登录
1. $\sqrt{36 × 0.25}$的计算结果是（
A.3
B.1
C.6
D.5
A
）A.3
B.1
C.6
D.5
答案
A $\sqrt{36 × 0.25} = \sqrt{36} × \sqrt{\dfrac{1}{4}} =6 × \dfrac{1}{2}=3$。
解析
【分析】
本题考查积的算术平方根的计算，解题思路如下：首先回忆积的算术平方根的性质：两个非负数的积的算术平方根，等于这两个数的算术平方根的积。观察算式中36和0.25都是非负数，符合性质的使用条件，因此可以将原式拆分为两个数的算术平方根的乘积，再分别计算两个数的算术平方根，最后相乘得到结果即可。
【解析】
根据积的算术平方根的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$，可得：
$\sqrt{36 × 0.25} = \sqrt{36} × \sqrt{0.25}$
先分别计算算术平方根：$\sqrt{36}=6$，$\sqrt{0.25}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}$
再计算乘积：$6×\dfrac{1}{2}=3$
【答案】
A
【知识点】
1. 积的算术平方根性质
2. 算术平方根计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是对积的算术平方根性质的正确运用，计算量小，只要掌握相关性质即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
本题考查积的算术平方根的计算，解题思路如下：首先回忆积的算术平方根的性质：两个非负数的积的算术平方根，等于这两个数的算术平方根的积。观察算式中36和0.25都是非负数，符合性质的使用条件，因此可以将原式拆分为两个数的算术平方根的乘积，再分别计算两个数的算术平方根，最后相乘得到结果即可。
【解析】
根据积的算术平方根的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$，可得：
$\sqrt{36 × 0.25} = \sqrt{36} × \sqrt{0.25}$
先分别计算算术平方根：$\sqrt{36}=6$，$\sqrt{0.25}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}$
再计算乘积：$6×\dfrac{1}{2}=3$
【答案】
A
【知识点】
1. 积的算术平方根性质
2. 算术平方根计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是对积的算术平方根性质的正确运用，计算量小，只要掌握相关性质即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
2. 易错题 [2024 包头中考] 计算$\sqrt{9^2 - 6^2}$所得结果是（
A.3
B.$\sqrt{6}$
C.$3\sqrt{5}$
D.$\pm3\sqrt{5}$
C
）A.3
B.$\sqrt{6}$
C.$3\sqrt{5}$
D.$\pm3\sqrt{5}$
答案
C $\sqrt{9^2 -6^2}=\sqrt{81-36}=\sqrt{45}=\sqrt{9×5}=\sqrt{9}×\sqrt{5}=3\sqrt{5}$。
解析
【分析】
解题时首先明确本题所求为算术平方根，结果一定是非负的。第一步先计算被开方数的数值，第二步利用积的算术平方根的性质化简二次根式即可得到结果。注意避坑：不能错误地对根号内的平方差分别开方（即不能直接计算$\sqrt{9^2} - \sqrt{6^2}=9-6=3$），也不要混淆算术平方根和平方根的概念误加负号。
【解析】
先计算被开方数：
$9^2 - 6^2 = 81 - 36 = 45$
因此原式$=\sqrt{45}$
根据积的算术平方根的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），将45拆分为$9×5$，其中9是完全平方数：
$\sqrt{45}=\sqrt{9×5}=\sqrt{9}×\sqrt{5}=3\sqrt{5}$
算术平方根的结果为非负数，故最终结果为$3\sqrt{5}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根、二次根式化简、积的算术平方根性质
【点评】
本题属于易错题，常见错误有两类：一是错误将根号内的平方差拆分后分别开方得到3，误选A；二是混淆算术平方根和平方根的概念，错选带正负号的D。解题时需牢记二次根式的运算规则和算术平方根的非负性。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确本题所求为算术平方根，结果一定是非负的。第一步先计算被开方数的数值，第二步利用积的算术平方根的性质化简二次根式即可得到结果。注意避坑：不能错误地对根号内的平方差分别开方（即不能直接计算$\sqrt{9^2} - \sqrt{6^2}=9-6=3$），也不要混淆算术平方根和平方根的概念误加负号。
【解析】
先计算被开方数：
$9^2 - 6^2 = 81 - 36 = 45$
因此原式$=\sqrt{45}$
根据积的算术平方根的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），将45拆分为$9×5$，其中9是完全平方数：
$\sqrt{45}=\sqrt{9×5}=\sqrt{9}×\sqrt{5}=3\sqrt{5}$
算术平方根的结果为非负数，故最终结果为$3\sqrt{5}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根、二次根式化简、积的算术平方根性质
【点评】
本题属于易错题，常见错误有两类：一是错误将根号内的平方差拆分后分别开方得到3，误选A；二是混淆算术平方根和平方根的概念，错选带正负号的D。解题时需牢记二次根式的运算规则和算术平方根的非负性。
【难度系数】
0.6
3. 易错题 计算：$\sqrt{(-2)^3 × (-3^2)} =$
$6\sqrt{2}$
.答案
$6\sqrt{2}$ $\sqrt{(-2)^3 × (-3^2)} = \sqrt{(-8)×(-9)} = \sqrt{8×9} =\sqrt{72}=\sqrt{36×2}=\sqrt{36}×\sqrt{2}$(还可以写成$\sqrt{8}×\sqrt{9}=\sqrt{4}×\sqrt{2}×3=2×\sqrt{2}×3$) $=6\sqrt{2}$。
本题中，书写过程不能出现$\sqrt{(-8)×(-9)}=\sqrt{-8}×\sqrt{-9}$，原因是被开方数不能是负数。
本题中，书写过程不能出现$\sqrt{(-8)×(-9)}=\sqrt{-8}×\sqrt{-9}$，原因是被开方数不能是负数。
解析
【分析】
本题是含乘方的二次根式计算，解题思路分为三步：第一步先计算根号内的乘方运算，要注意区分$(-a)^n$和$-a^n$的符号差异；第二步计算根号内的乘法运算，先得到非负的被开方数，此处注意不能直接拆分两个负数的算术平方根，因为二次根式要求被开方数必须是非负数，负数没有算术平方根；第三步利用积的算术平方根的性质化简二次根式，将能开得尽方的因数开出来即可得到结果。
【解析】
先计算根号内的乘方：
$(-2)^3=-8$，$-3^2=-9$
再计算根号内的乘法：
$(-8)×(-9)=72$
最后化简二次根式，利用积的算术平方根性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$计算：
$\sqrt{72}=\sqrt{36×2}=\sqrt{36}×\sqrt{2}=6\sqrt{2}$
注：不可出现$\sqrt{(-8)×(-9)}=\sqrt{-8}×\sqrt{-9}$的错误写法，不符合二次根式被开方数非负的要求。
【答案】
$6\sqrt{2}$
【知识点】
有理数乘方运算；积的算术平方根性质；二次根式化简
【点评】
本题属于易错题，常见易错点有两处：一是计算乘方时混淆$-3^2$和$(-3)^2$的结果，误将$-3^2$算为9；二是忽略二次根式被开方数非负的要求，直接拆分两个负数的算术平方根导致错误。计算时需先确定被开方数为非负数，再利用相关性质化简。
【难度系数】
0.6
本题是含乘方的二次根式计算，解题思路分为三步：第一步先计算根号内的乘方运算，要注意区分$(-a)^n$和$-a^n$的符号差异；第二步计算根号内的乘法运算，先得到非负的被开方数，此处注意不能直接拆分两个负数的算术平方根，因为二次根式要求被开方数必须是非负数，负数没有算术平方根；第三步利用积的算术平方根的性质化简二次根式，将能开得尽方的因数开出来即可得到结果。
【解析】
先计算根号内的乘方：
$(-2)^3=-8$，$-3^2=-9$
再计算根号内的乘法：
$(-8)×(-9)=72$
最后化简二次根式，利用积的算术平方根性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$计算：
$\sqrt{72}=\sqrt{36×2}=\sqrt{36}×\sqrt{2}=6\sqrt{2}$
注：不可出现$\sqrt{(-8)×(-9)}=\sqrt{-8}×\sqrt{-9}$的错误写法，不符合二次根式被开方数非负的要求。
【答案】
$6\sqrt{2}$
【知识点】
有理数乘方运算；积的算术平方根性质；二次根式化简
【点评】
本题属于易错题，常见易错点有两处：一是计算乘方时混淆$-3^2$和$(-3)^2$的结果，误将$-3^2$算为9；二是忽略二次根式被开方数非负的要求，直接拆分两个负数的算术平方根导致错误。计算时需先确定被开方数为非负数，再利用相关性质化简。
【难度系数】
0.6
4. 教材复习题变式 $\sqrt{(4 - a)(a - 2)^2} = (a - 2) · \sqrt{4 - a}$ 成立的条件是
$2≤a≤4$
。答案
$2≤a≤4$ 由$\sqrt{(4 - a)(a - 2)^2} = (a - 2) · \sqrt{4 - a}$成立，得$\begin{cases}a-2≥0,\\4-a≥0,\end{cases}$解得$2≤a≤4$。
解析
【分析】
解题时首先回忆二次根式的相关性质：一是$\sqrt{x^2}=|x|$，二是二次根式有意义的条件为被开方数非负，三是积的算术平方根可以拆分为各因式算术平方根的积（各因式均非负）。首先将等式左边的$\sqrt{(a-2)^2}$化简为$|a-2|$，对比等式右边的$(a-2)$，可知$|a-2|=a-2$，即$a-2≥0$；同时要保证$\sqrt{4-a}$有意义，可得$4-a≥0$，联立两个不等式求解即可得到成立条件。
【解析】
根据二次根式的性质，对等式左边化简：
$\sqrt{(4 - a)(a - 2)^2} = \sqrt{(a-2)^2} · \sqrt{4-a} = |a-2| · \sqrt{4-a}$
已知该式等于$(a-2) · \sqrt{4-a}$，因此需满足两个条件：
1. 绝对值化简后等于本身，即$a-2≥0$；
2. 二次根式$\sqrt{4-a}$有意义，即$4-a≥0$。
联立得不等式组：
$\begin{cases}a-2≥0\\4-a≥0\end{cases}$
解第一个不等式得$a≥2$，解第二个不等式得$a≤4$，取交集得$2≤ a≤4$。
【答案】
$2≤ a≤4$
【知识点】
二次根式的性质、积的算术平方根、解一元一次不等式组
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题型，解题关键是明确二次根式的非负性以及绝对值的化简规则，注意不要遗漏任何一个隐含的限制条件。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆二次根式的相关性质：一是$\sqrt{x^2}=|x|$，二是二次根式有意义的条件为被开方数非负，三是积的算术平方根可以拆分为各因式算术平方根的积（各因式均非负）。首先将等式左边的$\sqrt{(a-2)^2}$化简为$|a-2|$，对比等式右边的$(a-2)$，可知$|a-2|=a-2$，即$a-2≥0$；同时要保证$\sqrt{4-a}$有意义，可得$4-a≥0$，联立两个不等式求解即可得到成立条件。
【解析】
根据二次根式的性质，对等式左边化简：
$\sqrt{(4 - a)(a - 2)^2} = \sqrt{(a-2)^2} · \sqrt{4-a} = |a-2| · \sqrt{4-a}$
已知该式等于$(a-2) · \sqrt{4-a}$，因此需满足两个条件：
1. 绝对值化简后等于本身，即$a-2≥0$；
2. 二次根式$\sqrt{4-a}$有意义，即$4-a≥0$。
联立得不等式组：
$\begin{cases}a-2≥0\\4-a≥0\end{cases}$
解第一个不等式得$a≥2$，解第二个不等式得$a≤4$，取交集得$2≤ a≤4$。
【答案】
$2≤ a≤4$
【知识点】
二次根式的性质、积的算术平方根、解一元一次不等式组
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题型，解题关键是明确二次根式的非负性以及绝对值的化简规则，注意不要遗漏任何一个隐含的限制条件。
【难度系数】
0.7
5. [2025唐山路北区期中]已知$\sqrt{175}=5\sqrt{m}$，$\sqrt{245}=n\sqrt{5}$，且$m,n$均为整数，则$m-n=$
0
.答案
0 $\because \sqrt{175}=\sqrt{25×7}=\sqrt{25}×\sqrt{7}=5\sqrt{7},\therefore m=7$。
$\because \sqrt{245}=\sqrt{49×5}=\sqrt{49}×\sqrt{5}=7\sqrt{5},\therefore n=7,\therefore m-n=7-7=0$。
$\because \sqrt{245}=\sqrt{49×5}=\sqrt{49}×\sqrt{5}=7\sqrt{5},\therefore n=7,\therefore m-n=7-7=0$。
解析
【分析】
要求$m-n$的值，需先分别求出$m$、$n$的取值。解题时可利用积的算术平方根的性质，先将$\sqrt{175}$、$\sqrt{245}$分别化简为最简二次根式，再将化简结果与题目给出的等式右侧形式对比，即可确定$m$、$n$的数值，最后代入计算$m-n$的结果即可。
【解析】
解：先化简$\sqrt{175}$：
$\sqrt{175}=\sqrt{25×7}=\sqrt{25}×\sqrt{7}=5\sqrt{7}$，
对比$\sqrt{175}=5\sqrt{m}$，可得$m=7$；
再化简$\sqrt{245}$：
$\sqrt{245}=\sqrt{49×5}=\sqrt{49}×\sqrt{5}=7\sqrt{5}$，
对比$\sqrt{245}=n\sqrt{5}$，可得$n=7$；
因此$m-n=7-7=0$。
【答案】
$0$
【知识点】
积的算术平方根性质、二次根式化简、代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查二次根式的化简规则，只要掌握积的算术平方根的性质，能准确拆分被开方数、提取其中的完全平方因数，即可快速求出参数值完成计算。
【难度系数】
0.8
要求$m-n$的值，需先分别求出$m$、$n$的取值。解题时可利用积的算术平方根的性质，先将$\sqrt{175}$、$\sqrt{245}$分别化简为最简二次根式，再将化简结果与题目给出的等式右侧形式对比，即可确定$m$、$n$的数值，最后代入计算$m-n$的结果即可。
【解析】
解：先化简$\sqrt{175}$：
$\sqrt{175}=\sqrt{25×7}=\sqrt{25}×\sqrt{7}=5\sqrt{7}$，
对比$\sqrt{175}=5\sqrt{m}$，可得$m=7$；
再化简$\sqrt{245}$：
$\sqrt{245}=\sqrt{49×5}=\sqrt{49}×\sqrt{5}=7\sqrt{5}$，
对比$\sqrt{245}=n\sqrt{5}$，可得$n=7$；
因此$m-n=7-7=0$。
【答案】
$0$
【知识点】
积的算术平方根性质、二次根式化简、代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查二次根式的化简规则，只要掌握积的算术平方根的性质，能准确拆分被开方数、提取其中的完全平方因数，即可快速求出参数值完成计算。
【难度系数】
0.8
6. 新情境 [2025周口淮阳区期中]射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式$v = \sqrt{2as}$进行计算，其中$a$为子弹的加速度，$s$为枪筒的长。如果$a = 5 × 10^5 \ \mathrm{m/s}^2$，$s = 0.64 \ \mathrm{m}$，那么子弹射出枪口时的速度为
$8×10^2$
$\mathrm{m/s}$。（用科学记数法表示）答案
$8×10^2$ $v=\sqrt{2as}=\sqrt{2×5×10^5×0.64}=\sqrt{10^6}×\sqrt{0.64}=8×10^2(\mathrm{m/s})$。
解析
【分析】
本题已给出子弹速度的计算公式，已知加速度$a$和枪筒长$s$的数值，解题时先将已知量代入公式，再利用积的算术平方根的性质（$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$，$a≥0,b≥0$）拆分二次根式化简，最后将结果用科学记数法表示即可。计算时优先拆分能开得尽方的因数，可简化运算，避免大数计算出错。
【解析】
解：将$a = 5 × 10^5 \ \mathrm{m/s}^2$，$s = 0.64 \ \mathrm{m}$代入公式$v = \sqrt{2as}$得：
$\begin{aligned}v&=\sqrt{2×5×10^5×0.64}\\&=\sqrt{10^6×0.64}\\&=\sqrt{10^6}×\sqrt{0.64}\\&=10^3×0.8\\&=8×10^2\ (\mathrm{m/s})\end{aligned}$
【答案】
$8×10^2$
【知识点】
积的算术平方根的性质、二次根式的运算、科学记数法
【点评】
本题结合射击实际情境出题，贴近生活，侧重考查二次根式运算规则的掌握，解题核心是正确代入数值，合理利用积的算术平方根的性质简化计算，属于基础运算类题目。
【难度系数】
0.8
本题已给出子弹速度的计算公式，已知加速度$a$和枪筒长$s$的数值，解题时先将已知量代入公式，再利用积的算术平方根的性质（$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$，$a≥0,b≥0$）拆分二次根式化简，最后将结果用科学记数法表示即可。计算时优先拆分能开得尽方的因数，可简化运算，避免大数计算出错。
【解析】
解：将$a = 5 × 10^5 \ \mathrm{m/s}^2$，$s = 0.64 \ \mathrm{m}$代入公式$v = \sqrt{2as}$得：
$\begin{aligned}v&=\sqrt{2×5×10^5×0.64}\\&=\sqrt{10^6×0.64}\\&=\sqrt{10^6}×\sqrt{0.64}\\&=10^3×0.8\\&=8×10^2\ (\mathrm{m/s})\end{aligned}$
【答案】
$8×10^2$
【知识点】
积的算术平方根的性质、二次根式的运算、科学记数法
【点评】
本题结合射击实际情境出题，贴近生活，侧重考查二次根式运算规则的掌握，解题核心是正确代入数值，合理利用积的算术平方根的性质简化计算，属于基础运算类题目。
【难度系数】
0.8
7. ▶教材例题变式 计算下列各式,使被开方数不含完全平方的因数.
(1) $\sqrt{72}$；(2) $\sqrt{\dfrac{2}{5} × 125}$；(3) $\sqrt{\dfrac{64}{9} × \dfrac{169}{144}}$.
(1) $\sqrt{72}$；(2) $\sqrt{\dfrac{2}{5} × 125}$；(3) $\sqrt{\dfrac{64}{9} × \dfrac{169}{144}}$.
答案
解:(1) $\sqrt{72}=\sqrt{4}×\sqrt{2}×\sqrt{9}=2×\sqrt{2}×3=6\sqrt{2}$。
(2) $\sqrt{\dfrac{2}{5}×125}=\sqrt{2×25}=\sqrt{2}×\sqrt{25}=5\sqrt{2}$。
(3) $\sqrt{\dfrac{64}{9}×\dfrac{169}{144}}=\sqrt{\dfrac{64}{9}}×\sqrt{\dfrac{169}{144}}=\dfrac{8}{3}×\dfrac{13}{12}=\dfrac{26}{9}$。
(2) $\sqrt{\dfrac{2}{5}×125}=\sqrt{2×25}=\sqrt{2}×\sqrt{25}=5\sqrt{2}$。
(3) $\sqrt{\dfrac{64}{9}×\dfrac{169}{144}}=\sqrt{\dfrac{64}{9}}×\sqrt{\dfrac{169}{144}}=\dfrac{8}{3}×\dfrac{13}{12}=\dfrac{26}{9}$。
解析
【分析】
本题考查二次根式的化简，核心解题依据是积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$）。解题时先将被开方数分解，分离出其中的完全平方因数，再利用上述性质将完全平方因数开方到根号外，最终保证被开方数不含完全平方的因数即可。具体每道题的思路：(1)将72拆分为多个完全平方数与剩余非完全平方因数的乘积，再分别开方计算；(2)先计算被开方数的乘法结果，再拆分出完全平方因数化简；(3)直接利用积的算术平方根性质拆分，分别对两个分数开方后再计算约分。
【解析】
(1) 先拆分被开方数的完全平方因数：
$\sqrt{72}=\sqrt{9×4×2}=\sqrt{9}×\sqrt{4}×\sqrt{2}=3×2×\sqrt{2}=6\sqrt{2}$
(2) 先计算被开方数的乘积，再拆分化简：
$\sqrt{\dfrac{2}{5}×125}=\sqrt{2×25}=\sqrt{25}×\sqrt{2}=5\sqrt{2}$
(3) 利用积的算术平方根性质拆分后分别开方，再约分化简：
$\sqrt{\dfrac{64}{9}×\dfrac{169}{144}}=\sqrt{\dfrac{64}{9}}×\sqrt{\dfrac{169}{144}}=\dfrac{8}{3}×\dfrac{13}{12}=\dfrac{26}{9}$
【答案】
(1) $6\sqrt{2}$；(2) $5\sqrt{2}$；(3) $\dfrac{26}{9}$
【知识点】
积的算术平方根性质、二次根式化简、完全平方数
【点评】
本题属于二次根式化简的基础题型，重点考察积的算术平方根性质的灵活运用，解题关键是准确识别被开方数中包含的完全平方因数，计算分数乘法时注意约分，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的化简，核心解题依据是积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$）。解题时先将被开方数分解，分离出其中的完全平方因数，再利用上述性质将完全平方因数开方到根号外，最终保证被开方数不含完全平方的因数即可。具体每道题的思路：(1)将72拆分为多个完全平方数与剩余非完全平方因数的乘积，再分别开方计算；(2)先计算被开方数的乘法结果，再拆分出完全平方因数化简；(3)直接利用积的算术平方根性质拆分，分别对两个分数开方后再计算约分。
【解析】
(1) 先拆分被开方数的完全平方因数：
$\sqrt{72}=\sqrt{9×4×2}=\sqrt{9}×\sqrt{4}×\sqrt{2}=3×2×\sqrt{2}=6\sqrt{2}$
(2) 先计算被开方数的乘积，再拆分化简：
$\sqrt{\dfrac{2}{5}×125}=\sqrt{2×25}=\sqrt{25}×\sqrt{2}=5\sqrt{2}$
(3) 利用积的算术平方根性质拆分后分别开方，再约分化简：
$\sqrt{\dfrac{64}{9}×\dfrac{169}{144}}=\sqrt{\dfrac{64}{9}}×\sqrt{\dfrac{169}{144}}=\dfrac{8}{3}×\dfrac{13}{12}=\dfrac{26}{9}$
【答案】
(1) $6\sqrt{2}$；(2) $5\sqrt{2}$；(3) $\dfrac{26}{9}$
【知识点】
积的算术平方根性质、二次根式化简、完全平方数
【点评】
本题属于二次根式化简的基础题型，重点考察积的算术平方根性质的灵活运用，解题关键是准确识别被开方数中包含的完全平方因数，计算分数乘法时注意约分，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
8. 新趋势·过程性学习下面是小明和小亮的计算过程,下列判断正确的是 (
小明:$\sqrt{3} × \sqrt{6} = \sqrt{3 × 6} = \sqrt{3 × 3 × 2} = \sqrt{3^2 × 2} = 3\sqrt{2}$.
小亮:$2\sqrt{5} × \sqrt{10} = 2\sqrt{5} × \sqrt{5 × 2} = 2\sqrt{5} × \sqrt{5} × \sqrt{2} = 2(\sqrt{5})^2 × \sqrt{2} = 10\sqrt{2}$.
A.只有小明的做法正确
B.两人的做法都错误
C.小明在计算时用到了$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} (a ≥ 0, b ≥ 0)$
D.小亮在计算时用到了$\sqrt{a^2} = a (a ≥ 0)$
C
)小明:$\sqrt{3} × \sqrt{6} = \sqrt{3 × 6} = \sqrt{3 × 3 × 2} = \sqrt{3^2 × 2} = 3\sqrt{2}$.
小亮:$2\sqrt{5} × \sqrt{10} = 2\sqrt{5} × \sqrt{5 × 2} = 2\sqrt{5} × \sqrt{5} × \sqrt{2} = 2(\sqrt{5})^2 × \sqrt{2} = 10\sqrt{2}$.
A.只有小明的做法正确
B.两人的做法都错误
C.小明在计算时用到了$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} (a ≥ 0, b ≥ 0)$
D.小亮在计算时用到了$\sqrt{a^2} = a (a ≥ 0)$
答案
C 两人的做法都正确，小亮在计算时用到了$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$。
解析
【分析】
解题时首先要明确二次根式的相关运算法则和性质，先分别判断小明、小亮的计算是否正确，再逐一分析每个选项描述的用到的性质是否匹配：①先回忆二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，以及性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$、$\sqrt{a^2}=a(a≥0)$的区别；②验证两人计算结果是否正确；③对应每个选项，判断其描述的运算用到的性质是否准确，最终选出正确选项。
【解析】
1. 验证两人计算正确性：
小明的计算：$\sqrt{3}×\sqrt{6}=\sqrt{3×6}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，计算过程和结果均正确。
小亮的计算：$2\sqrt{5}×\sqrt{10}=2\sqrt{5×10}=2\sqrt{50}=10\sqrt{2}$，拆分计算的过程和结果也均正确，因此选项A（只有小明正确）、B（两人都错误）均错误。
2. 分析选项涉及的性质：
选项C：小明第一步$\sqrt{3}×\sqrt{6}=\sqrt{3×6}$，恰好用到了二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，描述正确。
选项D：小亮计算过程中出现$(\sqrt{5})^2=5$，用到的是性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，并非$\sqrt{a^2}=a(a≥0)$，描述错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式乘法法则，二次根式的性质，二次根式化简
【点评】
本题围绕二次根式的乘法运算展开，重点考查对二次根式相关性质的辨析，需要区分$(\sqrt{a})^2$和$\sqrt{a^2}$两种形式对应的性质，解题时仔细梳理运算步骤对应的法则即可准确作答。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确二次根式的相关运算法则和性质，先分别判断小明、小亮的计算是否正确，再逐一分析每个选项描述的用到的性质是否匹配：①先回忆二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，以及性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$、$\sqrt{a^2}=a(a≥0)$的区别；②验证两人计算结果是否正确；③对应每个选项，判断其描述的运算用到的性质是否准确，最终选出正确选项。
【解析】
1. 验证两人计算正确性：
小明的计算：$\sqrt{3}×\sqrt{6}=\sqrt{3×6}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，计算过程和结果均正确。
小亮的计算：$2\sqrt{5}×\sqrt{10}=2\sqrt{5×10}=2\sqrt{50}=10\sqrt{2}$，拆分计算的过程和结果也均正确，因此选项A（只有小明正确）、B（两人都错误）均错误。
2. 分析选项涉及的性质：
选项C：小明第一步$\sqrt{3}×\sqrt{6}=\sqrt{3×6}$，恰好用到了二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，描述正确。
选项D：小亮计算过程中出现$(\sqrt{5})^2=5$，用到的是性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，并非$\sqrt{a^2}=a(a≥0)$，描述错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式乘法法则，二次根式的性质，二次根式化简
【点评】
本题围绕二次根式的乘法运算展开，重点考查对二次根式相关性质的辨析，需要区分$(\sqrt{a})^2$和$\sqrt{a^2}$两种形式对应的性质，解题时仔细梳理运算步骤对应的法则即可准确作答。
【难度系数】
0.7
9. 新趋势·数学文化 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中，给出了一种计算三角形面积的方法，也叫“秦九韶公式”。若一个三角形的三边长分别为$ a,b,c $，记$ p = \frac{a + b + c}{2} $，则$ S_{\mathrm{三角形}} = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} $。在$ △ ABC $中，$ AB = AC = 5 $，$ BC = 4 $，根据“秦九韶公式”，可得$ S_{△ ABC} = $
$2\sqrt{21}$
。答案
$2\sqrt{21}$ 根据题意得，$a=4,b=c=5,\therefore p=\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{4+5+5}{2}=7$，$\therefore S_{△ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{7×(7-4)×(7-5)×(7-5)}=\sqrt{7×3×2×2}=\sqrt{21}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=2\sqrt{21}$。
解析
【分析】
本题给出了计算三角形面积的秦九韶公式，解题时首先明确三角形的三边长，再按照公式先计算半周长$p$，接着将$p$和三边长代入面积公式，最后利用积的算术平方根的性质化简二次根式即可得到结果。
【解析】
根据题意可知$△ ABC$的三边长分别为4、5、5，
先计算半周长：$p=\frac{4+5+5}{2}=7$，
将$p$和三边长代入秦九韶公式得：
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\\&=\sqrt{7×(7-4)×(7-5)×(7-5)}\\&=\sqrt{7×3×2×2}\\&=\sqrt{2^2×21}\\&=2\sqrt{21}\end{aligned}$
【答案】
$2\sqrt{21}$
【知识点】
积的算术平方根，二次根式化简，三角形面积计算
【点评】
本题结合古代数学文化背景，考查对新公式的理解应用能力和二次根式的运算能力，解题时只要准确代入数值、按二次根式运算法则化简即可，易错点为代入边长出错或二次根式化简不彻底。
【难度系数】
0.8
本题给出了计算三角形面积的秦九韶公式，解题时首先明确三角形的三边长，再按照公式先计算半周长$p$，接着将$p$和三边长代入面积公式，最后利用积的算术平方根的性质化简二次根式即可得到结果。
【解析】
根据题意可知$△ ABC$的三边长分别为4、5、5，
先计算半周长：$p=\frac{4+5+5}{2}=7$，
将$p$和三边长代入秦九韶公式得：
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\\&=\sqrt{7×(7-4)×(7-5)×(7-5)}\\&=\sqrt{7×3×2×2}\\&=\sqrt{2^2×21}\\&=2\sqrt{21}\end{aligned}$
【答案】
$2\sqrt{21}$
【知识点】
积的算术平方根，二次根式化简，三角形面积计算
【点评】
本题结合古代数学文化背景，考查对新公式的理解应用能力和二次根式的运算能力，解题时只要准确代入数值、按二次根式运算法则化简即可，易错点为代入边长出错或二次根式化简不彻底。
【难度系数】
0.8
10. 计算:
(1) $-3\sqrt{7} × \sqrt{14}$；
(2) $\frac{1}{3}\sqrt{2} × (-6\sqrt{5})$；
(3) $\sqrt{1\frac{1}{4}} × \sqrt{2\frac{2}{5}} × \sqrt{3}$；
(4) $\sqrt{3^2 × 4^3 × 5^2}$。
(1) $-3\sqrt{7} × \sqrt{14}$；
(2) $\frac{1}{3}\sqrt{2} × (-6\sqrt{5})$；
(3) $\sqrt{1\frac{1}{4}} × \sqrt{2\frac{2}{5}} × \sqrt{3}$；
(4) $\sqrt{3^2 × 4^3 × 5^2}$。
答案
解:(1) $-3\sqrt{7} × \sqrt{14} = -3 \sqrt{7 × 14} = -3 \sqrt{7 × 7 × 2} =-3\sqrt{7^2 × 2} = -3 ×7 ×\sqrt{2} = -21\sqrt{2}$。
(2) $\dfrac{1}{3}\sqrt{2} × (-6\sqrt{5}) = -\dfrac{1}{3} ×6 ×\sqrt{2} ×\sqrt{5} = -2 × \sqrt{2×5} =-2\sqrt{10}$。
(3) $\sqrt{1\dfrac{1}{4}} × \sqrt{2\dfrac{2}{5}} ×\sqrt{3} =\sqrt{\dfrac{5}{4}} ×\sqrt{\dfrac{12}{5}} ×\sqrt{3} =\sqrt{\dfrac{5}{4} ×\dfrac{12}{5} ×3} =\sqrt{9}=3$。
(4) $\sqrt{3^2 ×4^3 ×5^2} =\sqrt{3^2} ×\sqrt{4^3} ×\sqrt{5^2} =3 ×\sqrt{64} ×5 =3 ×\sqrt{8^2} ×5 =3×8×5=120$。
(2) $\dfrac{1}{3}\sqrt{2} × (-6\sqrt{5}) = -\dfrac{1}{3} ×6 ×\sqrt{2} ×\sqrt{5} = -2 × \sqrt{2×5} =-2\sqrt{10}$。
(3) $\sqrt{1\dfrac{1}{4}} × \sqrt{2\dfrac{2}{5}} ×\sqrt{3} =\sqrt{\dfrac{5}{4}} ×\sqrt{\dfrac{12}{5}} ×\sqrt{3} =\sqrt{\dfrac{5}{4} ×\dfrac{12}{5} ×3} =\sqrt{9}=3$。
(4) $\sqrt{3^2 ×4^3 ×5^2} =\sqrt{3^2} ×\sqrt{4^3} ×\sqrt{5^2} =3 ×\sqrt{64} ×5 =3 ×\sqrt{8^2} ×5 =3×8×5=120$。
解析
【分析】
本题考查二次根式的乘法运算，解题核心是运用二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），遵循系数与系数相乘、被开方数与被开方数相乘的运算规则，最后将结果化为最简二次根式。具体思考路径：1. 先确定运算结果的符号，若有带分数先化为假分数；2. 系数部分单独相乘，二次根式部分按照乘法法则合并为一个二次根式；3. 对被开方数约分或分解质因数，将能开得尽方的因数开方到根号外，得到最简结果。
【解析】
(1) $-3\sqrt{7} × \sqrt{14} = -3 \sqrt{7 × 14} = -3 \sqrt{7 × 7 × 2} =-3\sqrt{7^2 × 2} = -3 ×7 ×\sqrt{2} = -21\sqrt{2}$
(2) $\dfrac{1}{3}\sqrt{2} × (-6\sqrt{5}) = -\dfrac{1}{3} ×6 ×\sqrt{2} ×\sqrt{5} = -2 × \sqrt{2×5} =-2\sqrt{10}$
(3) $\sqrt{1\dfrac{1}{4}} × \sqrt{2\dfrac{2}{5}} ×\sqrt{3} =\sqrt{\dfrac{5}{4}} ×\sqrt{\dfrac{12}{5}} ×\sqrt{3} =\sqrt{\dfrac{5}{4} ×\dfrac{12}{5} ×3} =\sqrt{9}=3$
(4) $\sqrt{3^2 ×4^3 ×5^2} =\sqrt{3^2} ×\sqrt{4^3} ×\sqrt{5^2} =3 ×\sqrt{64} ×5 =3 ×\sqrt{8^2} ×5 =3×8×5=120$
【答案】
(1) $-21\sqrt{2}$；(2) $-2\sqrt{10}$；(3) $3$；(4) $120$
【知识点】
二次根式乘法法则，积的算术平方根性质，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式乘法的基础运算题，运算时需注意先处理符号，带分数要先化为假分数，计算过程中优先约分可简化计算步骤，最终结果要保证是最简二次根式，避免出现符号错误、因式分解不彻底的问题。
【难度系数】
0.85
本题考查二次根式的乘法运算，解题核心是运用二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），遵循系数与系数相乘、被开方数与被开方数相乘的运算规则，最后将结果化为最简二次根式。具体思考路径：1. 先确定运算结果的符号，若有带分数先化为假分数；2. 系数部分单独相乘，二次根式部分按照乘法法则合并为一个二次根式；3. 对被开方数约分或分解质因数，将能开得尽方的因数开方到根号外，得到最简结果。
【解析】
(1) $-3\sqrt{7} × \sqrt{14} = -3 \sqrt{7 × 14} = -3 \sqrt{7 × 7 × 2} =-3\sqrt{7^2 × 2} = -3 ×7 ×\sqrt{2} = -21\sqrt{2}$
(2) $\dfrac{1}{3}\sqrt{2} × (-6\sqrt{5}) = -\dfrac{1}{3} ×6 ×\sqrt{2} ×\sqrt{5} = -2 × \sqrt{2×5} =-2\sqrt{10}$
(3) $\sqrt{1\dfrac{1}{4}} × \sqrt{2\dfrac{2}{5}} ×\sqrt{3} =\sqrt{\dfrac{5}{4}} ×\sqrt{\dfrac{12}{5}} ×\sqrt{3} =\sqrt{\dfrac{5}{4} ×\dfrac{12}{5} ×3} =\sqrt{9}=3$
(4) $\sqrt{3^2 ×4^3 ×5^2} =\sqrt{3^2} ×\sqrt{4^3} ×\sqrt{5^2} =3 ×\sqrt{64} ×5 =3 ×\sqrt{8^2} ×5 =3×8×5=120$
【答案】
(1) $-21\sqrt{2}$；(2) $-2\sqrt{10}$；(3) $3$；(4) $120$
【知识点】
二次根式乘法法则，积的算术平方根性质，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式乘法的基础运算题，运算时需注意先处理符号，带分数要先化为假分数，计算过程中优先约分可简化计算步骤，最终结果要保证是最简二次根式，避免出现符号错误、因式分解不彻底的问题。
【难度系数】
0.85
11. 运算能力 [2024 德阳中考] 将一组数$\sqrt{2},2,\sqrt{6},2\sqrt{2},\sqrt{10},2\sqrt{3},\dots,\sqrt{2n},\dots$按以下方式进行排列：
第一行 $\sqrt{2}$
第二行 $2$ $\sqrt{6}$
第三行 $2\sqrt{2}$ $\sqrt{10}$ $2\sqrt{3}$
$\dots$ $\dots$
则第八行左起第1个数是 （
A.$7\sqrt{2}$
B.$8\sqrt{2}$
C.$\sqrt{58}$
D.$4\sqrt{7}$
第一行 $\sqrt{2}$
第二行 $2$ $\sqrt{6}$
第三行 $2\sqrt{2}$ $\sqrt{10}$ $2\sqrt{3}$
$\dots$ $\dots$
则第八行左起第1个数是 （
C
）A.$7\sqrt{2}$
B.$8\sqrt{2}$
C.$\sqrt{58}$
D.$4\sqrt{7}$
答案
C $\because \sqrt{2}=\sqrt{2×1},2=\sqrt{2×2},\sqrt{6}=\sqrt{2×3},2\sqrt{2}=\sqrt{2×4},\sqrt{10}=\sqrt{2×5},2\sqrt{3}=\sqrt{2×6},\dots,\sqrt{2n}=\sqrt{2×n},\dots$，
$\therefore$ 第$n$个数为$\sqrt{2n}$。由题图可知，第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，……，第七行有7个数，前七行的数共有$1+2+3+4+5+6+7=28$(个)，则第八行左起第1个数是第29个数，即$\sqrt{2×29}=\sqrt{58}$。
$\therefore$ 第$n$个数为$\sqrt{2n}$。由题图可知，第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，……，第七行有7个数，前七行的数共有$1+2+3+4+5+6+7=28$(个)，则第八行左起第1个数是第29个数，即$\sqrt{2×29}=\sqrt{58}$。
解析
【分析】
要解决本题，可按两步思考：第一步先明确数列的通项规律，将所有给出的数统一变形为带根号的形式，即可推导出第k个数的表达式；第二步分析排列规律：每行的数的个数与行数相等，要求第八行左起第1个数，需先计算前7行的总个数，得到该数在整个数列中的序号，最后代入通项公式计算即可。
【解析】
首先将数列中各数统一化为根号形式：
$\sqrt{2}=\sqrt{2×1}$，$2=\sqrt{4}=\sqrt{2×2}$，$\sqrt{6}=\sqrt{2×3}$，$2\sqrt{2}=\sqrt{8}=\sqrt{2×4}$，$\sqrt{10}=\sqrt{2×5}$，$2\sqrt{3}=\sqrt{12}=\sqrt{2×6}$，……，由此可得第$k$个数为$\sqrt{2k}$。
再观察排列规律：第$m$行有$m$个数，因此前7行的数的总个数为：
$1+2+3+4+5+6+7=28$（个）
则第八行左起第1个数是整个数列的第$28+1=29$个数，将$k=29$代入通项得：
$\sqrt{2×29}=\sqrt{58}$
【答案】C
【知识点】
二次根式化简；数字规律探究；正整数求和
【点评】
本题是二次根式与规律探究结合的常见题型，解题关键是先统一二次根式的表达形式找到数列通项，再结合排列规律确定所求数的序号，整体计算量小，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
要解决本题，可按两步思考：第一步先明确数列的通项规律，将所有给出的数统一变形为带根号的形式，即可推导出第k个数的表达式；第二步分析排列规律：每行的数的个数与行数相等，要求第八行左起第1个数，需先计算前7行的总个数，得到该数在整个数列中的序号，最后代入通项公式计算即可。
【解析】
首先将数列中各数统一化为根号形式：
$\sqrt{2}=\sqrt{2×1}$，$2=\sqrt{4}=\sqrt{2×2}$，$\sqrt{6}=\sqrt{2×3}$，$2\sqrt{2}=\sqrt{8}=\sqrt{2×4}$，$\sqrt{10}=\sqrt{2×5}$，$2\sqrt{3}=\sqrt{12}=\sqrt{2×6}$，……，由此可得第$k$个数为$\sqrt{2k}$。
再观察排列规律：第$m$行有$m$个数，因此前7行的数的总个数为：
$1+2+3+4+5+6+7=28$（个）
则第八行左起第1个数是整个数列的第$28+1=29$个数，将$k=29$代入通项得：
$\sqrt{2×29}=\sqrt{58}$
【答案】C
【知识点】
二次根式化简；数字规律探究；正整数求和
【点评】
本题是二次根式与规律探究结合的常见题型，解题关键是先统一二次根式的表达形式找到数列通项，再结合排列规律确定所求数的序号，整体计算量小，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
