7. 如图,一次函数$y=ax+b$与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象交于点$A(-1,4)$,且与$x$轴和$y$轴分别交于点$B(3,0)$和点$C$.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式.
(2)直接写出不等式$\frac{m}{x}＞ax+b$的解集.
(3)连接$OA$,已知$P$为反比例函数$y=\frac{m}{x}$图象上一点,且$S_{△ OBP}=2S_{△ OAC}$,求点$P$的坐标.

7. 解:(1)
∵ 一次函数 y=ax+b 与反比例函数 $y=\frac{m}{x}$ 的图象交于点 A(-1,4),
∴ $4=\frac{m}{-1}$,
∴ m=-4.
∵ 一次函数 y=ax+b 与反比例函数 $y=\frac{m}{x}$ 的图象交于点 A(-1,4),且与 x 轴交于点 B(3,0),
∴ $\begin{cases}-a+b=4,\\3a+b=0,\end{cases}$
∴ $\begin{cases}a=-1,\\b=3,\end{cases}$
∴ 一次函数的表达式为 y=-x+3,反比例函数的表达式为 $y=-\frac{4}{x}$.
(2) -1＜x＜0 或 x＞4
(3) 在 y=-x+3 中,当 x=0 时,y=3,
∴ C(0,3).
∵ A(-1,4),$S_{△AOC}=\frac{1}{2}OC·|x_A|=\frac{1}{2}×3×|-1|=\frac{3}{2}$,
∴ $S_{△OBP}=2S_{△OAC}=3$.
∵ B(3,0),
∴ OB=3,
∴ $S_{△OBP}=\frac{1}{2}OB·|y_P|=\frac{1}{2}×3|y_P|=3$,
∴ $y_P=±2$.
在 $y=-\frac{4}{x}$ 中,当 $y=-\frac{4}{x}=-2$ 时,x=2;
当 $y=-\frac{4}{x}=2$ 时,x=-2,
∴ 点 P 的坐标为(-2,2)或(2,-2).

8. (济宁中考)如图,正比例函数$y_1=\frac{1}{2}x$和反比例函数$y_2=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点$A(m,2)$.
(1)求反比例函数的表达式.

(2)将直线OA向上平移3个单位长度后,与y轴交于点B,与$y_2=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点C,连接AB,AC,求$△ ABC$的面积.

8. 解:(1)把 A(m,2)代入 $y_1=\frac{1}{2}x$,得 $\frac{1}{2}m=2$,解得 m=4,
∴ A(4,2).
把 A(4,2)代入 $y_2=\frac{k}{x}(x＞0)$,得 $\frac{k}{4}=2$,解得 k=8,
∴ 反比例函数的表达式为 $y_2=\frac{8}{x}$.
(2)过点 C 作 CM ⊥ x 轴于点 M,交 AB 于点 N,
将直线 OA 向上平移 3 个单位长度后,其函数表达式为 $y=\frac{1}{2}x+3$,当 x=0 时,y=3,
∴ 点 B 的坐标为(0,3).
设直线 AB 的函数表达式为 y=mx+n,
将 A(4,2),B(0,3)代入,可得 $\begin{cases}4m+n=2,\\n=3,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}m=-\frac{1}{4},\\n=3,\end{cases}$
∴ 直线 AB 的函数表达式为 $y=-\frac{1}{4}x+3$.
联立表达式$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x+3,\\y=\frac{8}{x},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=2,\\y=4,\end{cases}$ 或$\begin{cases}x=-8,\\y=-1,\end{cases}$(舍去)
∴ C 点坐标为(2,4).
在 $y=-\frac{1}{4}x+3$ 中,当 x=2 时,$y=\frac{5}{2}$,
∴ $N(2,\frac{5}{2})$,
∴ $CN=4-\frac{5}{2}=\frac{3}{2}$,
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×4=3$,
即△ABC 的面积为 3.

9. 如图,一次函数$y=kx+2(k≠0)$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}(m≠0,x＞0)$的图象交于点$A(2,n)$,与y轴交于点B,与x轴交于点$C(-4,0)$.
(1)求k与m的值.
(2)若$P(a,0)$为x轴上的一动点,当$△ APB$的面积为$\frac{7}{2}$时,求a的值.

9. 解:(1)把 C(-4,0)代入 y=kx+2,得 $k=\frac{1}{2}$,
∴ $y=\frac{1}{2}x+2$.
把 A(2,n)代入 $y=\frac{1}{2}x+2$,得 n=3,
∴ A(2,3).
把 A(2,3)代入 $y=\frac{m}{x}$,得 m=6.
∴ $k=\frac{1}{2},m=6$.
(2)在 $y=\frac{1}{2}x+2$ 中,当 x=0 时,y=2,
∴ B(0,2),
∴ OB=2.
∵ P(a,0)为 x 轴上的一动点,
∴ PC=|a+4|,
∴ $S_{△CBP}=\frac{1}{2}·PC·OB=\frac{1}{2}×|a+4|×2=|a+4|$,$S_{△CAP}=\frac{1}{2}PC·y_A=\frac{1}{2}×|a+4|×3$.
∵ $S_{△CAP}=S_{△ABP}+S_{△CBP}$,
∴ $\frac{3}{2}|a+4|=\frac{7}{2}+|a+4|$,
∴ a=3 或-11.