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6. 如图14.2-39，点E，F在BC上，AE⊥BC，DF⊥BC，AC=DB，BE=CF.
求证AC//DB.
图14.2-39
求证AC//DB.
图14.2-39
答案
6. 证明: $\because BE=CF$,
$\therefore BE+EF=CF+EF$,
即 $BF=CE$.
$\because AE⊥ BC, DF⊥ BC$,
$\therefore ∠ AEC=∠ DFB=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ AEC$ 和 $\mathrm{Rt}△ DFB$ 中, $\begin{cases} AC=DB, \\ CE=BF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AEC≌\mathrm{Rt}△ DFB\ (\mathrm{HL})$.
$\therefore ∠ ACE=∠ DBF$.
$\therefore AC// DB$.
$\therefore BE+EF=CF+EF$,
即 $BF=CE$.
$\because AE⊥ BC, DF⊥ BC$,
$\therefore ∠ AEC=∠ DFB=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ AEC$ 和 $\mathrm{Rt}△ DFB$ 中, $\begin{cases} AC=DB, \\ CE=BF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AEC≌\mathrm{Rt}△ DFB\ (\mathrm{HL})$.
$\therefore ∠ ACE=∠ DBF$.
$\therefore AC// DB$.
解析
【分析】
要证明$AC// DB$，根据平行线的判定定理，只需证明内错角$∠ ACE=∠ DBF$即可。要得到这组角相等，可通过证明二者所在的直角三角形全等实现。首先利用已知的$BE=CF$，结合线段和的性质，加上公共边$EF$可推出$CE=BF$；再结合$AE⊥ BC$、$DF⊥ BC$得到两个直角三角形，已知斜边$AC=DB$，即可用HL判定两个直角三角形全等，得到对应角相等，最终推出平行关系。
【解析】
证明: $\because BE=CF$,
$\therefore BE+EF=CF+EF$,
即 $BF=CE$.
$\because AE⊥ BC, DF⊥ BC$,
$\therefore ∠ AEC=∠ DFB=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ AEC$ 和 $\mathrm{Rt}△ DFB$ 中, $\begin{cases} AC=DB, \\ CE=BF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AEC≌\mathrm{Rt}△ DFB\ (\mathrm{HL})$.
$\therefore ∠ ACE=∠ DBF$.
$\therefore AC// DB$.
【答案】
$AC// DB$
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；平行线的判定
【点评】
本题是全等三角形与平行线判定的综合基础题，解题核心是通过线段和差得到全等所需的等边，结合直角三角形全等的判定定理证明全等，进而利用全等的性质得到等角，最终推出平行，能够很好地考查学生对基础定理的掌握和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
要证明$AC// DB$，根据平行线的判定定理，只需证明内错角$∠ ACE=∠ DBF$即可。要得到这组角相等，可通过证明二者所在的直角三角形全等实现。首先利用已知的$BE=CF$，结合线段和的性质，加上公共边$EF$可推出$CE=BF$；再结合$AE⊥ BC$、$DF⊥ BC$得到两个直角三角形，已知斜边$AC=DB$，即可用HL判定两个直角三角形全等，得到对应角相等，最终推出平行关系。
【解析】
证明: $\because BE=CF$,
$\therefore BE+EF=CF+EF$,
即 $BF=CE$.
$\because AE⊥ BC, DF⊥ BC$,
$\therefore ∠ AEC=∠ DFB=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ AEC$ 和 $\mathrm{Rt}△ DFB$ 中, $\begin{cases} AC=DB, \\ CE=BF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AEC≌\mathrm{Rt}△ DFB\ (\mathrm{HL})$.
$\therefore ∠ ACE=∠ DBF$.
$\therefore AC// DB$.
【答案】
$AC// DB$
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；平行线的判定
【点评】
本题是全等三角形与平行线判定的综合基础题，解题核心是通过线段和差得到全等所需的等边，结合直角三角形全等的判定定理证明全等，进而利用全等的性质得到等角，最终推出平行，能够很好地考查学生对基础定理的掌握和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
7. 如图14.2-40，为了固定电线杆AD，将两根长均为10 m的钢丝一端同系在电线杆上的点A处，另一端固定在地面上的锚B，C上，锚B，C离电线杆底部D的距离相等吗？为什么？
答案
7. 解: 相等. 理由如下:
$\because AD⊥ BC$,
$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ ADB$ 和 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中, $\begin{cases} AB=AC, \\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADB≌\mathrm{Rt}△ ADC\ (\mathrm{HL})$.
$\therefore BD=CD$.
$\therefore$ 锚 $B, C$ 离电线杆底部 $D$ 的距离相等.
$\because AD⊥ BC$,
$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ ADB$ 和 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中, $\begin{cases} AB=AC, \\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADB≌\mathrm{Rt}△ ADC\ (\mathrm{HL})$.
$\therefore BD=CD$.
$\therefore$ 锚 $B, C$ 离电线杆底部 $D$ 的距离相等.
解析
【分析】
要判断锚B、C离电线杆底部D的距离是否相等，本质是判断线段BD和CD是否相等，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。首先根据题意可知两根钢丝长度相等，即AB=AC；又AD垂直于BC，可得△ADB和△ADC都是直角三角形，两个三角形有公共直角边AD，斜边AB=AC，符合直角三角形全等的HL判定条件，证明两三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可得到BD=CD的结论。
【解析】
解：相等，理由如下：
$\because AD⊥ BC$,
$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ ADB$ 和 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中, $\begin{cases} AB=AC, \\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADB≌\mathrm{Rt}△ ADC\ (\mathrm{HL})$.
$\therefore BD=CD$.
即锚 $B, C$ 离电线杆底部 $D$ 的距离相等。
【答案】
锚B、C离电线杆底部D的距离相等。
【知识点】
HL判定直角三角形全等、全等三角形的性质、垂直的定义
【点评】
本题是全等三角形在实际生活中的应用问题，解题核心是从实际场景中抽象出几何模型，结合已知条件找到全等的判定依据，侧重对基础定理的理解和简单应用。
【难度系数】
0.85
要判断锚B、C离电线杆底部D的距离是否相等，本质是判断线段BD和CD是否相等，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。首先根据题意可知两根钢丝长度相等，即AB=AC；又AD垂直于BC，可得△ADB和△ADC都是直角三角形，两个三角形有公共直角边AD，斜边AB=AC，符合直角三角形全等的HL判定条件，证明两三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可得到BD=CD的结论。
【解析】
解：相等，理由如下：
$\because AD⊥ BC$,
$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ ADB$ 和 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中, $\begin{cases} AB=AC, \\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADB≌\mathrm{Rt}△ ADC\ (\mathrm{HL})$.
$\therefore BD=CD$.
即锚 $B, C$ 离电线杆底部 $D$ 的距离相等。
【答案】
锚B、C离电线杆底部D的距离相等。
【知识点】
HL判定直角三角形全等、全等三角形的性质、垂直的定义
【点评】
本题是全等三角形在实际生活中的应用问题，解题核心是从实际场景中抽象出几何模型，结合已知条件找到全等的判定依据，侧重对基础定理的理解和简单应用。
【难度系数】
0.85
8. 如图14.2-41，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=12\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$。点$P$，$Q$分别在直线$AC$和$AC$的垂线$AX$上移动，$PQ=AB$，且点$P$从点$A$开始移动，移动的速度为$3\ \mathrm{cm/s}$。设点$P$移动的时间为$t\ \mathrm{s}$，若以点$A$，$B$，$C$为顶点的三角形与以点$A$，$P$，$Q$为顶点的三角形全等，则$t$的值为
2或4
。答案
8. 2或4
解析
【分析】
本题是动点与直角三角形全等结合的题型，首先观察可知△ABC和△APQ都是直角三角形，且已知斜边AB=PQ，根据直角三角形全等的HL判定定理，只需一组直角边对应相等即可判定两三角形全等。由于全等的对应边关系不唯一，需分两种情况讨论：第一种是AP与BC对应相等，第二种是AP与AC对应相等，再结合点P的移动速度，即可求出对应的时间t。
【解析】
由题意可知：∠C=∠QAP=90°，AB=PQ，点P的移动路程AP=3t cm。
分两种情况讨论：
① 当Rt△ABC≌Rt△QPA时，对应边AP=BC=6 cm，
列方程得：3t=6，解得t=2；
② 当Rt△ABC≌Rt△PQA时，对应边AP=AC=12 cm，
列方程得：3t=12，解得t=4；
综上，t的值为2或4。
【答案】
2或4
【知识点】
直角三角形全等的判定，动点问题，分类讨论
【点评】
本题考查直角三角形全等的判定及动点问题的处理，解题的关键是明确直角三角形全等的判定条件，结合对应关系分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题是动点与直角三角形全等结合的题型，首先观察可知△ABC和△APQ都是直角三角形，且已知斜边AB=PQ，根据直角三角形全等的HL判定定理，只需一组直角边对应相等即可判定两三角形全等。由于全等的对应边关系不唯一，需分两种情况讨论：第一种是AP与BC对应相等，第二种是AP与AC对应相等，再结合点P的移动速度，即可求出对应的时间t。
【解析】
由题意可知：∠C=∠QAP=90°，AB=PQ，点P的移动路程AP=3t cm。
分两种情况讨论：
① 当Rt△ABC≌Rt△QPA时，对应边AP=BC=6 cm，
列方程得：3t=6，解得t=2；
② 当Rt△ABC≌Rt△PQA时，对应边AP=AC=12 cm，
列方程得：3t=12，解得t=4；
综上，t的值为2或4。
【答案】
2或4
【知识点】
直角三角形全等的判定，动点问题，分类讨论
【点评】
本题考查直角三角形全等的判定及动点问题的处理，解题的关键是明确直角三角形全等的判定条件，结合对应关系分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
