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斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形
全等
（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。答案
全等
解析
【分析】
本题考查直角三角形全等的判定相关概念，解题时先明确题目给出的前提是两个直角三角形，已知条件为斜边和一条直角边分别相等，对应回忆直角三角形特有的全等判定规则，即可直接得出结论。
【解析】
我们已经学习了直角三角形特有的全等判定定理：对于两个直角三角形，如果它们的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，该判定定理可以简写成“斜边、直角边”或“HL”，因此本题应填全等。
【答案】
全等
【知识点】
1. 直角三角形全等的判定（HL）
2. 全等三角形的概念
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考查HL定理的基本内容，熟练掌握直角三角形全等的特殊判定规则即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
本题考查直角三角形全等的判定相关概念，解题时先明确题目给出的前提是两个直角三角形，已知条件为斜边和一条直角边分别相等，对应回忆直角三角形特有的全等判定规则，即可直接得出结论。
【解析】
我们已经学习了直角三角形特有的全等判定定理：对于两个直角三角形，如果它们的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，该判定定理可以简写成“斜边、直角边”或“HL”，因此本题应填全等。
【答案】
全等
【知识点】
1. 直角三角形全等的判定（HL）
2. 全等三角形的概念
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考查HL定理的基本内容，熟练掌握直角三角形全等的特殊判定规则即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
1. 如图14.2-34，可直接用“HL”判定$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$全等的条件是（
A.$AC=DF$，$BC=EF$
B.$∠ A=∠ D$，$AB=DE$
C.$AC=DF$，$AB=DE$
D.$∠ B=∠ E$，$BC=EF$
C
）.A.$AC=DF$，$BC=EF$
B.$∠ A=∠ D$，$AB=DE$
C.$AC=DF$，$AB=DE$
D.$∠ B=∠ E$，$BC=EF$
答案
1. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确直角三角形“HL”判定定理的内容：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。因此我们需要从选项中找出“一组斜边对应相等+一组直角边对应相等”的条件，其余用普通三角形全等判定（SAS、ASA、AAS等）的选项均不符合要求，逐一排查选项即可得到答案。
【解析】
首先回忆“HL”判定定理的适用条件：仅适用于直角三角形，要求两个直角三角形的斜边和其中一条直角边分别对应相等。
逐一分析各选项：
选项A：$AC=DF$，$BC=EF$，是两条直角边对应相等，可通过“SAS”判定两三角形全等，不符合“HL”的要求，排除；
选项B：$∠ A=∠ D$，$AB=DE$，加上两个三角形的直角相等，可通过“AAS”判定全等，不符合“HL”的要求，排除；
选项C：$AC=DF$（两直角三角形的斜边相等），$AB=DE$（两直角三角形的直角边相等），满足“斜边和一条直角边对应相等”的要求，可直接用“HL”判定全等，符合题意；
选项D：$∠ B=∠ E$，$BC=EF$，加上两个三角形的直角相等，可通过“ASA”判定全等，不符合“HL”的要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
HL判定定理；三角形全等的判定
【点评】
本题重点考查对HL判定定理的理解与应用，要注意HL是直角三角形特有的判定方法，使用时要明确对应边分别是斜边和直角边，注意区分HL与普通三角形全等的判定方法，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确直角三角形“HL”判定定理的内容：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。因此我们需要从选项中找出“一组斜边对应相等+一组直角边对应相等”的条件，其余用普通三角形全等判定（SAS、ASA、AAS等）的选项均不符合要求，逐一排查选项即可得到答案。
【解析】
首先回忆“HL”判定定理的适用条件：仅适用于直角三角形，要求两个直角三角形的斜边和其中一条直角边分别对应相等。
逐一分析各选项：
选项A：$AC=DF$，$BC=EF$，是两条直角边对应相等，可通过“SAS”判定两三角形全等，不符合“HL”的要求，排除；
选项B：$∠ A=∠ D$，$AB=DE$，加上两个三角形的直角相等，可通过“AAS”判定全等，不符合“HL”的要求，排除；
选项C：$AC=DF$（两直角三角形的斜边相等），$AB=DE$（两直角三角形的直角边相等），满足“斜边和一条直角边对应相等”的要求，可直接用“HL”判定全等，符合题意；
选项D：$∠ B=∠ E$，$BC=EF$，加上两个三角形的直角相等，可通过“ASA”判定全等，不符合“HL”的要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
HL判定定理；三角形全等的判定
【点评】
本题重点考查对HL判定定理的理解与应用，要注意HL是直角三角形特有的判定方法，使用时要明确对应边分别是斜边和直角边，注意区分HL与普通三角形全等的判定方法，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
2. 如图14.2-35，有两个长度相等的滑梯靠在一面竖直的墙上. 已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等. 若∠ABC=32°，则∠DFE的度数是（
A.$32°$
B.$58°$
C.$62°$
D.$68°$
B
）.A.$32°$
B.$58°$
C.$62°$
D.$68°$
答案
2. B
解析
【分析】
首先根据题意可判断△ABC和△DEF均为直角三角形，已知两个滑梯长度相等即斜边BC=EF，同时给出直角边AC=DF，因此可利用HL定理证明两个直角三角形全等；再根据全等三角形对应角相等得到∠DEF=∠ABC=32°，最后利用直角三角形两锐角互余的性质，即可计算出∠DFE的度数。
【解析】
解：由题意得：∠BAC=∠EDF=90°，BC=EF，AC=DF。
在$Rt△ ABC$和$Rt△ DEF$中：
$\{\begin{array}{l}BC=EF\\ AC=DF\end{array} $
∴$Rt△ ABC≌Rt△ DEF(HL)$
∴∠DEF=∠ABC=32°
∵在$Rt△ DEF$中，∠EDF=90°
∴∠DFE=90°-∠DEF=90°-32°=58°
【答案】
B
【知识点】
HL判定全等、全等三角形的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题结合生活实际考查三角形全等的判定与性质的综合应用，解题关键是从实际场景中抽象出直角三角形几何模型，准确找到全等的判定条件，再结合直角三角形的角度关系求解，是全等三角形应用的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
首先根据题意可判断△ABC和△DEF均为直角三角形，已知两个滑梯长度相等即斜边BC=EF，同时给出直角边AC=DF，因此可利用HL定理证明两个直角三角形全等；再根据全等三角形对应角相等得到∠DEF=∠ABC=32°，最后利用直角三角形两锐角互余的性质，即可计算出∠DFE的度数。
【解析】
解：由题意得：∠BAC=∠EDF=90°，BC=EF，AC=DF。
在$Rt△ ABC$和$Rt△ DEF$中：
$\{\begin{array}{l}BC=EF\\ AC=DF\end{array} $
∴$Rt△ ABC≌Rt△ DEF(HL)$
∴∠DEF=∠ABC=32°
∵在$Rt△ DEF$中，∠EDF=90°
∴∠DFE=90°-∠DEF=90°-32°=58°
【答案】
B
【知识点】
HL判定全等、全等三角形的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题结合生活实际考查三角形全等的判定与性质的综合应用，解题关键是从实际场景中抽象出直角三角形几何模型，准确找到全等的判定条件，再结合直角三角形的角度关系求解，是全等三角形应用的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
3. 如图14.2-36，在∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM=ON，再过点M，N分别作OA，OB的垂线，两垂线交于点P，画射线OP，则OP平分∠AOB.依据是（
A.SAS
B.ASA
C.AAS
D.HL
D
）.A.SAS
B.ASA
C.AAS
D.HL
答案
3. D
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：首先OM=ON，PM垂直OA、PN垂直OB，可知△OMP和△ONP都是直角三角形，且OP是两个三角形的公共斜边。要证明OP平分∠AOB，需先证∠MOP=∠NOP，即需证明两个直角三角形全等。直角三角形全等的特殊判定HL定理要求斜边和一条直角边对应相等，本题刚好满足斜边OP公共，直角边OM=ON，因此用HL判定全等即可推导角相等。
【解析】
解：
∵ $PM⊥ OA$，$PN⊥ OB$，
∴ $∠ OMP=∠ ONP=90°$，即$△ OMP$和$△ ONP$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ OMP$和$\mathrm{Rt}△ ONP$中：
$\begin{cases}OM=ON（已知）\\OP=OP（公共边）\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ OMP≌\mathrm{Rt}△ ONP(\mathrm{HL})$，
∴ $∠ MOP=∠ NOP$，即$OP$平分$∠ AOB$。
因此判定的依据为HL，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. HL判定定理 2. 全等三角形的性质 3. 角平分线的定义
【点评】
本题考查直角三角形全等的判定及应用，解题核心是先明确三角形为直角三角形，再结合已知条件匹配对应的全等判定定理，需注意区分直角三角形特殊判定和一般三角形全等判定的适用场景。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：首先OM=ON，PM垂直OA、PN垂直OB，可知△OMP和△ONP都是直角三角形，且OP是两个三角形的公共斜边。要证明OP平分∠AOB，需先证∠MOP=∠NOP，即需证明两个直角三角形全等。直角三角形全等的特殊判定HL定理要求斜边和一条直角边对应相等，本题刚好满足斜边OP公共，直角边OM=ON，因此用HL判定全等即可推导角相等。
【解析】
解：
∵ $PM⊥ OA$，$PN⊥ OB$，
∴ $∠ OMP=∠ ONP=90°$，即$△ OMP$和$△ ONP$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ OMP$和$\mathrm{Rt}△ ONP$中：
$\begin{cases}OM=ON（已知）\\OP=OP（公共边）\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ OMP≌\mathrm{Rt}△ ONP(\mathrm{HL})$，
∴ $∠ MOP=∠ NOP$，即$OP$平分$∠ AOB$。
因此判定的依据为HL，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. HL判定定理 2. 全等三角形的性质 3. 角平分线的定义
【点评】
本题考查直角三角形全等的判定及应用，解题核心是先明确三角形为直角三角形，再结合已知条件匹配对应的全等判定定理，需注意区分直角三角形特殊判定和一般三角形全等判定的适用场景。
【难度系数】
0.8
4. 如图14.2-37，$AC=BC$，$AE=CD$，$AE⊥ CE$，垂足为$E$，$BD⊥ CD$，垂足为$D$，若$AE=8$，$BD=3$，则$DE$的长是
5
。答案
4. 5
解析
【分析】
首先根据已知的两组垂直关系，可得到两个直角三角形；再结合题目给出的斜边相等（AC=BC）、一组直角边相等（AE=CD），可利用HL判定定理证明两个直角三角形全等；之后根据全等三角形对应边相等，得到CE与BD、CD与AE的等量关系，最后通过线段的和差关系计算DE的长度即可。
【解析】
∵ AE⊥CE，BD⊥CD，
∴ ∠E = ∠D = 90°，即△AEC和△CDB均为直角三角形。
在Rt△AEC和Rt△CDB中，
$\{\begin{array}{l}AC = CB \\AE = CD\end{array} $
∴ Rt△AEC ≌ Rt△CDB（HL），
∴ CE = BD = 3，CD = AE = 8，
∴ DE = CD - CE = 8 - 3 = 5。
【答案】
5
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题核心是先通过HL判定直角三角形全等，再利用全等性质得到对应边的长度，结合线段和差关系求解，解题时要注意找准全等三角形的对应边。
【难度系数】
0.7
首先根据已知的两组垂直关系，可得到两个直角三角形；再结合题目给出的斜边相等（AC=BC）、一组直角边相等（AE=CD），可利用HL判定定理证明两个直角三角形全等；之后根据全等三角形对应边相等，得到CE与BD、CD与AE的等量关系，最后通过线段的和差关系计算DE的长度即可。
【解析】
∵ AE⊥CE，BD⊥CD，
∴ ∠E = ∠D = 90°，即△AEC和△CDB均为直角三角形。
在Rt△AEC和Rt△CDB中，
$\{\begin{array}{l}AC = CB \\AE = CD\end{array} $
∴ Rt△AEC ≌ Rt△CDB（HL），
∴ CE = BD = 3，CD = AE = 8，
∴ DE = CD - CE = 8 - 3 = 5。
【答案】
5
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题核心是先通过HL判定直角三角形全等，再利用全等性质得到对应边的长度，结合线段和差关系求解，解题时要注意找准全等三角形的对应边。
【难度系数】
0.7
5. 如图14.2-38，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，D是AC上一点，$DE⊥ AB$，垂足为E，且$BE=BC$。若$AC=8\ \mathrm{cm}$，则$AD+ED=$
8
cm. 答案
5. 8
解析
【分析】
解题时先观察图形特征，已知存在两个直角、且BE=BC，可通过连接BD构造两个直角三角形，利用HL判定这两个直角三角形全等，再根据全等三角形对应边相等的性质将ED转化为CD，进而把AD+ED的和转化为已知线段AC的长度求解。
【解析】
解：连接BD，
∵ $∠ ACB=90°$，$DE⊥ AB$，
∴ $∠ C=∠ BED=90°$，
在$\mathrm{Rt}△BCD$和$\mathrm{Rt}△BED$中：
$\begin{cases}BD=BD\quad(\mathrm{公共边}) \\BC=BE\quad(\mathrm{已知})\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△BCD ≌ \mathrm{Rt}△BED$（HL），
∴ $ED=CD$，
∴ $AD+ED=AD+CD=AC$，
∵ $AC=8\ \mathrm{cm}$，
∴ $AD+ED=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
8
【知识点】
1. 直角三角形全等的判定
2. 全等三角形的性质
3. 线段和差计算
【点评】
本题解题的核心是通过添加辅助线构造全等三角形，将待求的两条线段和转化为已知长度的线段，考查了对全等三角形判定和性质的灵活运用能力，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征，已知存在两个直角、且BE=BC，可通过连接BD构造两个直角三角形，利用HL判定这两个直角三角形全等，再根据全等三角形对应边相等的性质将ED转化为CD，进而把AD+ED的和转化为已知线段AC的长度求解。
【解析】
解：连接BD，
∵ $∠ ACB=90°$，$DE⊥ AB$，
∴ $∠ C=∠ BED=90°$，
在$\mathrm{Rt}△BCD$和$\mathrm{Rt}△BED$中：
$\begin{cases}BD=BD\quad(\mathrm{公共边}) \\BC=BE\quad(\mathrm{已知})\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△BCD ≌ \mathrm{Rt}△BED$（HL），
∴ $ED=CD$，
∴ $AD+ED=AD+CD=AC$，
∵ $AC=8\ \mathrm{cm}$，
∴ $AD+ED=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
8
【知识点】
1. 直角三角形全等的判定
2. 全等三角形的性质
3. 线段和差计算
【点评】
本题解题的核心是通过添加辅助线构造全等三角形，将待求的两条线段和转化为已知长度的线段，考查了对全等三角形判定和性质的灵活运用能力，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
