1. [2025广东中考]计算$\sqrt{12} × \sqrt{3}$的结果是（）

A.3
B.6
C.$\sqrt{6}$
D.$2\sqrt{6}$

B $\sqrt{12} × \sqrt{3} = \sqrt{12 × 3} = \sqrt{36} = 6.$

【分析】
本题考查二次根式的乘法运算，解题时首先回忆二次根式的乘法运算法则：$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），我们可以先利用这个法则将两个二次根式合并为一个二次根式，再计算被开方数的乘积，最后化简得到结果即可。
【解析】
根据二次根式的乘法法则计算：
$\begin{aligned}\sqrt{12} × \sqrt{3}&=\sqrt{12 × 3}\\&=\sqrt{36}\\&=6\end{aligned}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的乘法运算，算术平方根的化简
【点评】
本题属于基础运算题，直接考查二次根式乘法法则的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时先合并二次根式再化简可简化计算过程。
【难度系数】
0.9

2.若$\sqrt{x} · \sqrt{x-3} = \sqrt{x(x-3)}$，则$x$的取值范围是（）

A.$x ≥ 0$
B.$x ≥ 3$
C.$0 ≤ x ≤ 3$
D.$x$为任意实数

B 由$\begin{cases} x≥0, \\ x-3≥0, \end{cases}$ 解得 $x≥3.$

【分析】
要确定x的取值范围，需依据二次根式乘法法则的成立条件来思考：二次根式的乘法公式$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$成立的前提是$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$都有意义，即被开方数$a≥0$且$b≥0$。因此本题中需要让等式左侧的两个二次根式$\sqrt{x}$和$\sqrt{x-3}$都有意义，分别列出被开方数非负的不等式，再求解不等式组的公共解集即可。
【解析】
根据二次根式乘法法则的适用条件，要使$\sqrt{x} · \sqrt{x-3} = \sqrt{x(x-3)}$成立，需满足两个二次根式的被开方数均为非负数，据此列不等式组：
$\begin{cases} x≥0 \\ x-3≥0 \end{cases}$
解不等式$x-3≥0$，得$x≥3$。
取两个不等式的公共解集，得$x≥3$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的乘法法则
【点评】
本题是二次根式乘法的基础考查题，易错点是仅考虑等式右侧被开方数的非负性，忽略左侧每个二次根式单独有意义的要求，解题时要牢记二次根式乘法法则的适用前提。
【难度系数】
0.7

3. 下列各数中，与$\sqrt{2}$的积为无理数的是（）

A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{8}$
C.$\sqrt{18}$
D.$\sqrt{21}$

D $\sqrt{2} × \sqrt{2} = \sqrt{2 × 2} = \sqrt{4} = 2,\sqrt{8} × \sqrt{2} = \sqrt{8 × 2} = \sqrt{16} = 4,$
$\sqrt{18} × \sqrt{2} = \sqrt{18 × 2} = \sqrt{36} = 6,\sqrt{21} × \sqrt{2} = \sqrt{21 × 2} = \sqrt{42}.$

【分析】
要判断哪个选项与$\sqrt{2}$的积为无理数，可按以下思路解题：首先运用二次根式的乘法法则，分别计算每个选项和$\sqrt{2}$的乘积，再将乘积化简，最后根据无理数的定义判断结果是否为无理数，选出符合要求的选项即可。
【解析】
根据二次根式乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} \ (a≥0,b≥0)$，逐一计算各选项与$\sqrt{2}$的乘积：
选项A：$\sqrt{2} × \sqrt{2} = \sqrt{2 × 2} = \sqrt{4} = 2$，2是有理数，不符合题意；
选项B：$\sqrt{8} × \sqrt{2} = \sqrt{8 × 2} = \sqrt{16} = 4$，4是有理数，不符合题意；
选项C：$\sqrt{18} × \sqrt{2} = \sqrt{18 × 2} = \sqrt{36} = 6$，6是有理数，不符合题意；
选项D：$\sqrt{21} × \sqrt{2} = \sqrt{21 × 2} = \sqrt{42}$，42无法开得尽方，$\sqrt{42}$是无理数，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次根式乘法运算、无理数的判定、二次根式化简
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次根式的乘法计算和无理数的识别，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘法法则，正确化简计算结果后再判断是否为无理数，计算时注意避免因乘法运算错误导致判断失误。
【难度系数】
0.8

4. 某直角三角形两条直角边的长分别为$\sqrt{3}$ cm，$\sqrt{12}$ cm，则该直角三角形的面积为 cm².

3 $\dfrac{1}{2} × \sqrt{3} × \sqrt{12} = \dfrac{1}{2} × \sqrt{36} = \dfrac{1}{2} × 6 = 3,$故该直角三角形的面积为3 cm².

【分析】
要计算该直角三角形的面积，首先回忆直角三角形的面积公式：$S=\frac{1}{2}ab$（$a$、$b$为两条直角边的长度），已知两条直角边均为二次根式，代入数值后，利用二次根式的乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$计算两个二次根式的乘积，再化简求值即可。
【解析】
根据直角三角形面积公式，代入已知边长计算：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2} × \sqrt{3} × \sqrt{12} \\&=\frac{1}{2} × \sqrt{3×12} \\&=\frac{1}{2} × \sqrt{36} \\&=\frac{1}{2} × 6 \\&=3\end{aligned}$
【答案】
$3$
【知识点】
直角三角形面积计算、二次根式的乘法运算、二次根式化简
【点评】
本题是二次根式运算与几何计算的基础结合题，解题核心是牢记面积公式和二次根式乘法规则，先合并根号再化简的计算方式更简便，不易出错。
【难度系数】
0.9

5. 计算:
(1) [2025河南中考]$\sqrt[3]{8} + (π - 1)^0 - \sqrt{3} × \sqrt{3}$;
(2) [2025湖北中考]$|-6| - \sqrt{2} × \sqrt{8} + 2^2$;
(3) $\sqrt{15} × \sqrt{18} × \sqrt{30}$.

解:(1)$\sqrt[3]{8} + (π - 1)^0 - \sqrt{3} × \sqrt{3} = 2 + 1 - 3 = 0.$
(2)$|-6| - \sqrt{2} × \sqrt{8} + 2^2 = 6 - \sqrt{16} + 4 = 6 - 4 + 4 = 6.$
(3)$\sqrt{15} × \sqrt{18} × \sqrt{30} = \sqrt{15 × 18 × 30} = \sqrt{8100} = 90.$

【分析】
这三道题均属于实数混合运算类题目，解题时遵循“先化简各运算单元，再按从左到右的顺序计算加减”的思路：(1)先分别化简立方根、零指数幂、二次根式乘法，再进行加减计算；(2)先分别化简绝对值、二次根式乘法、乘方，再进行加减计算；(3)利用二次根式乘法的性质，先将所有被开方数相乘，再开方得到结果，计算时注意各运算法则的准确应用。
【解析】
(1) 分别化简各运算单元：$\sqrt[3]{8}=2$，非零数的零次幂为1，故$(π-1)^0=1$，根据二次根式乘法法则得$\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$，因此：
原式$=2 + 1 - 3 = 0$
(2) 分别化简各运算单元：负数的绝对值是它的相反数，故$|-6|=6$，根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$得$\sqrt{2}×\sqrt{8}=\sqrt{16}=4$，乘方运算$2^2=4$，因此：
原式$=6 - 4 + 4 = 6$
(3) 根据多个二次根式相乘的法则$\sqrt{a}×\sqrt{b}×\sqrt{c}=\sqrt{abc}$（a、b、c均为非负数），先合并被开方数再开方：
原式$=\sqrt{15 × 18 × 30} = \sqrt{8100} = 90$
【答案】
(1) $\boxed{0}$；(2) $\boxed{6}$；(3) $\boxed{90}$
【知识点】
1.二次根式的乘法运算；2.实数混合运算；3.零指数幂与绝对值的性质
【点评】
本题为基础运算题，重点考察各类基础运算法则的掌握程度，计算时需先明确运算顺序，再逐一化简各运算单元，避免因记错公式或运算顺序出错。
【难度系数】
0.85

6. 下列计算正确的是 （）

A.$2\sqrt{5} × 3\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$
B.$3\sqrt{2} × 3\sqrt{3} = 3\sqrt{6}$
C.$4\sqrt{2} × 2\sqrt{3} = 8\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{2} × 6\sqrt{3} = 12\sqrt{6}$

D $2\sqrt{5} × 3\sqrt{5} = 6 × 5 = 30,$故 A 错误;$3\sqrt{2} × 3\sqrt{3} = 9\sqrt{6},$故 B 错误;$4\sqrt{2} × 2\sqrt{3} = 8\sqrt{6},$故 C 错误;$2\sqrt{2} × 6\sqrt{3} = 12\sqrt{6},$故D 正确.

【分析】
本题考查二次根式的乘法运算，解题思路是先明确二次根式的乘法法则：两个形如$a\sqrt{b}$、$c\sqrt{d}$（$b≥0,d≥0$）的二次根式相乘，将系数相乘作为积的系数，被开方数相乘作为积的被开方数，最后化简结果，再将每个选项按法则计算后对比判断即可。
【解析】
根据二次根式乘法法则逐一计算：
选项A：$2\sqrt{5} × 3\sqrt{5} = (2×3)×(\sqrt{5}×\sqrt{5})=6×5=30$，与选项中$6\sqrt{5}$不符，故A错误；
选项B：$3\sqrt{2} × 3\sqrt{3} = (3×3)×\sqrt{2×3}=9\sqrt{6}$，与选项中$3\sqrt{6}$不符，故B错误；
选项C：$4\sqrt{2} × 2\sqrt{3} = (4×2)×\sqrt{2×3}=8\sqrt{6}$，与选项中$8\sqrt{5}$不符，故C错误；
选项D：$2\sqrt{2} × 6\sqrt{3} = (2×6)×\sqrt{2×3}=12\sqrt{6}$，与选项结果一致，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的乘法运算，二次根式的化简
【点评】
本题是基础运算类题目，核心是牢记二次根式乘法的运算规则，运算时注意不要漏乘系数，也不要错误地将被开方数相加，掌握法则即可轻松得分。
【难度系数】
0.8

7. 教材例题变式 若规定两数$a,b$通过运算“※”得到$4ab$，即$a※b=4ab$，例如$2※6=4×2×6=48$，则$\sqrt{5}※\sqrt{3}=$.

$4\sqrt{15}$ $\sqrt{5}※\sqrt{3} = 4 × \sqrt{5} × \sqrt{3} = 4 × \sqrt{5 × 3} = 4\sqrt{15}.$

【分析】
本题属于新定义运算类题目，解题思路清晰：首先明确新运算“※”的运算规则为$a※b=4ab$，即运算结果是4与两个参与运算的数的乘积；再将$\sqrt{5}$和$\sqrt{3}$分别对应规则中的$a$和$b$代入公式；最后按照二次根式的乘法法则计算并化简结果即可。
【解析】
根据新运算规则$a※b=4ab$，代入数值计算：
$\begin{aligned}\sqrt{5}※\sqrt{3}&=4×\sqrt{5}×\sqrt{3}\\&=4×\sqrt{5×3}\\&=4\sqrt{15}\end{aligned}$
【答案】
$4\sqrt{15}$
【知识点】
新定义运算，二次根式的乘法
【点评】
本题是基础运算题，重点考查对新运算规则的理解能力和二次根式乘法的计算能力，解题的关键是准确套用新运算公式，计算时注意遵守二次根式的化简要求。
【难度系数】
0.9

8. 若$\sqrt{2} × \sqrt{\dfrac{6}{x}}$是整数，则整数$x$的值是。

3或12 $\because \sqrt{2} × \sqrt{\dfrac{6}{x}} = \sqrt{\dfrac{12}{x}}$ 是整数,$\therefore \dfrac{12}{x}$是整数. $\because x$是整数,$\therefore \dfrac{12}{x}$是小于12的完全平方数,$\therefore \dfrac{12}{x}$的值为 1,4 或 9.
当$\dfrac{12}{x}=1$时,$x=12$;当$\dfrac{12}{x}=4$时,$x=3$;当$\dfrac{12}{x}=9$时,$x=\dfrac{4}{3}$(舍去).综上,$x=3$ 或 12.

【分析】
解题时先利用二次根式的乘法法则对原式进行化简，得到化简结果为$\sqrt{\dfrac{12}{x}}$。要使这个二次根式的值为整数，首先要满足二次根式有意义的条件：被开方数$\dfrac{12}{x}＞0$（因为$x$在分母位置，不能为0），其次被开方数$\dfrac{12}{x}$必须是完全平方数，同时$x$是整数。我们可以先列出小于等于12的正完全平方数，再分别计算对应的$x$值，舍去不是整数的$x$，最终得到符合条件的解。
【解析】
解：根据二次根式的乘法法则，可得
$\sqrt{2} × \sqrt{\dfrac{6}{x}} = \sqrt{2×\dfrac{6}{x}} = \sqrt{\dfrac{12}{x}}$
∵ $\sqrt{\dfrac{12}{x}}$是整数，且$x$是整数，
∴ $\dfrac{12}{x}$是正的完全平方数，且$x$为正整数（满足二次根式被开方数大于0、分母不为0的要求）。
小于等于12的正完全平方数有1、4、9，分情况讨论：
① 当$\dfrac{12}{x}=1$时，解得$x=12$，符合题意；
② 当$\dfrac{12}{x}=4$时，解得$x=3$，符合题意；
③ 当$\dfrac{12}{x}=9$时，解得$x=\dfrac{4}{3}$，不是整数，舍去。
综上，整数$x$的值为3或12。
【答案】
3或12
【知识点】
二次根式的乘法；完全平方数；二次根式有意义的条件
【点评】
本题解题的核心是先利用二次根式乘法法则化简原式，再结合整数、完全平方数的性质分类讨论，解题时要注意检验所得$x$是否符合整数的要求，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.6

9. 先化简,再求值:$(x + y)^2 + (x + y)(x - y) - 2x^2$,其中$x = \sqrt{2}, y = \sqrt{3}.$

解:$(x + y)^2 + (x + y)(x - y) - 2x^2 = x^2 + 2xy + y^2 + x^2 - y^2 - 2x^2 = 2xy.$
当 $x = \sqrt{2},y = \sqrt{3}$时,原式 $= 2 × \sqrt{2} × \sqrt{3} = 2\sqrt{6}.$

【分析】
解题分为化简、代值计算两步：第一步先化简整式，运用完全平方公式和平方差公式分别展开两个乘积项，再合并同类项得到最简整式；第二步将$x$、$y$的取值代入最简式，根据二次根式的乘法法则计算最终结果即可。
【解析】
首先利用乘法公式展开各项并合并同类项：
$\begin{aligned}&(x + y)^2 + (x + y)(x - y) - 2x^2\\=&x^2 + 2xy + y^2 + x^2 - y^2 - 2x^2\\=&2xy\end{aligned}$
将$x = \sqrt{2}, y = \sqrt{3}$代入化简结果计算：
原式$=2×\sqrt{2}×\sqrt{3}=2\sqrt{6}$
【答案】
$2\sqrt{6}$
【知识点】
整式化简求值，乘法公式，二次根式乘法
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查整式乘法公式的运用和二次根式的运算，熟练掌握相关公式和运算法则就能快速准确求解。
【难度系数】
0.85

10. 教材试一试变式 已知$\sqrt{4}=2,\sqrt{9}=3,\sqrt{36}=6.$
因为$2×3=6$,所以$\sqrt{4}×\sqrt{9}=\sqrt{36}.$
(1)$\sqrt{16}=$,$\sqrt{25}=$,$\sqrt{400}=$.
(2)观察(1)中的结果,写出$\sqrt{16},\sqrt{25},\sqrt{400}$之间的数量关系:.
(3)已知$a=\sqrt{2},b=\sqrt{10}$,用含$a,b$的式子表示$\sqrt{40}.$

解:(1)4 5 20
(2) $\sqrt{16} × \sqrt{25} = \sqrt{400}$
(3)已知 $a = \sqrt{2},b = \sqrt{10},$
$\because \sqrt{2} × \sqrt{2} × \sqrt{10} = \sqrt{40},\therefore \sqrt{40} = a^2 b.$

【分析】
解题时先从算术平方根的定义入手解决第(1)问：若一个正数x的平方等于a，即x²=a，则x是a的算术平方根，据此计算三个算术平方根即可。第(2)问参照题干给出的示例规律，对比(1)的计算结果，找到三个根式的乘积关系。第(3)问先运用二次根式的乘法法则，将√40拆分为含有√2和√10的乘积形式，再代入a、b对应的代数式化简即可。
【解析】
(1) 根据算术平方根的定义：
∵$4^2=16$，
∴$\sqrt{16}=4$；
∵$5^2=25$，
∴$\sqrt{25}=5$；
∵$20^2=400$，
∴$\sqrt{400}=20$。
(2) 观察(1)的计算结果可得$4×5=20$，对应根式的数量关系为：$\sqrt{16} × \sqrt{25} = \sqrt{400}$。
(3) 根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$化简$\sqrt{40}$：
$\sqrt{40}=\sqrt{4×10}=\sqrt{2×2×10}=\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{10}$
已知$a=\sqrt{2},b=\sqrt{10}$，代入上式得：
$\sqrt{40}=a·a·b=a^2b$
【答案】
(1) 4；5；20
(2) $\sqrt{16} × \sqrt{25} = \sqrt{400}$
(3) $\sqrt{40}=a^2b$
【知识点】
算术平方根计算；二次根式乘法法则；代数式表示
【点评】
本题是二次根式乘法的探究类基础题，通过从具体数值运算归纳规律、再应用规律解决含字母的运算问题，有助于理解二次根式乘法法则的推导逻辑，是巩固二次根式运算基础的典型习题。
【难度系数】
0.8