别式：
$\Delta = (2b)^2 - 4ac = 4b^2 - 4ac$，
将$b^2 = ac$代入上式得：
$\Delta = 4ac - 4ac = 0$，
∴ 该一元二次方程有两个相等的实数根。
【答案】
A
【知识点】
比例中项；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是比例性质与一元二次方程知识的简单综合题，解题的关键是熟记比例中项的性质，以及根的判别式与方程根的情况的对应关系。
【难度系数】
0.8
9.已知线段AB及AB上一点P,当P满足下列哪一种关系时,P为AB的黄金分割点:①$AP^2 = AB · PB$;②$AP = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}AB$;③$PB = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}AB$;④$\frac{AP}{PB} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$;⑤$\frac{AB}{AP} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$.其中正确的是 (
A.①②③
B.①②③④
C.①②
D.①②③④⑤
A
)A.①②③
B.①②③④
C.①②
D.①②③④⑤
答案
9.A
解析
【分析】首先明确黄金分割点的定义：若点P将线段AB分为AP和PB两段（AP＞PB），满足较长段与全长的比等于较短段与较长段的比，即$\frac{AP}{AB}=\frac{PB}{AP}$，比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。我们结合定义逐一推导验证5个关系式是否成立，排除不符合定义的选项即可得到答案。
【解析】根据黄金分割点的定义，当P为AB的黄金分割点且$AP＞PB$时：
1. 由比例关系$\frac{AP}{AB}=\frac{PB}{AP}$，交叉相乘可得$AP^2=AB·PB$，故①正确；
2. 由黄金分割的比值直接可得$AP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$，故②正确；
3. 计算PB的长度：$PB=AB-AP=AB-\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\frac{3-\sqrt{5}}{2}AB$，故③正确；
4. 计算$\frac{AP}{PB}$：$\frac{AP}{PB}=\frac{\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB}{\frac{3-\sqrt{5}}{2}AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{3-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}≠\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，故④错误；
5. 计算$\frac{AB}{AP}$：$\frac{AB}{AP}=\frac{AB}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}≠\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，故⑤错误。
综上，①②③正确，答案选A。
【答案】A
【知识点】黄金分割的定义、二次根式化简、比例的性质
【点评】本题考查黄金分割相关的判断，解题核心是牢记黄金分割的比例关系，注意区分较长段与全长的比值、较长段与较短段的比值，避免混淆两种比值导致判断错误。
【难度系数】0.65
【解析】根据黄金分割点的定义，当P为AB的黄金分割点且$AP＞PB$时：
1. 由比例关系$\frac{AP}{AB}=\frac{PB}{AP}$，交叉相乘可得$AP^2=AB·PB$，故①正确；
2. 由黄金分割的比值直接可得$AP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$，故②正确；
3. 计算PB的长度：$PB=AB-AP=AB-\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\frac{3-\sqrt{5}}{2}AB$，故③正确；
4. 计算$\frac{AP}{PB}$：$\frac{AP}{PB}=\frac{\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB}{\frac{3-\sqrt{5}}{2}AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{3-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}≠\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，故④错误；
5. 计算$\frac{AB}{AP}$：$\frac{AB}{AP}=\frac{AB}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}≠\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，故⑤错误。
综上，①②③正确，答案选A。
【答案】A
【知识点】黄金分割的定义、二次根式化简、比例的性质
【点评】本题考查黄金分割相关的判断，解题核心是牢记黄金分割的比例关系，注意区分较长段与全长的比值、较长段与较短段的比值，避免混淆两种比值导致判断错误。
【难度系数】0.65
10. 如图,以长为2的线段AB为边作正方形ABCD,取AB的中点P,连结PD,在BA的延长线上取点F,使PF=PD,以AF为边作正方形AMEF,点M在AD上.
▲(1)求AM,DM的长.
★(2)求证:M是线段AD的黄金分割点.
▲(1)求AM,DM的长.
★(2)求证:M是线段AD的黄金分割点.
答案
10. (1)$AM=\sqrt{5}-1,DM=3-\sqrt{5}$
(2)$\because \frac{AM}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2},\therefore M$为$AD$的黄金分割点
(2)$\because \frac{AM}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2},\therefore M$为$AD$的黄金分割点
解析
【分析】
(1) 求AM、DM的长时，先利用正方形性质得到AB=AD=2，结合P是AB中点得到AP=1，再在直角三角形APD中用勾股定理算出PD的长度；由PF=PD可求出AF的长度，再根据正方形AMEF的边长相等得AM=AF，最后用AD减AM即可得到DM的长度。
(2) 证明M是AD的黄金分割点，只需验证AM与AD的比值等于黄金分割比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，代入(1)中所求线段长度计算即可。
【解析】
(1) 解：
∵正方形ABCD的边长AB=2，P为AB的中点，
∴$AP=\frac{1}{2}AB=1$，$AD=AB=2$，$∠ PAD=90°$。
在$Rt△ APD$中，由勾股定理得：
$PD=\sqrt{AP^2+AD^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
∵$PF=PD$，
∴$PF=\sqrt{5}$，
∴$AF=PF-AP=\sqrt{5}-1$。
∵四边形AMEF是正方形，
∴$AM=AF=\sqrt{5}-1$，
∴$DM=AD-AM=2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$。
(2) 证明：由(1)可知$AM=\sqrt{5}-1$，$AD=2$，
∴$\frac{AM}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合黄金分割点的定义，
∴M是线段AD的黄金分割点。
【答案】
(1) $AM=\sqrt{5}-1$，$DM=3-\sqrt{5}$
(2) $\because \frac{AM}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2},\therefore M$为$AD$的黄金分割点
【知识点】
勾股定理，正方形的性质，黄金分割的定义
【点评】
本题将正方形性质、勾股定理与黄金分割的概念结合考查，解题的核心是先求出线段AM的长度，再结合黄金分割的定义完成判断，属于基础综合题型，掌握相关基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 求AM、DM的长时，先利用正方形性质得到AB=AD=2，结合P是AB中点得到AP=1，再在直角三角形APD中用勾股定理算出PD的长度；由PF=PD可求出AF的长度，再根据正方形AMEF的边长相等得AM=AF，最后用AD减AM即可得到DM的长度。
(2) 证明M是AD的黄金分割点，只需验证AM与AD的比值等于黄金分割比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，代入(1)中所求线段长度计算即可。
【解析】
(1) 解：
∵正方形ABCD的边长AB=2，P为AB的中点，
∴$AP=\frac{1}{2}AB=1$，$AD=AB=2$，$∠ PAD=90°$。
在$Rt△ APD$中，由勾股定理得：
$PD=\sqrt{AP^2+AD^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
∵$PF=PD$，
∴$PF=\sqrt{5}$，
∴$AF=PF-AP=\sqrt{5}-1$。
∵四边形AMEF是正方形，
∴$AM=AF=\sqrt{5}-1$，
∴$DM=AD-AM=2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$。
(2) 证明：由(1)可知$AM=\sqrt{5}-1$，$AD=2$，
∴$\frac{AM}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合黄金分割点的定义，
∴M是线段AD的黄金分割点。
【答案】
(1) $AM=\sqrt{5}-1$，$DM=3-\sqrt{5}$
(2) $\because \frac{AM}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2},\therefore M$为$AD$的黄金分割点
【知识点】
勾股定理，正方形的性质，黄金分割的定义
【点评】
本题将正方形性质、勾股定理与黄金分割的概念结合考查，解题的核心是先求出线段AM的长度，再结合黄金分割的定义完成判断，属于基础综合题型，掌握相关基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
