9. 如图14.2-42，在$△ ABC$中，$AB=CB$，$∠ ABC=90°$，$F$为$AB$延长线上一点，点$E$在$BC$上，且$AE=CF$.
（1）求证$\mathrm{Rt}△ ABE ≌ \mathrm{Rt}△ CBF$；
（2）若$∠ CAE=30°$，求$∠ ACF$度数.

图14.2-42

9. (1) 证明: $\because ∠ ABC=90°$,
$\therefore ∠ CBF=∠ ABE=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 和 $\mathrm{Rt}△ CBF$ 中, $\begin{cases} AE=CF, \\ AB=CB, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABE≌\mathrm{Rt}△ CBF\ (\mathrm{HL})$.
(2) 解: $\because AB=BC, ∠ ABC=90°$,
$\therefore ∠ CAB=∠ ACB=45°$.
$\therefore ∠ BAE=∠ CAB-∠ CAE=45°-30°=15°$.
由 (1) 知 $\mathrm{Rt}△ ABE≌\mathrm{Rt}△ CBF$,
$\therefore ∠ BCF=∠ BAE=15°$.
$\therefore ∠ ACF=∠ BCF+∠ ACB=15°+45°=60°$.

【分析】
（1）要证明$\mathrm{Rt}△ ABE ≌ \mathrm{Rt}△ CBF$，首先由$∠ ABC=90°$可推出$∠ CBF=∠ ABE=90°$，确定两个三角形都是直角三角形，再结合已知的斜边$AE=CF$、直角边$AB=CB$，符合直角三角形全等的HL判定条件，即可完成证明。
（2）要求$∠ ACF$的度数，先根据$AB=CB$、$∠ ABC=90°$得出$△ ABC$是等腰直角三角形，得到$∠ CAB=∠ ACB=45°$，结合$∠ CAE=30°$用角的差求出$∠ BAE$的度数；再利用（1）中全等三角形对应角相等的性质，得到$∠ BCF=∠ BAE$，最后将$∠ BCF$与$∠ ACB$相加即可求出$∠ ACF$的度数。
【解析】
(1) 证明: $\because ∠ ABC=90°$,
$\therefore ∠ CBF=∠ ABE=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 和 $\mathrm{Rt}△ CBF$ 中, $\begin{cases} AE=CF, \\ AB=CB, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABE≌\mathrm{Rt}△ CBF\ (\mathrm{HL})$.
(2) 解: $\because AB=BC, ∠ ABC=90°$,
$\therefore ∠ CAB=∠ ACB=45°$.
$\therefore ∠ BAE=∠ CAB-∠ CAE=45°-30°=15°$.
由 (1) 知 $\mathrm{Rt}△ ABE≌\mathrm{Rt}△ CBF$,
$\therefore ∠ BCF=∠ BAE=15°$.
$\therefore ∠ ACF=∠ BCF+∠ ACB=15°+45°=60°$.
【答案】
(1) $\mathrm{Rt}△ ABE ≌ \mathrm{Rt}△ CBF$，得证；
(2) $∠ ACF=60°$
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等部分的典型基础题，侧重考查全等三角形的判定与性质的综合应用，结合等腰直角三角形的角度计算出题，解题时需先明确直角三角形全等的判定条件，再利用全等的对应角相等结合角的和差关系求解即可。
【难度系数】
0.8

10. 如图14.2-43，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，$D$是$BC$上的一点，过点$D$作$DE⊥ AC$，垂足为$E$，以点$D$为圆心，$CD$长为半径画弧交$AB$于点$F$，$BF=EC$. 求证$△ ABD ≌ △ AED$.

图14.2-43

10. 证明: $\because$ 以点 $D$ 为圆心, $CD$ 长为半径画弧交 $AB$ 于点 $F$,
$\therefore DF=DC$.
$\because DE⊥ AC$,
$\therefore ∠ DEA=∠ DEC=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ FBD$ 和 $\mathrm{Rt}△ CED$ 中, $\begin{cases} DF=DC, \\ BF=EC, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ FBD≌\mathrm{Rt}△ CED\ (\mathrm{HL})$.
$\therefore BD=ED$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 和 $\mathrm{Rt}△ AED$ 中, $\begin{cases} AD=AD, \\ BD=ED, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ AED\ (\mathrm{HL})$.

【分析】
要证明$△ ABD ≌ △ AED$，首先观察到$∠ B$和$∠ DEA$都是直角，即$△ ABD$和$△ AED$都是直角三角形，且二者有公共斜边$AD$，根据直角三角形全等的HL判定定理，只需再证明一组直角边$BD=ED$即可。接下来推导$BD=ED$：由同圆半径相等可得$DF=DC$，结合已知$BF=EC$，且$∠ B$和$∠ DEC$均为直角，可先通过HL证明$\mathrm{Rt}△ FBD≌\mathrm{Rt}△ CED$，由全等的性质即可得到$BD=ED$，进而完成目标全等的证明。
【解析】
证明:
$\because$ 以点 $D$ 为圆心, $CD$ 长为半径画弧交 $AB$ 于点 $F$,
$\therefore DF=DC$.
$\because DE⊥ AC$,
$\therefore ∠ DEA=∠ DEC=90°$，又$∠ B=90°$，$\therefore ∠ B=∠ DEC=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ FBD$ 和 $\mathrm{Rt}△ CED$ 中, $\begin{cases} DF=DC, \\ BF=EC, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ FBD≌\mathrm{Rt}△ CED\ (\mathrm{HL})$.
$\therefore BD=ED$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 和 $\mathrm{Rt}△ AED$ 中, $\begin{cases} AD=AD, \\ BD=ED, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ AED\ (\mathrm{HL})$.
【答案】
$△ ABD ≌ △ AED$，得证。
【知识点】
1. HL判定直角三角形全等
2. 同圆半径相等
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等证明的典型题型，需要通过两次全等推导完成证明，解题的关键是先通过已知条件证明中间三角形全等，得到证明目标全等所需的边相等条件，逻辑链条清晰，能很好地考查对全等判定定理的掌握程度。
【难度系数】
0.7