10 [2024牡丹江]如图，二次函数$y=\frac{1}{2}x^2 + bx + c$的图象与$x$轴交于$A$，$B$两点，与$y$轴交于点$C$，点$A$的坐标为$(-1,0)$，点$C$的坐标为$(0,-3)$，连结$BC$。
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若$P$是二次函数在第四象限内的图象上的任意一点，当$△ BCP$的面积最大时，边$BC$上的高线$PN$的长为。

(1) 把点$A(-1,0),C(0,-3)$的坐标代入$y=\frac{1}{2}x^2+bx+c$,得$\begin{cases}\frac{1}{2}-b+c=0,\\c=-3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b=-\frac{5}{2},\\c=-3.\end{cases}$ 所以二次函数的表达式为$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{2}x-3$
(2) $\frac{9\sqrt{5}}{5}$
解析:在$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{2}x-3$中,令$y=0$,得$0=\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{2}x-3$,解得$x_1=-1$,$x_2=6$.所以点$B$的坐标为$(6,0)$,即$OB=6$.所以$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}$.设直线$BC$对应的函数表达式为$y=mx+n$.将$C(0,-3),B(6,0)$代入,得$\begin{cases}n=-3,\\6m+n=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=\frac{1}{2},\\n=-3.\end{cases}$ 所以直线$BC$对应的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x-3$.过点$P$作$PD⊥ x$轴,交$BC$于点$D$.设点$P$的坐标为$(k,\frac{1}{2}k^2-\frac{5}{2}k-3)$,则点$D$的坐标为$(k,\frac{1}{2}k-3)$.所以$PD=\frac{1}{2}k-3-(\frac{1}{2}k^2-\frac{5}{2}k-3)=-\frac{1}{2}k^2+3k$.所以$S_{△ BCP}=\frac{1}{2}PD· OB=\frac{1}{2}×6(-\frac{1}{2}k^2+3k)=-\frac{3}{2}(k-3)^2+\frac{27}{2}$.因为$-\frac{3}{2}＜0$,且$0＜k＜6$,所以当$k=3$时,$△ BCP$的面积取最大值,为$\frac{27}{2}$.又因为$S_{△ BCP}=\frac{1}{2}PN· BC$,所以$PN=\frac{2S_{△ BCP}}{BC}=\frac{2×\frac{27}{2}}{3\sqrt{5}}=\frac{9\sqrt{5}}{5}$.

11 已知点$E(2,1)$在二次函数$y=x^2 -8x +m$（$m$为常数）的图象上，则点$E$关于该图象的对称轴对称的点的坐标是（）

A.$(4,1)$
B.$(5,1)$
C.$(6,1)$
D.$(7,1)$

C

12 [2025 凉山改编]二次函数$y=ax^2+bx+c$的部分图象如图所示，其对称轴为直线$x=2$，且图象经过点$(6,0)$，则图象与$x$轴另一个交点的坐标为。

$(-2,0)$

13 如图,在平面直角坐标系中,A 是抛物线 $ y = a(x+\frac{3}{2})^2 + k(a ≠ 0) $ 与 y 轴的交点,B 是这条抛物线上的另一点,且 $ AB // x $ 轴,求以 AB 为边的正方形 ABCD 的周长.

因为在平面直角坐标系中,$A$是抛物线$y=a(x+\frac{3}{2})^2+k(a≠0)$与$y$轴的交点,所以点$A$的横坐标是$0$,抛物线的对称轴是直线$x=-\frac{3}{2}$.因为$B$是这条抛物线上的另一点,且$AB// x$轴,所以点$B$的横坐标是$-3$.所以$AB=3$.所以正方形$ABCD$的周长为$3×4=12$