1. 如图所示，$△ OAB$，$△ BCD$都是等边三角形，且均在第一象限，若双曲线$y=\frac{k}{x}$经过A，C两点，$OB=2$，则点C的坐标为（）


A.$(\sqrt{2}+1,\sqrt{2}-1)$
B.$(\sqrt{2}+1,\sqrt{6}-\sqrt{3})$
C.$(\sqrt{2}+1,\sqrt{3}-1)$
D.$(\sqrt{2}+1,\sqrt{6}-1)$

1. B

2. [分类思想]如图,直线$y=ax+1$与x轴,y轴分别相交于A,B两点,与双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$相交于点P,$PC⊥x$轴于点C,且$PC=2,OA=2OB$.
(1)求一次函数系数a的值.
(2)求双曲线的表达式.
(3)若点Q为双曲线上点P右侧一点,且$QH⊥x$轴于H,当以点Q,C,H为顶点的三角形与$△ AOB$相似时,求点Q的坐标.

2. 解:(1)由 $y=ax+1$,可知当 $x=0$ 时,$y=1$,
$\therefore B(0,1),\therefore OB=1$.
$\because OA=2OB,\therefore OA=2,\therefore A(-2,0)$.
将 $A(-2,0)$ 代入 $y=ax+1$,得 $-2a+1=0$,
解得 $a=\frac{1}{2}$.
(2)由 $PC=2$,把 $y=2$ 代入 $y=\frac{1}{2}x+1$,得 $x=2,\therefore P(2,2)$.
$\because$ 点 P 在双曲线 $y=\frac{k}{x}$ 上,
$\therefore$ 将 $P(2,2)$ 代入 $y=\frac{k}{x}$,得 $k=4$,
$\therefore$ 双曲线的表达式为 $y=\frac{4}{x}$.
(3)如图,设 $Q(a,b).\because$ 点 $Q(a,b)$ 为双曲线 $y=\frac{4}{x}$ 上点 P 右侧一点,
$\therefore a＞2,b=\frac{4}{a}$.
当 $△ QCH ∽ △ BAO$ 时,
可得 $\frac{CH}{AO}=\frac{QH}{BO}$,即 $\frac{a-2}{2}=\frac{b}{1},\therefore a-2=2b$,即 $a-2=\frac{8}{a}$,
$\therefore a=4$ 或 $a=-2$(舍去),$\therefore Q(4,1)$.
当 $△ QCH ∽ △ ABO$ 时,可得 $\frac{CH}{BO}=\frac{QH}{AO}$,
即 $\frac{a-2}{1}=\frac{b}{2}$,整理,得 $2a-4=\frac{4}{a}$,
解得 $a=1+\sqrt{3}$ 或 $a=1-\sqrt{3}$(舍去),$\therefore Q(1+\sqrt{3},2\sqrt{3}-2)$.
综上所述,$Q(4,1)$ 或 $Q(1+\sqrt{3},2\sqrt{3}-2)$.

3. 如图，$□ OABC$ 的顶点 O 是坐标原点，A 在 x 轴的正半轴上，B，C 在第一象限，反比例函数 $y=\dfrac{1}{x}$ 的图象经过点 C，$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$ 的图象经过点 B. 若 $OC=AC$，则 $k=$ .

3. 3

4. (济南中考)如图,一次函数$y=\frac{1}{2}x+1$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点$A(a,3)$,与y轴交于点B.
(1)求$a,k$的值.
(2)直线CD过点A,与反比例函数图象交于点C,与x轴交于点D,$AC=AD$,连接CB.
①求$△ ABC$的面积.
②点P在反比例函数的图象上,点Q在x轴上,若以点$A,B,P,Q$为顶点的四边形是平行四边形,请求出所有符合条件的点P的坐标.

4. 解:(1)把 $x=a,y=3$ 代入 $y=\frac{1}{2}x+1$,得 $\frac{1}{2}a+1=3$,
$\therefore a=4,\therefore A(4,3)$.
把 $x=4,y=3$ 代入 $y=\frac{k}{x}$,得 $3=\frac{k}{4}$,
$\therefore k=12$.
(2)$\because$ 点 $A(4,3)$,点 D 的纵坐标是 $0,AD=AC$,
$\therefore$ 点 C 的纵坐标是 $3×2-0=6$.
把 $y=6$ 代入 $y=\frac{12}{x}$,得 $x=2,\therefore C(2,6)$.
①如图1,作 $CF⊥x$ 轴于点 F,交 AB 于点 E,
当 $x=2$ 时,$y=\frac{1}{2}×2+1=2$,
$\therefore E(2,2)$.
$\because C(2,6),\therefore CE=6-2=4$,
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}CE· x_A=\frac{1}{2}×4×4=8$

②由题知点 $B(0,1)$.
设 $P(x_1,y_1),Q(x_2,0)$.
分两种情况:
ⅰ.如图2,当四边形 ABQP 为平行四边形时,
$\because$ 点 B 向下平移 1 个单位长度,向右平移 $x_2$ 个单位长度得到点 Q,
$\therefore$ 点 A 向下平移 1 个单位长度,向右平移 $x_2$ 个单位长度得到点 P.
$\therefore y_1=3-1=2,x_1=\frac{12}{2}=6$.
$\therefore P(6,2)$.

ⅱ.如图3,当四边形 $AP'BQ'$ 为平行四边形时,
$\because$ 点 $Q'$ 向上平移 1 个单位长度,向左平移 $x_2$ 个单位长度得到点 B,
$\therefore$ 点 A 向上平移 1 个单位长度,向左平移 $x_2$ 个单位长度得到点 $P'$.
$\therefore y_1'=3+1=4,x_1'=\frac{12}{4}=3$.
$\therefore P'(3,4)$.
综上所述,符合条件的点 P 的坐标是 $(6,2)$ 和 $(3,4)$.