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11. 如图14.2-44，已知D为$△ ABC$的边BC的中点，$DE⊥ AC$，$DF⊥ AB$，垂足分别为E，F，且$BF=CE$。
求证：(1) $∠ B=∠ C$；(2) $AD$平分$∠ BAC$。
求证：(1) $∠ B=∠ C$；(2) $AD$平分$∠ BAC$。
答案
11. 证明: (1) $\because DE⊥ AC, DF⊥ AB$,
$\therefore ∠ CED=∠ BFD=90°$.
$\because D$ 是边 $BC$ 的中点, $\therefore BD=CD$.
在 $\mathrm{Rt}△ BFD$ 和 $\mathrm{Rt}△ CED$ 中, $\begin{cases} BD=CD, \\ BF=CE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BFD≌\mathrm{Rt}△ CED\ (\mathrm{HL})$.
$\therefore ∠ B=∠ C$.
(2) $\because \mathrm{Rt}△ BFD≌\mathrm{Rt}△ CED$,
$\therefore DF=DE$.
$\because DE⊥ AC, DF⊥ AB$,
$\therefore ∠ DEA=∠ DFA=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ AFD$ 和 $\mathrm{Rt}△ AED$ 中, $\begin{cases} AD=AD, \\ DF=DE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AFD≌\mathrm{Rt}△ AED\ (\mathrm{HL})$.
$\therefore ∠ FAD=∠ EAD$.
$\therefore AD$ 平分 $∠ BAC$.
$\therefore ∠ CED=∠ BFD=90°$.
$\because D$ 是边 $BC$ 的中点, $\therefore BD=CD$.
在 $\mathrm{Rt}△ BFD$ 和 $\mathrm{Rt}△ CED$ 中, $\begin{cases} BD=CD, \\ BF=CE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BFD≌\mathrm{Rt}△ CED\ (\mathrm{HL})$.
$\therefore ∠ B=∠ C$.
(2) $\because \mathrm{Rt}△ BFD≌\mathrm{Rt}△ CED$,
$\therefore DF=DE$.
$\because DE⊥ AC, DF⊥ AB$,
$\therefore ∠ DEA=∠ DFA=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ AFD$ 和 $\mathrm{Rt}△ AED$ 中, $\begin{cases} AD=AD, \\ DF=DE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AFD≌\mathrm{Rt}△ AED\ (\mathrm{HL})$.
$\therefore ∠ FAD=∠ EAD$.
$\therefore AD$ 平分 $∠ BAC$.
解析
【分析】
(1) 要证∠B=∠C，可通过证明两角所在的三角形全等实现。已知DE⊥AC、DF⊥AB，可得△BFD和△CED均为直角三角形；由D是BC中点可得BD=CD，结合已知BF=CE，可通过HL判定两个直角三角形全等，再利用全等三角形对应角相等即可得证。
(2) 要证AD平分∠BAC，可证∠FAD=∠EAD。由(1)的全等结论可得DF=DE，结合DF⊥AB、DE⊥AC，可通过HL证明Rt△AFD和Rt△AED全等，由全等对应角相等即可得到∠FAD=∠EAD，进而证明AD平分∠BAC。
【解析】
证明: (1) $\because DE⊥ AC, DF⊥ AB$,
$\therefore ∠ CED=∠ BFD=90°$.
$\because D$ 是边 $BC$ 的中点, $\therefore BD=CD$.
在 $\mathrm{Rt}△ BFD$ 和 $\mathrm{Rt}△ CED$ 中, $\begin{cases} BD=CD, \\ BF=CE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BFD≌\mathrm{Rt}△ CED\ (\mathrm{HL})$.
$\therefore ∠ B=∠ C$.
(2) $\because \mathrm{Rt}△ BFD≌\mathrm{Rt}△ CED$,
$\therefore DF=DE$.
$\because DE⊥ AC, DF⊥ AB$,
$\therefore ∠ DEA=∠ DFA=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ AFD$ 和 $\mathrm{Rt}△ AED$ 中, $\begin{cases} AD=AD, \\ DF=DE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AFD≌\mathrm{Rt}△ AED\ (\mathrm{HL})$.
$\therefore ∠ FAD=∠ EAD$.
$\therefore AD$ 平分 $∠ BAC$.
【答案】
(1) $∠ B=∠ C$得证；(2) $AD$平分$∠ BAC$得证，证明过程见解析。
【知识点】
直角三角形全等判定；全等三角形的性质；角平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是灵活运用HL判定直角三角形全等，再结合全等三角形的性质推导对应边、对应角的关系，逻辑链条清晰，能有效巩固全等三角形和角平分线的相关知识点。
【难度系数】
0.7
(1) 要证∠B=∠C，可通过证明两角所在的三角形全等实现。已知DE⊥AC、DF⊥AB，可得△BFD和△CED均为直角三角形；由D是BC中点可得BD=CD，结合已知BF=CE，可通过HL判定两个直角三角形全等，再利用全等三角形对应角相等即可得证。
(2) 要证AD平分∠BAC，可证∠FAD=∠EAD。由(1)的全等结论可得DF=DE，结合DF⊥AB、DE⊥AC，可通过HL证明Rt△AFD和Rt△AED全等，由全等对应角相等即可得到∠FAD=∠EAD，进而证明AD平分∠BAC。
【解析】
证明: (1) $\because DE⊥ AC, DF⊥ AB$,
$\therefore ∠ CED=∠ BFD=90°$.
$\because D$ 是边 $BC$ 的中点, $\therefore BD=CD$.
在 $\mathrm{Rt}△ BFD$ 和 $\mathrm{Rt}△ CED$ 中, $\begin{cases} BD=CD, \\ BF=CE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BFD≌\mathrm{Rt}△ CED\ (\mathrm{HL})$.
$\therefore ∠ B=∠ C$.
(2) $\because \mathrm{Rt}△ BFD≌\mathrm{Rt}△ CED$,
$\therefore DF=DE$.
$\because DE⊥ AC, DF⊥ AB$,
$\therefore ∠ DEA=∠ DFA=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ AFD$ 和 $\mathrm{Rt}△ AED$ 中, $\begin{cases} AD=AD, \\ DF=DE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AFD≌\mathrm{Rt}△ AED\ (\mathrm{HL})$.
$\therefore ∠ FAD=∠ EAD$.
$\therefore AD$ 平分 $∠ BAC$.
【答案】
(1) $∠ B=∠ C$得证；(2) $AD$平分$∠ BAC$得证，证明过程见解析。
【知识点】
直角三角形全等判定；全等三角形的性质；角平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是灵活运用HL判定直角三角形全等，再结合全等三角形的性质推导对应边、对应角的关系，逻辑链条清晰，能有效巩固全等三角形和角平分线的相关知识点。
【难度系数】
0.7
12. 如图14.2-45，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，D是AC上一点，点E在BC的延长线上，连接AE，BD，AE=BD，BD的延长线与AE交于点F。试通过观察、测量、猜想等方法探索BF与AE有何特殊的位置关系，并证明。
图14.2-45
图14.2-45
答案
12. 解: $BF⊥ AE$.
证明: $\because ∠ ACB=90°$,
$\therefore ∠ ACE=180°-∠ ACB=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ BDC$ 和 $\mathrm{Rt}△ AEC$ 中, $\begin{cases} BD=AE, \\ CB=CA, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BDC≌\mathrm{Rt}△ AEC\ (\mathrm{HL})$.
$\therefore ∠ CBD=∠ CAE$.
$\because ∠ CAE+∠ E=90°$,
$\therefore ∠ CBD+∠ E=90°$.
$\therefore ∠ BFE=90°.\ \therefore BF⊥ AE$.
证明: $\because ∠ ACB=90°$,
$\therefore ∠ ACE=180°-∠ ACB=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ BDC$ 和 $\mathrm{Rt}△ AEC$ 中, $\begin{cases} BD=AE, \\ CB=CA, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BDC≌\mathrm{Rt}△ AEC\ (\mathrm{HL})$.
$\therefore ∠ CBD=∠ CAE$.
$\because ∠ CAE+∠ E=90°$,
$\therefore ∠ CBD+∠ E=90°$.
$\therefore ∠ BFE=90°.\ \therefore BF⊥ AE$.
解析
【分析】
首先观察图形可初步猜想BF与AE的位置关系为垂直。要证明垂直，即需证明二者的夹角为90°，也就是∠BFE=90°。结合已知条件：∠ACB=90°可得∠ACE也为直角，又已知BD=AE、CB=CA，可先利用HL定理证明Rt△BDC和Rt△AEC全等，得到对应角∠CBD=∠CAE，再结合直角三角形两锐角互余的性质，将角进行等量代换，即可推导出∠BFE=90°，从而证明垂直。
【解析】
猜想：$BF⊥AE$，证明如下：
$\because ∠ACB=90°$，
$\therefore ∠ACE=180°-∠ACB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△BDC$和$\mathrm{Rt}△AEC$中，
$\begin{cases} BD=AE \\ CB=CA \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△BDC≌\mathrm{Rt}△AEC\ (\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠CBD=∠CAE$，
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△AEC$中，$∠CAE+∠E=90°$，
$\therefore ∠CBD+∠E=90°$，
$\therefore$ 在$△BEF$中，$∠BFE=180°-(∠CBD+∠E)=90°$，
$\therefore BF⊥AE$。
【答案】
$BF⊥AE$
【知识点】
1. HL判定直角三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于全等三角形的综合应用题，解题核心是先利用HL定理证明直角三角形全等，再通过角的等量代换推导得到直角，进而判断垂直关系，解题时要注意结合图形分析角与角之间的关联。
【难度系数】
0.7
首先观察图形可初步猜想BF与AE的位置关系为垂直。要证明垂直，即需证明二者的夹角为90°，也就是∠BFE=90°。结合已知条件：∠ACB=90°可得∠ACE也为直角，又已知BD=AE、CB=CA，可先利用HL定理证明Rt△BDC和Rt△AEC全等，得到对应角∠CBD=∠CAE，再结合直角三角形两锐角互余的性质，将角进行等量代换，即可推导出∠BFE=90°，从而证明垂直。
【解析】
猜想：$BF⊥AE$，证明如下：
$\because ∠ACB=90°$，
$\therefore ∠ACE=180°-∠ACB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△BDC$和$\mathrm{Rt}△AEC$中，
$\begin{cases} BD=AE \\ CB=CA \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△BDC≌\mathrm{Rt}△AEC\ (\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠CBD=∠CAE$，
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△AEC$中，$∠CAE+∠E=90°$，
$\therefore ∠CBD+∠E=90°$，
$\therefore$ 在$△BEF$中，$∠BFE=180°-(∠CBD+∠E)=90°$，
$\therefore BF⊥AE$。
【答案】
$BF⊥AE$
【知识点】
1. HL判定直角三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于全等三角形的综合应用题，解题核心是先利用HL定理证明直角三角形全等，再通过角的等量代换推导得到直角，进而判断垂直关系，解题时要注意结合图形分析角与角之间的关联。
【难度系数】
0.7
