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8. 如图所示是一个四边形ABCD，连结AC，得到△ABC和△ACD。
(1)求四边形ABCD四个内角的和。
(2)根据题(1)中的结论，试写出一个关于四边形ABCD内角和的命题。
(1)求四边形ABCD四个内角的和。
(2)根据题(1)中的结论，试写出一个关于四边形ABCD内角和的命题。
答案
8.(1) $∠ ABC + ∠ BCD + ∠ CDA + ∠ DAB = ∠ ABC + (∠ BCA + ∠ ACD) + ∠ CDA + (∠ DAC + ∠ CAB) = (∠ ABC + ∠ BCA + ∠ CAB)+(∠ ACD+∠ CDA+∠ DAC) = 180°+180°=360°$，四边形ABCD四个内角的和为$360°$。(2)命题：如果一个多边形是四边形，那么它的四个内角和为$360°$。
解析
【分析】
（1）求四边形内角和时，可利用已知的三角形内角和结论，通过对角线AC把四边形拆分为两个三角形，将四边形内角拆分后分别归入两个三角形的内角中，求和即可得到四边形内角和。（2）命题由条件和结论两部分构成，将“多边形是四边形”作为条件，“内角和为360°”作为结论，写成“如果……那么……”的规范形式即可。
【解析】
(1) 四边形ABCD的内角和为$∠ ABC + ∠ BCD + ∠ CDA + ∠ DAB$，
将角拆分整理可得：
$∠ ABC + ∠ BCD + ∠ CDA + ∠ DAB = ∠ ABC + (∠ BCA + ∠ ACD) + ∠ CDA + (∠ DAC + ∠ CAB)$
分组后对应两个三角形的内角和：
$= (∠ ABC + ∠ BCA + ∠ CAB)+(∠ ACD+∠ CDA+∠ DAC)$
根据三角形内角和为$180°$，代入计算得：
$= 180°+180°=360°$
(2) 按照命题的结构，可写为：如果一个多边形是四边形，那么它的四个内角和为$360°$。
【答案】
(1) 四边形ABCD四个内角的和为$\boxed{360°}$；
(2) $\boxed{如果一个多边形是四边形，那么它的四个内角和为360°}$（表述合理即可）
【知识点】
三角形内角和定理；四边形内角和；命题书写
【点评】
本题考查了转化思想在多边形内角和计算中的应用，同时考查了命题的规范表述，解题核心是掌握三角形内角和定理，明确命题的组成结构，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
（1）求四边形内角和时，可利用已知的三角形内角和结论，通过对角线AC把四边形拆分为两个三角形，将四边形内角拆分后分别归入两个三角形的内角中，求和即可得到四边形内角和。（2）命题由条件和结论两部分构成，将“多边形是四边形”作为条件，“内角和为360°”作为结论，写成“如果……那么……”的规范形式即可。
【解析】
(1) 四边形ABCD的内角和为$∠ ABC + ∠ BCD + ∠ CDA + ∠ DAB$，
将角拆分整理可得：
$∠ ABC + ∠ BCD + ∠ CDA + ∠ DAB = ∠ ABC + (∠ BCA + ∠ ACD) + ∠ CDA + (∠ DAC + ∠ CAB)$
分组后对应两个三角形的内角和：
$= (∠ ABC + ∠ BCA + ∠ CAB)+(∠ ACD+∠ CDA+∠ DAC)$
根据三角形内角和为$180°$，代入计算得：
$= 180°+180°=360°$
(2) 按照命题的结构，可写为：如果一个多边形是四边形，那么它的四个内角和为$360°$。
【答案】
(1) 四边形ABCD四个内角的和为$\boxed{360°}$；
(2) $\boxed{如果一个多边形是四边形，那么它的四个内角和为360°}$（表述合理即可）
【知识点】
三角形内角和定理；四边形内角和；命题书写
【点评】
本题考查了转化思想在多边形内角和计算中的应用，同时考查了命题的规范表述，解题核心是掌握三角形内角和定理，明确命题的组成结构，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
9.定义一种变换：$f(x)=ax-b$；且已知$f(0)=3,f(-1)=1$,求$f(1)$的值。
答案
9. 将$f(0)=3,f(-1)=1$代入到$f(x)=ax-b$，得$\begin{cases}-b=3,\\-a-b=1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=2,\\b=-3,\end{cases}$ 所以$f(x)=2x+3$，当$x=1$时，$f(1)=5$。
解析
【分析】
本题是新定义变换类题目，解题思路分为三步：第一步，先理解新变换$f(x)=ax-b$的含义，即当$x$取某一数值时，$f(x)$的对应值为$a$乘$x$的积再减去$b$；第二步，将题目给出的两组$x$和对应$f(x)$的值代入变换式，就能得到关于参数$a$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可求出$a$、$b$的具体数值；第三步，把求得的$a$、$b$代回原变换式，得到确定的$f(x)$表达式，再将$x=1$代入表达式计算，就能得到$f(1)$的值。
【解析】
将$f(0)=3$，$f(-1)=1$分别代入$f(x)=ax-b$，可得方程组：
$\begin{cases}a×0 - b = 3 \\a×(-1) - b = 1\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}-b=3 \\-a - b = 1\end{cases}$
由第一个方程解得$b=-3$，将$b=-3$代入第二个方程得：
$-a - (-3) = 1$，即$-a+3=1$，解得$a=2$。
因此原变换式为$f(x)=2x - (-3)=2x+3$，
将$x=1$代入得：$f(1)=2×1 +3=5$。
【答案】
$5$
【知识点】
新定义运算，解二元一次方程组，代数式求值
【点评】
本题重点考查对新定义规则的理解运用能力，结合二元一次方程组求解未知参数，再代入计算即可得到结果，整体逻辑清晰，运算量小，只要准确理解新定义、计算细心就可得分。
【难度系数】
0.8
本题是新定义变换类题目，解题思路分为三步：第一步，先理解新变换$f(x)=ax-b$的含义，即当$x$取某一数值时，$f(x)$的对应值为$a$乘$x$的积再减去$b$；第二步，将题目给出的两组$x$和对应$f(x)$的值代入变换式，就能得到关于参数$a$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可求出$a$、$b$的具体数值；第三步，把求得的$a$、$b$代回原变换式，得到确定的$f(x)$表达式，再将$x=1$代入表达式计算，就能得到$f(1)$的值。
【解析】
将$f(0)=3$，$f(-1)=1$分别代入$f(x)=ax-b$，可得方程组：
$\begin{cases}a×0 - b = 3 \\a×(-1) - b = 1\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}-b=3 \\-a - b = 1\end{cases}$
由第一个方程解得$b=-3$，将$b=-3$代入第二个方程得：
$-a - (-3) = 1$，即$-a+3=1$，解得$a=2$。
因此原变换式为$f(x)=2x - (-3)=2x+3$，
将$x=1$代入得：$f(1)=2×1 +3=5$。
【答案】
$5$
【知识点】
新定义运算，解二元一次方程组，代数式求值
【点评】
本题重点考查对新定义规则的理解运用能力，结合二元一次方程组求解未知参数，再代入计算即可得到结果，整体逻辑清晰，运算量小，只要准确理解新定义、计算细心就可得分。
【难度系数】
0.8
10. 如果两个互补的角有一边重合，且它们的另一边在同一直线上，那么我们称它们互为邻补角。如图所示，∠AOB与∠BOE互为邻补角。OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOE的平分线。
(1)说明：OC⊥OD。
(2)请据此归纳一条关于邻补角的真命题。
(1)说明：OC⊥OD。
(2)请据此归纳一条关于邻补角的真命题。
答案
10.(1)因为$∠ AOB$与$∠ BOE$互为邻补角，所以$∠ AOB+∠ BOE=180°$，因为OC是$∠ AOB$的平分线，所以$∠ COB=\frac{1}{2}∠ AOB$。因为OD是$∠ BOE$的平分线，所以$∠ BOD=\frac{1}{2}∠ BOE$，所以$∠ COB+∠ BOD=\frac{1}{2}∠ AOB+\frac{1}{2}∠ BOE=\frac{1}{2}(∠ AOB+∠ BOE)=\frac{1}{2}×180°=90°$，所以$OC⊥ OD$。(2)互为邻补角的两个角的平分线互相垂直。
解析
【分析】
（1）要证明OC⊥OD，本质是要证明两条线的夹角∠COD为90°。首先根据邻补角的定义，可得到∠AOB与∠BOE的和为180°；再结合角平分线的性质，可知∠COB是∠AOB的一半，∠BOD是∠BOE的一半，将两个小角求和，即可转化为邻补角和的一半，计算得到夹角为90°即可完成垂直的证明。（2）将第一问的条件和结论整合，归纳为通顺的真命题即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠AOB与∠BOE互为邻补角，
∴ $∠ AOB + ∠ BOE = 180°$，
∵ OC是$∠ AOB$的平分线，
∴ $∠ COB=\frac{1}{2}∠ AOB$，
∵ OD是$∠ BOE$的平分线，
∴ $∠ BOD=\frac{1}{2}∠ BOE$，
∴ $∠ COD = ∠ COB+∠ BOD=\frac{1}{2}∠ AOB+\frac{1}{2}∠ BOE=\frac{1}{2}(∠ AOB+∠ BOE)=\frac{1}{2}×180°=90°$，
∴ $OC⊥ OD$。
(2) 根据(1)的推导过程，可归纳真命题：互为邻补角的两个角的平分线互相垂直。
【答案】
(1)因为$∠ AOB$与$∠ BOE$互为邻补角，所以$∠ AOB+∠ BOE=180°$，因为OC是$∠ AOB$的平分线，所以$∠ COB=\frac{1}{2}∠ AOB$。因为OD是$∠ BOE$的平分线，所以$∠ BOD=\frac{1}{2}∠ BOE$，所以$∠ COB+∠ BOD=\frac{1}{2}∠ AOB+\frac{1}{2}∠ BOE=\frac{1}{2}(∠ AOB+∠ BOE)=\frac{1}{2}×180°=90°$，所以$OC⊥ OD$。
(2)互为邻补角的两个角的平分线互相垂直。
【知识点】
邻补角定义、角平分线定义、垂直的判定
【点评】
本题属于基础几何题，解题核心是熟练掌握相关几何概念，通过角度的和差运算即可完成证明，同时考查了从证明过程中归纳概括命题的能力。
【难度系数】
0.8
（1）要证明OC⊥OD，本质是要证明两条线的夹角∠COD为90°。首先根据邻补角的定义，可得到∠AOB与∠BOE的和为180°；再结合角平分线的性质，可知∠COB是∠AOB的一半，∠BOD是∠BOE的一半，将两个小角求和，即可转化为邻补角和的一半，计算得到夹角为90°即可完成垂直的证明。（2）将第一问的条件和结论整合，归纳为通顺的真命题即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠AOB与∠BOE互为邻补角，
∴ $∠ AOB + ∠ BOE = 180°$，
∵ OC是$∠ AOB$的平分线，
∴ $∠ COB=\frac{1}{2}∠ AOB$，
∵ OD是$∠ BOE$的平分线，
∴ $∠ BOD=\frac{1}{2}∠ BOE$，
∴ $∠ COD = ∠ COB+∠ BOD=\frac{1}{2}∠ AOB+\frac{1}{2}∠ BOE=\frac{1}{2}(∠ AOB+∠ BOE)=\frac{1}{2}×180°=90°$，
∴ $OC⊥ OD$。
(2) 根据(1)的推导过程，可归纳真命题：互为邻补角的两个角的平分线互相垂直。
【答案】
(1)因为$∠ AOB$与$∠ BOE$互为邻补角，所以$∠ AOB+∠ BOE=180°$，因为OC是$∠ AOB$的平分线，所以$∠ COB=\frac{1}{2}∠ AOB$。因为OD是$∠ BOE$的平分线，所以$∠ BOD=\frac{1}{2}∠ BOE$，所以$∠ COB+∠ BOD=\frac{1}{2}∠ AOB+\frac{1}{2}∠ BOE=\frac{1}{2}(∠ AOB+∠ BOE)=\frac{1}{2}×180°=90°$，所以$OC⊥ OD$。
(2)互为邻补角的两个角的平分线互相垂直。
【知识点】
邻补角定义、角平分线定义、垂直的判定
【点评】
本题属于基础几何题，解题核心是熟练掌握相关几何概念，通过角度的和差运算即可完成证明，同时考查了从证明过程中归纳概括命题的能力。
【难度系数】
0.8
11. 用语言叙述这个命题：
如图，已知直线AB，CD被直线EF所截，AB//CD，∠AEF与∠CFE的平分线EP和FP交于点P，可知：
EP⊥FP。
如图，已知直线AB，CD被直线EF所截，AB//CD，∠AEF与∠CFE的平分线EP和FP交于点P，可知：
EP⊥FP。
答案
11. 如果两直线平行，那么两直线被第三条直线所截产生的同旁内角的角平分线互相垂直。
解析
【分析】
要将具体几何情境中的结论转化为通用命题，首先需拆分命题的题设和结论：题设包含两部分，一是两条直线互相平行，二是这两条平行直线被第三条直线所截，对截得的一组同旁内角分别作角平分线；结论为这两条角平分线互相垂直。再按照“如果+题设，那么+结论”的命题通用结构，将具体的字母、线段名称替换为通用几何术语即可。
【解析】
首先提取题目中的条件与结论：
条件：两条直线平行，这两条直线被第三条直线所截，分别作截得的一组同旁内角的角平分线；
结论：这两条角平分线互相垂直。
将条件和结论整理为标准命题表述即可。
【答案】
如果两直线平行，那么两直线被第三条直线所截产生的同旁内角的角平分线互相垂直。
【知识点】
命题的结构；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题考查将具体几何命题转化为通用文字表述的能力，核心是准确区分命题的条件和结论，表述时要注意严谨规范，不要遗漏关键限定条件。
【难度系数】
0.7
要将具体几何情境中的结论转化为通用命题，首先需拆分命题的题设和结论：题设包含两部分，一是两条直线互相平行，二是这两条平行直线被第三条直线所截，对截得的一组同旁内角分别作角平分线；结论为这两条角平分线互相垂直。再按照“如果+题设，那么+结论”的命题通用结构，将具体的字母、线段名称替换为通用几何术语即可。
【解析】
首先提取题目中的条件与结论：
条件：两条直线平行，这两条直线被第三条直线所截，分别作截得的一组同旁内角的角平分线；
结论：这两条角平分线互相垂直。
将条件和结论整理为标准命题表述即可。
【答案】
如果两直线平行，那么两直线被第三条直线所截产生的同旁内角的角平分线互相垂直。
【知识点】
命题的结构；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题考查将具体几何命题转化为通用文字表述的能力，核心是准确区分命题的条件和结论，表述时要注意严谨规范，不要遗漏关键限定条件。
【难度系数】
0.7
12. 定义一种对于三位数$\overline{abc}$（$a,b,c$不完全相等）的“$F$运算”：重排$\overline{abc}$的三个数位上的数字，计算所得最大三位数和最小三位数的差（允许百位数字为零）。例如$\overline{abc}=213$，则 $213 \xrightarrow{F} 198$（$321-123=198$）$\xrightarrow{F}792$（$981-189=792$）。
（1）579经过三次“$F$运算”得________。
（2）假设$\overline{abc}$中$a＞b＞c$，则经过一次“$F$运算”所得的数是多少？（用代数式表示）
（3）猜想：任意一个三位数经过若干次“$F$运算”都会得到一个定值，请证明你的猜想。
（1）579经过三次“$F$运算”得________。
（2）假设$\overline{abc}$中$a＞b＞c$，则经过一次“$F$运算”所得的数是多少？（用代数式表示）
（3）猜想：任意一个三位数经过若干次“$F$运算”都会得到一个定值，请证明你的猜想。
答案
12.(1)$975-579=396$；$963-369=594$；$954-459=495$。故答案为495。(2)$(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=100a+10b+c-100c-10b-a=99a-99c=99(a-c)$。(3)不妨设这个三位数中三个数字为$a≥ b≥ c$，且$a≥ c+1$，则“F运算”有$\overline{abc}-\overline{cba}=99(a-c)=100(a-c-1)+10×9+(10+c-a)$，因此所得的三位数中必有一个9，而另外两个数字之和为9；共有990，981，972，963，954五种情况；以990为例得$990-099=891$，$981-189=792$，$972-279=693$，$963-369=594$，$954-459=495$，…，由此可知最后得到495，数就会循环，即定值为495。
解析
【分析】
（1）第一问严格按照“F运算”的定义操作，每次将当前三位数的三个数位数字重排，用得到的最大三位数减最小三位数，连续计算三次即可得到结果；
（2）第二问已知$a＞b＞c$，因此重排后的最大三位数是$100a+10b+c$，最小三位数是$100c+10b+a$，将两数作差后化简代数式就能得到结果；
（3）第三问先设三位数三个数位数字为$a≥b≥c$，且$a≥c+1$（因三个数字不完全相等），先推导一次F运算的结果形式，发现所得三位数必有一个9，另外两个数字之和为9，再枚举所有符合该特征的数进行F运算，验证最终都会得到固定值即可。
【解析】
（1）第一次“F运算”：将5、7、9重排，最大数为975，最小数为579，差为$975-579=396$；
第二次“F运算”：将3、9、6重排，最大数为963，最小数为369，差为$963-369=594$；
第三次“F运算”：将5、9、4重排，最大数为954，最小数为459，差为$954-459=495$。
（2）当$a＞b＞c$时，重排得到的最大三位数为$\overline{abc}=100a+10b+c$，最小三位数为$\overline{cba}=100c+10b+a$，
作差得：
$\begin{aligned}&(100a+10b+c)-(100c+10b+a)\\=&100a+10b+c-100c-10b-a\\=&99a-99c\\=&99(a-c)\end{aligned}$
（3）猜想：定值为495，证明如下：
设任意三位数的三个数位数字为$a≥b≥c$，且$a≥c+1$（因三个数字不完全相等），
则一次“F运算”结果为：$\overline{abc}-\overline{cba}=99(a-c)=100(a-c-1)+10×9+(10+c-a)$，
可知运算结果的三位数字中，必有一个数字是9，另外两个数字的和为$(a-c-1)+(10+c-a)=9$，
符合该特征的三位数共有990、981、972、963、954五种，分别进行F运算：
$990→990-099=891→981-189=792→972-279=693→963-369=594→954-459=495$，
后续对495进行F运算：$954-459=495$，结果不再变化，因此任意三位数经过若干次F运算都会得到定值495。
【答案】
（1）$\boxed{495}$；（2）$\boxed{99(a-c)}$；（3）定值为$\boxed{495}$，证明见解析
【知识点】
新定义运算，整式的加减，数字规律探究
【点评】
本题结合新定义运算考查运算能力与规律探究能力，解题时需严格遵循定义逐步计算推导，前两问侧重基础运算，第三问需要先归纳运算结果的特征，再枚举验证得到结论，整体逻辑清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
（1）第一问严格按照“F运算”的定义操作，每次将当前三位数的三个数位数字重排，用得到的最大三位数减最小三位数，连续计算三次即可得到结果；
（2）第二问已知$a＞b＞c$，因此重排后的最大三位数是$100a+10b+c$，最小三位数是$100c+10b+a$，将两数作差后化简代数式就能得到结果；
（3）第三问先设三位数三个数位数字为$a≥b≥c$，且$a≥c+1$（因三个数字不完全相等），先推导一次F运算的结果形式，发现所得三位数必有一个9，另外两个数字之和为9，再枚举所有符合该特征的数进行F运算，验证最终都会得到固定值即可。
【解析】
（1）第一次“F运算”：将5、7、9重排，最大数为975，最小数为579，差为$975-579=396$；
第二次“F运算”：将3、9、6重排，最大数为963，最小数为369，差为$963-369=594$；
第三次“F运算”：将5、9、4重排，最大数为954，最小数为459，差为$954-459=495$。
（2）当$a＞b＞c$时，重排得到的最大三位数为$\overline{abc}=100a+10b+c$，最小三位数为$\overline{cba}=100c+10b+a$，
作差得：
$\begin{aligned}&(100a+10b+c)-(100c+10b+a)\\=&100a+10b+c-100c-10b-a\\=&99a-99c\\=&99(a-c)\end{aligned}$
（3）猜想：定值为495，证明如下：
设任意三位数的三个数位数字为$a≥b≥c$，且$a≥c+1$（因三个数字不完全相等），
则一次“F运算”结果为：$\overline{abc}-\overline{cba}=99(a-c)=100(a-c-1)+10×9+(10+c-a)$，
可知运算结果的三位数字中，必有一个数字是9，另外两个数字的和为$(a-c-1)+(10+c-a)=9$，
符合该特征的三位数共有990、981、972、963、954五种，分别进行F运算：
$990→990-099=891→981-189=792→972-279=693→963-369=594→954-459=495$，
后续对495进行F运算：$954-459=495$，结果不再变化，因此任意三位数经过若干次F运算都会得到定值495。
【答案】
（1）$\boxed{495}$；（2）$\boxed{99(a-c)}$；（3）定值为$\boxed{495}$，证明见解析
【知识点】
新定义运算，整式的加减，数字规律探究
【点评】
本题结合新定义运算考查运算能力与规律探究能力，解题时需严格遵循定义逐步计算推导，前两问侧重基础运算，第三问需要先归纳运算结果的特征，再枚举验证得到结论，整体逻辑清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
