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1 已知二次函数$y=ax^2+(a+2)x-1$（$a$为常数，且$a≠0$），则下列说法正确的是（
A.若$a＞0$，则当$x≤-1$时，$y$随$x$的增大而增大
B.若$a＞0$，则当$x≤-1$时，$y$随$x$的增大而减小
C.若$a＜0$，则当$x≤-1$时，$y$随$x$的增大而增大
D.若$a＜0$，则当$x≤-1$时，$y$随$x$的增大而减小
B
）A.若$a＞0$，则当$x≤-1$时，$y$随$x$的增大而增大
B.若$a＞0$，则当$x≤-1$时，$y$随$x$的增大而减小
C.若$a＜0$，则当$x≤-1$时，$y$随$x$的增大而增大
D.若$a＜0$，则当$x≤-1$时，$y$随$x$的增大而减小
答案
B
2 已知二次函数$y=2x^2 - mx +5$，当$x≤ -2$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x≥ -2$时，$y$随$x$的增大而增大。当$x=-1$时，$y$的值为
$-1$
。答案
$-1$
3 已知抛物线 $ y = ax^2 - 2ax - 2 $ 的开口向下，$(-2, y_1)$，$(3, y_2)$，$(0, y_3)$ 是抛物线上的三个点，则下列结论正确的是（
A.$ y_3 ＞ y_2 ＞ y_1 $
B.$ y_1 ＞ y_2 ＞ y_3 $
C.$ y_2 ＞ y_1 ＞ y_3 $
D.$ y_1 ＞ y_3 ＞ y_2 $
A
）A.$ y_3 ＞ y_2 ＞ y_1 $
B.$ y_1 ＞ y_2 ＞ y_3 $
C.$ y_2 ＞ y_1 ＞ y_3 $
D.$ y_1 ＞ y_3 ＞ y_2 $
答案
A
4 [2025福建]已知点$A(-2,y_1),B(1,y_2)$在抛物线$y=3x^2+bx+1$上.若$3＜b＜4$,则下列判断正确的是（
A.$1＜y_1＜y_2$
B.$y_1＜1＜y_2$
C.$1＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜1＜y_1$
B
）A.$1＜y_1＜y_2$
B.$y_1＜1＜y_2$
C.$1＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜1＜y_1$
答案
B
5 已知抛物线$y=ax^2+bx+c(a＜0)$经过$A(-2,3),B(0,3),C(-3,y_1),D(3,y_2)$四点，则$y_1$与$y_2$之间的大小关系为$y_1$
＞
$y_2$(填“＞”“＜”或“=”).答案
＞
6 [2025安徽]已知抛物线$y=ax^2+bx(a≠0)$经过点$(4,0)$。
（1）求该抛物线的对称轴。
（2）点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$分别在抛物线$y=ax^2+bx$和$y=x^2-2x$上（点A，B与原点都不重合）。
①若$a=\frac{1}{2}$，且$x_1=x_2$，比较$y_1$与$y_2$的大小；
②当$\frac{y_2}{y_1}=\frac{x_2}{x_1}$时，若$\frac{x_2}{x_1}$是一个与$x_1$无关的定值，求a与b的值。
（1）求该抛物线的对称轴。
（2）点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$分别在抛物线$y=ax^2+bx$和$y=x^2-2x$上（点A，B与原点都不重合）。
①若$a=\frac{1}{2}$，且$x_1=x_2$，比较$y_1$与$y_2$的大小；
②当$\frac{y_2}{y_1}=\frac{x_2}{x_1}$时，若$\frac{x_2}{x_1}$是一个与$x_1$无关的定值，求a与b的值。
答案
(1) 将$(4,0)$代入$y=ax^2+bx$,得$16a+4b=0$,即$b=-4a$,所以$-\frac{b}{2a}=2$.所以该抛物线的对称轴是直线$x=2$
(2) ① 因为$b=-4a$,$a=\frac{1}{2}$,所以抛物线对应的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x^2-2x$.又因为$x_1=x_2$,所以$y_2-y_1=(x_2^2-2x_2)-(\frac{1}{2}x_1^2-2x_1)=(x_1^2-2x_1)-(\frac{1}{2}x_1^2-2x_1)=\frac{1}{2}x_1^2$.因为抛物线$y=\frac{1}{2}x^2-2x$过原点,且点$A$与原点不重合,所以$x_1≠0$.所以$\frac{1}{2}x_1^2＞0$.所以$y_2＞y_1$
② 由题意知,$y_1=ax_1^2-4ax_1$,$y_2=x_2^2-2x_2$.因为$\frac{y_2}{y_1}=\frac{x_2}{x_1}$,所以$\frac{x_2^2-2x_2}{a(x_1^2-4x_1)}=\frac{x_2}{x_1}$.因为两条抛物线均过原点,且点$A,B$与原点都不重合,所以$x_1≠0$,$x_2≠0$.所以$\frac{x_2-2}{a(x_1-4)}=1$,即$x_2=a(x_1-4)+2$.所以$\frac{x_2}{x_1}=\frac{a(x_1-4)+2}{x_1}=a+\frac{2-4a}{x_1}$.因为$a+\frac{2-4a}{x_1}$是与$x_1$无关的定值,所以$2-4a=0$,解得$a=\frac{1}{2}$.经检验,当$a=\frac{1}{2}$时,$\frac{x_2}{x_1}=\frac{1}{2}$是一个与$x_1$无关的定值,符合题意.所以$a=\frac{1}{2}$,$b=-4a=-2$
(2) ① 因为$b=-4a$,$a=\frac{1}{2}$,所以抛物线对应的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x^2-2x$.又因为$x_1=x_2$,所以$y_2-y_1=(x_2^2-2x_2)-(\frac{1}{2}x_1^2-2x_1)=(x_1^2-2x_1)-(\frac{1}{2}x_1^2-2x_1)=\frac{1}{2}x_1^2$.因为抛物线$y=\frac{1}{2}x^2-2x$过原点,且点$A$与原点不重合,所以$x_1≠0$.所以$\frac{1}{2}x_1^2＞0$.所以$y_2＞y_1$
② 由题意知,$y_1=ax_1^2-4ax_1$,$y_2=x_2^2-2x_2$.因为$\frac{y_2}{y_1}=\frac{x_2}{x_1}$,所以$\frac{x_2^2-2x_2}{a(x_1^2-4x_1)}=\frac{x_2}{x_1}$.因为两条抛物线均过原点,且点$A,B$与原点都不重合,所以$x_1≠0$,$x_2≠0$.所以$\frac{x_2-2}{a(x_1-4)}=1$,即$x_2=a(x_1-4)+2$.所以$\frac{x_2}{x_1}=\frac{a(x_1-4)+2}{x_1}=a+\frac{2-4a}{x_1}$.因为$a+\frac{2-4a}{x_1}$是与$x_1$无关的定值,所以$2-4a=0$,解得$a=\frac{1}{2}$.经检验,当$a=\frac{1}{2}$时,$\frac{x_2}{x_1}=\frac{1}{2}$是一个与$x_1$无关的定值,符合题意.所以$a=\frac{1}{2}$,$b=-4a=-2$
7 已知二次函数$y=x^2 -4x +2$，当$-1≤x≤3$时，下列关于该函数的最大值和最小值的说法中，正确的是（
A.最大值为$-1$，最小值为$-2$
B.最大值为$0$，最小值为$-1$
C.最大值为$7$，最小值为$-1$
D.最大值为$7$，最小值为$-2$
D
）A.最大值为$-1$，最小值为$-2$
B.最大值为$0$，最小值为$-1$
C.最大值为$7$，最小值为$-1$
D.最大值为$7$，最小值为$-2$
答案
D
8 已知二次函数$y=x^2 -4mx +5m^2 +4m -1$（m是实数）.若该函数的最小值为-5，则m的值为
$-2$
.答案
$-2$
9 [2025福建]在平面直角坐标系中，二次函数$y=ax^2+bx-2$的图象过点$A(1,t),B(2,t)$.
(1) 求$\dfrac{b}{a}$的值.
(2) 已知二次函数$y=ax^2+bx-2$的最大值为$1-\dfrac{3}{4}a^2$.
① 求该二次函数的表达式；
② 若$M(x_1,m),N(x_2,m)$为该二次函数图象上不同的两点，且$m ≠ 0$，求证：$\dfrac{(x_1-1)^2}{m}=\dfrac{x_2-2}{x_1-2}$.
(1) 求$\dfrac{b}{a}$的值.
(2) 已知二次函数$y=ax^2+bx-2$的最大值为$1-\dfrac{3}{4}a^2$.
① 求该二次函数的表达式；
② 若$M(x_1,m),N(x_2,m)$为该二次函数图象上不同的两点，且$m ≠ 0$，求证：$\dfrac{(x_1-1)^2}{m}=\dfrac{x_2-2}{x_1-2}$.
答案
(1) 由题意,得二次函数$y=ax^2+bx-2$的图象的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$.因为点$A(1,t),B(2,t)$在该函数的图象上,所以$-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}$.所以$\frac{b}{a}=-3$
(2) ① 由(1),得$b=-3a$,所以该函数的表达式为$y=ax^2-3ax-2$.所以函数图象的顶点坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{9}{4}a-2)$.因为函数的最大值为$1-\frac{3}{4}a^2$,所以$a＜0$,且$-\frac{9}{4}a-2=1-\frac{3}{4}a^2$,解得$a=-1$或$a=4$(舍去).所以该二次函数的表达式为$y=-x^2+3x-2$
② 因为点$M(x_1,m)$在函数$y=-x^2+3x-2$的图象上,所以$m=-x_1^2+3x_1-2$.由①知,点$M(x_1,m),N(x_2,m)$关于直线$x=\frac{3}{2}$对称,不妨设$x_1＜x_2$,则$x_2-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}-x_1$,即$x_1+x_2=3$.所以$\frac{(x_1-1)^2}{m}-\frac{x_2-2}{x_1-2}=\frac{(x_1-1)^2(x_1-2)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{(x_1^2-3x_1+2)(x_1-1)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{-m(x_1-1)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{-m(x_1+x_2-3)}{m(x_1-2)}=0$.所以$\frac{(x_1-1)^2}{m}=\frac{x_2-2}{x_1-2}$
(2) ① 由(1),得$b=-3a$,所以该函数的表达式为$y=ax^2-3ax-2$.所以函数图象的顶点坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{9}{4}a-2)$.因为函数的最大值为$1-\frac{3}{4}a^2$,所以$a＜0$,且$-\frac{9}{4}a-2=1-\frac{3}{4}a^2$,解得$a=-1$或$a=4$(舍去).所以该二次函数的表达式为$y=-x^2+3x-2$
② 因为点$M(x_1,m)$在函数$y=-x^2+3x-2$的图象上,所以$m=-x_1^2+3x_1-2$.由①知,点$M(x_1,m),N(x_2,m)$关于直线$x=\frac{3}{2}$对称,不妨设$x_1＜x_2$,则$x_2-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}-x_1$,即$x_1+x_2=3$.所以$\frac{(x_1-1)^2}{m}-\frac{x_2-2}{x_1-2}=\frac{(x_1-1)^2(x_1-2)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{(x_1^2-3x_1+2)(x_1-1)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{-m(x_1-1)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{-m(x_1+x_2-3)}{m(x_1-2)}=0$.所以$\frac{(x_1-1)^2}{m}=\frac{x_2-2}{x_1-2}$
