10. 已知反比例函数$y=\frac{9}{x},y=\frac{4}{x}$的图象如图所示,点A在$y=\frac{9}{x}$的图象上,连接OA交$y=\frac{4}{x}$的图象于点B,则$AB:BO$为 ()


A.$1:2$
B.$2:3$
C.$4:5$
D.$4:9$

10.A

11. 如图,在$\mathrm{Rt}△ OAC$中,$O$为坐标原点,直角顶点$C$在$x$轴的正半轴上,反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$在第一象限的图象经过$OA$的中点$B$,交$AC$于点$D$,连接$OD$.若$△ OCD∽△ ACO$,则直线$OA$的函数表达式为 ()


A.$y=\sqrt{2}x$
B.$y=\sqrt{3}x$
C.$y=2x$
D.$y=\sqrt{5}x$

11.C

12. 如图，一次函数$y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}$的图象与反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$的图象相交于点A，点B，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D. P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若$△ BDP ∽ △ ACP$，则点P的坐标为.

12. (3,1)

13. 如图,已知平面直角坐标系中,反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点$A(2,3),B(6,a)$,直线$l:y=mx+n$经过$A,B$两点,直线$l$分别交$x$轴,$y$轴于$D,C$两点.
(1)求反比例函数与一次函数的表达式.
(2)在$y$轴上是否存在一点$E$,使得以$A,C,E$为顶点的三角形与$△ CDO$相似?若存在,请求出点$E$的坐标;若不存在,请说明理由.

13. 解:(1)将 A(2,3)代入 $y=\frac{k}{x}$,得 k=2×3=6,
∴ 反比例函数的表达式为 $y=\frac{6}{x}$;把 B(6,a)代入 $y=\frac{6}{x}$,得 a=1,
∴ B(6,1).
将 A(2,3),B(6,1)代入 y=mx+n,得 $\begin{cases}2m+n=3,\\6m+n=1,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}m=-\frac{1}{2},\\n=4.\end{cases}$
∴ 一次函数的表达式为 $y=-\frac{1}{2}x+4$.
(2)存在.如图,当△COD∽△CEA时,
则∠CEA=∠COD=90°,
∵ 一次函数的表达式为 $y=-\frac{1}{2}x+4$,
∴ C(0,4),D(8,0),
∴ OC=4,OD=8.
∵ △COD∽△CEA,
∴ $\frac{CE}{CO}=\frac{AE}{OD}$,
∴ $\frac{CE}{4}=\frac{2}{8}$,
∴ CE=1,
∴ E(0,3).
如图,当△COD∽△CAE时,过点 A 作 AH ⊥ y 轴于 H,则 AH=2.
∵ ∠CEA=∠CDO,∠AHE=∠COD,
∴ △COD∽△AHE,
∴ $\frac{CO}{OD}=\frac{AH}{HE}$,
∴ $\frac{4}{8}=\frac{2}{HE}$,
∴ HE=4,
∴ E(0,-1).
综上,E(0,-1)或(0,3).