12. 如图14.2-32，在四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD. 求证∠A=∠C. 图14.2-32

12. 证明：如图，连接BD.
在$△ ABD$和$△ CBD$中，$\begin{cases} AB=CB, \\ AD=CD, \\ BD=BD, \end{cases}$
$\therefore△ ABD≌△ CBD$（SSS）.
$\therefore∠ A=∠ C$.

【分析】
要证明∠A=∠C，通常可通过证明两角所在的三角形全等，利用全等三角形对应角相等的性质推导结论。已知条件给出AB=CB、AD=CD，观察图形可知，连接公共对角线BD后，BD是△ABD和△CBD的公共边，此时两个三角形三组对应边均相等，可通过SSS判定定理证明两三角形全等，进而得到∠A=∠C。
【解析】
证明：如图，连接BD。
在$△ ABD$和$△ CBD$中：
$\begin{cases}AB=CB（已知）, \\AD=CD（已知）, \\BD=BD（公共边相等）,\end{cases}$
$\therefore△ ABD≌△ CBD$（SSS）。
根据全等三角形对应角相等，可得$∠ A=∠ C$。
【答案】
12. 证明：如图，连接BD.
在$△ ABD$和$△ CBD$中，$\begin{cases} AB=CB, \\ AD=CD, \\ BD=BD, \end{cases}$
$\therefore△ ABD≌△ CBD$（SSS）.
$\therefore∠ A=∠ C$.
【知识点】
SSS判定全等；全等三角形性质；辅助线构造
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题核心是通过连接公共对角线构造全等三角形，将四边形的角相等问题转化为三角形全等的对应角相等问题，解题时需注意挖掘公共边这类隐含条件，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85

13. 如图14.2-33，AB交CD于点O，AD，CB的延长线相交于点E，且OA=OC，EA=EC，点O在∠AEC的平分线上吗？证明你的结论.

13. 解：点O在$∠ AEC$的平分线上.
证明：如图，连接OE.
在$△ CEO$和$△ AEO$中，$\begin{cases} OC=OA, \\ EC=EA, \\ EO=EO, \end{cases}$
$\therefore△ CEO≌△ AEO$（SSS）.
$\therefore∠ CEO=∠ AEO$.
$\therefore$点O在$∠ AEC$的平分线上.

【分析】
要判断点O是否在∠AEC的平分线上，只需证明EO将∠AEC分成两个相等的角，即∠CEO=∠AEO。证明两角相等可通过证明两角所在的三角形全等实现，已知OA=OC、EA=EC，我们可以连接OE构造△CEO和△AEO，两个三角形有公共边EO，满足三组对应边相等，可通过SSS判定两三角形全等，进而得到对应角相等，即可得出结论。
【解析】
首先连接辅助线OE，
在$△ CEO$和$△ AEO$中：
$\begin{cases} OC=OA（已知）, \\ EC=EA（已知）, \\ EO=EO（公共边）, \end{cases}$
$\therefore△ CEO≌△ AEO$（SSS），
根据全等三角形对应角相等，可得$∠ CEO=∠ AEO$，
即EO是$∠ AEC$的角平分线，因此点O在$∠ AEC$的平分线上。
【答案】
点O在$∠ AEC$的平分线上.
证明：如图，连接OE.
在$△ CEO$和$△ AEO$中，$\begin{cases} OC=OA, \\ EC=EA, \\ EO=EO, \end{cases}$
$\therefore△ CEO≌△ AEO$（SSS）.
$\therefore∠ CEO=∠ AEO$.
$\therefore$点O在$∠ AEC$的平分线上.
【知识点】
SSS判定全等，全等三角形的性质，角平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是合理构造辅助线得到全等三角形，结合已知的边相等条件用SSS定理证明全等，再利用全等的性质推导等角，最终证明点在角平分线上，需要学生熟练掌握全等三角形的判定、性质以及角平分线的判定规则。
【难度系数】
0.7