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一、选择题
1. 如果 $ x $、$ y $ 都不为零，且 $ 4x = 5y $，那么下列比例中，正确的是 （
A.$ \frac{x}{y} = \frac{4}{5} $
B.$ \frac{x}{5} = \frac{y}{4} $
C.$ \frac{x}{4} = \frac{5}{y} $
D.$ \frac{x}{5} = \frac{4}{y} $
1. 如果 $ x $、$ y $ 都不为零，且 $ 4x = 5y $，那么下列比例中，正确的是 （
B
）A.$ \frac{x}{y} = \frac{4}{5} $
B.$ \frac{x}{5} = \frac{y}{4} $
C.$ \frac{x}{4} = \frac{5}{y} $
D.$ \frac{x}{5} = \frac{4}{y} $
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查比例基本性质的应用，解题核心是利用“比例的两内项之积等于两外项之积”这一性质，我们可以通过两种思路解题：一是将题干给出的等式$4x=5y$改写成比例形式，对应匹配选项；二是将每个选项的比例式交叉相乘还原为等式，和题干条件对比，一致即为正确选项，两种方法都能快速得出答案。
【解析】
根据比例的基本性质：在比例中，两个外项的乘积等于两个内项的乘积，我们逐一验证选项：
A. 由$\frac{x}{y}=\frac{4}{5}$交叉相乘得$5x=4y$，与题干$4x=5y$不符，错误；
B. 由$\frac{x}{5}=\frac{y}{4}$交叉相乘得$4x=5y$，与题干条件完全一致，正确；
C. 由$\frac{x}{4}=\frac{5}{y}$交叉相乘得$xy=20$，与题干$4x=5y$不符，错误；
D. 由$\frac{x}{5}=\frac{4}{y}$交叉相乘得$xy=20$，与题干$4x=5y$不符，错误。
【答案】
B
【知识点】
比例的基本性质
【点评】
本题属于比例性质的基础应用题型，解题关键是熟练掌握比例交叉相乘的运算规则，通过验证即可快速锁定正确答案，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题考查比例基本性质的应用，解题核心是利用“比例的两内项之积等于两外项之积”这一性质，我们可以通过两种思路解题：一是将题干给出的等式$4x=5y$改写成比例形式，对应匹配选项；二是将每个选项的比例式交叉相乘还原为等式，和题干条件对比，一致即为正确选项，两种方法都能快速得出答案。
【解析】
根据比例的基本性质：在比例中，两个外项的乘积等于两个内项的乘积，我们逐一验证选项：
A. 由$\frac{x}{y}=\frac{4}{5}$交叉相乘得$5x=4y$，与题干$4x=5y$不符，错误；
B. 由$\frac{x}{5}=\frac{y}{4}$交叉相乘得$4x=5y$，与题干条件完全一致，正确；
C. 由$\frac{x}{4}=\frac{5}{y}$交叉相乘得$xy=20$，与题干$4x=5y$不符，错误；
D. 由$\frac{x}{5}=\frac{4}{y}$交叉相乘得$xy=20$，与题干$4x=5y$不符，错误。
【答案】
B
【知识点】
比例的基本性质
【点评】
本题属于比例性质的基础应用题型，解题关键是熟练掌握比例交叉相乘的运算规则，通过验证即可快速锁定正确答案，难度较低。
【难度系数】
0.8
2. 已知线段a、b、c，求作线段x，使$bx=ac$，下列作法中，正确的是（
D
）答案
2.D
解析
【分析】
首先将待满足的等式$bx=ac$转化为比例式，结合平行线构造的相似三角形（平行线分线段成比例定理），逐一验证每个选项的对应线段比例是否符合要求。解题时先对目标等式变形得到所需的比例关系，再根据各选项中平行线得到的相似三角形对应边成比例，判断是否和目标比例一致即可。
【解析】
先将$bx=ac$作为目标关系式，结合相似三角形对应边成比例逐一分析选项：
选项A：由平行线可得相似三角形，对应边比例为$\frac{c}{c+x}=\frac{a}{a+b}$，化简得$ax=bc$，不符合$bx=ac$，错误；
选项B：由平行线可得相似三角形，对应边比例为$\frac{x}{b}=\frac{a}{c}$，化简得$cx=ab$，不符合要求，错误；
选项C：由平行线可得相似三角形，对应边比例为$\frac{a}{b}=\frac{c}{x}$，化简得$ax=bc$，不符合要求，错误；
选项D：由平行线可得相似三角形，对应边比例为$\frac{b}{a+b}=\frac{c}{c+x}$，交叉相乘展开得$b(c+x)=c(a+b)$，消去两侧公共项$bc$后，可得$bx=ac$，符合要求，正确。
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例、相似三角形的性质、比例的基本性质
【点评】
本题考查比例线段的作法，解题核心是掌握平行线分线段成比例定理，能准确找到对应线段的比例关系，注意先将乘积式转化为比例式再验证，避免对应线段混淆出错。
【难度系数】
0.6
首先将待满足的等式$bx=ac$转化为比例式，结合平行线构造的相似三角形（平行线分线段成比例定理），逐一验证每个选项的对应线段比例是否符合要求。解题时先对目标等式变形得到所需的比例关系，再根据各选项中平行线得到的相似三角形对应边成比例，判断是否和目标比例一致即可。
【解析】
先将$bx=ac$作为目标关系式，结合相似三角形对应边成比例逐一分析选项：
选项A：由平行线可得相似三角形，对应边比例为$\frac{c}{c+x}=\frac{a}{a+b}$，化简得$ax=bc$，不符合$bx=ac$，错误；
选项B：由平行线可得相似三角形，对应边比例为$\frac{x}{b}=\frac{a}{c}$，化简得$cx=ab$，不符合要求，错误；
选项C：由平行线可得相似三角形，对应边比例为$\frac{a}{b}=\frac{c}{x}$，化简得$ax=bc$，不符合要求，错误；
选项D：由平行线可得相似三角形，对应边比例为$\frac{b}{a+b}=\frac{c}{c+x}$，交叉相乘展开得$b(c+x)=c(a+b)$，消去两侧公共项$bc$后，可得$bx=ac$，符合要求，正确。
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例、相似三角形的性质、比例的基本性质
【点评】
本题考查比例线段的作法，解题核心是掌握平行线分线段成比例定理，能准确找到对应线段的比例关系，注意先将乘积式转化为比例式再验证，避免对应线段混淆出错。
【难度系数】
0.6
3. 如图，在$△ ABC$中，$AB=8$，$AC=6$，$BC=7$，点$D$在边$AB$上，$AD=5$，点$E$在$△ ABC$的边上，若直线$DE$截$△ ABC$两边所得的三角形与$△ ABC$相似，则这样的点$E$有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
3.C
解析
【分析】
本题需要结合相似三角形的判定条件，分类讨论点E的位置求解：首先明确直线DE截△ABC的两边时，公共角是截线与AB边形成的夹角，分E在AC边、E在BC边两种大情况，再分别根据“平行得相似”、“两角对应相等得相似”两种判定方法列出比例式计算，验证所得边长是否在对应边的取值范围内，统计符合条件的E的个数即可。
【解析】
首先计算$BD=AB-AD=8-5=3$，分两种情况讨论：
1. 当点$E$在$AC$边上时，公共角为$∠ A$：
① 若$DE// BC$，则$△ ADE ∽ △ ABC$，由相似性质得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，代入数值$\frac{5}{8}=\frac{AE}{6}$，解得$AE=\frac{15}{4}＜6$，符合条件，存在1个点$E$；
② 若$∠ ADE=∠ C$，结合$∠ A=∠ A$，得$△ ADE ∽ △ ACB$，由相似性质得$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，代入数值$\frac{5}{6}=\frac{AE}{8}$，解得$AE=\frac{20}{3}＞6$，超出$AC$边长，不存在该点$E$。
2. 当点$E$在$BC$边上时，公共角为$∠ B$：
① 若$DE// AC$，则$△ BDE ∽ △ BAC$，由相似性质得$\frac{BD}{AB}=\frac{BE}{BC}$，代入数值$\frac{3}{8}=\frac{BE}{7}$，解得$BE=\frac{21}{8}＜7$，符合条件，存在1个点$E$；
② 若$∠ BDE=∠ C$，结合$∠ B=∠ B$，得$△ BDE ∽ △ BCA$，由相似性质得$\frac{BD}{BC}=\frac{BE}{AB}$，代入数值$\frac{3}{7}=\frac{BE}{8}$，解得$BE=\frac{24}{7}＜7$，符合条件，存在1个点$E$。
综上，符合条件的点$E$共有$1+1+1=3$个。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题考查相似三角形判定的灵活运用，解题时要注意分情况讨论点的位置，同时需要验证计算得到的线段长度是否符合边的实际取值范围，避免多算不符合条件的解。
【难度系数】
0.6
本题需要结合相似三角形的判定条件，分类讨论点E的位置求解：首先明确直线DE截△ABC的两边时，公共角是截线与AB边形成的夹角，分E在AC边、E在BC边两种大情况，再分别根据“平行得相似”、“两角对应相等得相似”两种判定方法列出比例式计算，验证所得边长是否在对应边的取值范围内，统计符合条件的E的个数即可。
【解析】
首先计算$BD=AB-AD=8-5=3$，分两种情况讨论：
1. 当点$E$在$AC$边上时，公共角为$∠ A$：
① 若$DE// BC$，则$△ ADE ∽ △ ABC$，由相似性质得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，代入数值$\frac{5}{8}=\frac{AE}{6}$，解得$AE=\frac{15}{4}＜6$，符合条件，存在1个点$E$；
② 若$∠ ADE=∠ C$，结合$∠ A=∠ A$，得$△ ADE ∽ △ ACB$，由相似性质得$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，代入数值$\frac{5}{6}=\frac{AE}{8}$，解得$AE=\frac{20}{3}＞6$，超出$AC$边长，不存在该点$E$。
2. 当点$E$在$BC$边上时，公共角为$∠ B$：
① 若$DE// AC$，则$△ BDE ∽ △ BAC$，由相似性质得$\frac{BD}{AB}=\frac{BE}{BC}$，代入数值$\frac{3}{8}=\frac{BE}{7}$，解得$BE=\frac{21}{8}＜7$，符合条件，存在1个点$E$；
② 若$∠ BDE=∠ C$，结合$∠ B=∠ B$，得$△ BDE ∽ △ BCA$，由相似性质得$\frac{BD}{BC}=\frac{BE}{AB}$，代入数值$\frac{3}{7}=\frac{BE}{8}$，解得$BE=\frac{24}{7}＜7$，符合条件，存在1个点$E$。
综上，符合条件的点$E$共有$1+1+1=3$个。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题考查相似三角形判定的灵活运用，解题时要注意分情况讨论点的位置，同时需要验证计算得到的线段长度是否符合边的实际取值范围，避免多算不符合条件的解。
【难度系数】
0.6
4. 如图,在平行四边形ABCD中,E是线段AB上一点,连接AC、DE,AC与DE相交于点F.
若$\frac{AE}{EB}=\frac{2}{3}$,则$\frac{S_{△ AEF}}{S_{△ CDF}}$的值为 （
A.$\frac{2}{5}$
B.$\frac{9}{25}$
C.$\frac{4}{25}$
D.$\frac{2}{3}$
若$\frac{AE}{EB}=\frac{2}{3}$,则$\frac{S_{△ AEF}}{S_{△ CDF}}$的值为 （
C
）A.$\frac{2}{5}$
B.$\frac{9}{25}$
C.$\frac{4}{25}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
4.C
解析
【分析】
解题思路：首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到AB与CD的位置和数量关系；结合已知的AE、EB的比例，推导AE与CD的比值；再由平行线的内错角相等判定△AEF和△CDF相似；最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方，计算出两个三角形的面积比值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∵$\frac{AE}{EB}=\frac{2}{3}$，
∴设AE=2k，EB=3k（$k≠0$），则$AB=AE+EB=5k$，
∴$CD=AB=5k$，
∴$\frac{AE}{CD}=\frac{2k}{5k}=\frac{2}{5}$，
∵AB//CD，
∴∠FAE=∠FCD，∠FEA=∠FDC，
∴$△ AEF ∽ △ CDF$，
∴$\frac{S_{△ AEF}}{S_{△ CDF}}=(\frac{AE}{CD})^2=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是平行四边形与相似三角形结合的基础常考题，解题核心是通过平行四边形的性质得到相似三角形，需注意区分相似三角形的周长比和面积比的规律，避免直接用相似比作为面积比出错。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到AB与CD的位置和数量关系；结合已知的AE、EB的比例，推导AE与CD的比值；再由平行线的内错角相等判定△AEF和△CDF相似；最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方，计算出两个三角形的面积比值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∵$\frac{AE}{EB}=\frac{2}{3}$，
∴设AE=2k，EB=3k（$k≠0$），则$AB=AE+EB=5k$，
∴$CD=AB=5k$，
∴$\frac{AE}{CD}=\frac{2k}{5k}=\frac{2}{5}$，
∵AB//CD，
∴∠FAE=∠FCD，∠FEA=∠FDC，
∴$△ AEF ∽ △ CDF$，
∴$\frac{S_{△ AEF}}{S_{△ CDF}}=(\frac{AE}{CD})^2=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是平行四边形与相似三角形结合的基础常考题，解题核心是通过平行四边形的性质得到相似三角形，需注意区分相似三角形的周长比和面积比的规律，避免直接用相似比作为面积比出错。
【难度系数】
0.7
5 如图,边长为4的正方形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,E在BD上,连接CE,作$EF⊥CE$交AB于点F,连接CF交BD于点H,则$BE·DH$的值是 (
A.12
B.15
C.16
D.18
C
)A.12
B.15
C.16
D.18
答案
5.C
解析
【分析】
解题思路可分为三步：①利用正方形的性质，得到边相等、对角线平分内角的结论，确定∠CDH、∠EBC均为45°，BC=CD=4；②通过构造垂线证明三角形全等，推导得出△CEF是等腰直角三角形，得到∠ECF=45°，再通过角的和差关系推导∠DCH=∠BEC，证明△DHC与△BCE相似；③根据相似三角形对应边成比例的性质，变形得到BE·DH的表达式，代入边长计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是边长为4的正方形
∴BC=CD=4，∠ABC=∠BCD=90°，BD平分∠ABC和∠ADC，故∠CDH=∠EBC=45°
过点E作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N
∵BD是角平分线，
∴EM=EN，且∠MEN=90°
∵EF⊥CE，
∴∠FEC=90°
∴∠MEF + ∠FEN=∠NEC + ∠FEN=90°，即∠MEF=∠NEC
在△MEF和△NEC中：
$\{\begin{array}{l}∠EMF=∠ENC=90° \\EM=EN \\∠MEF=∠NEC\end{array} $
∴△MEF≌△NEC（ASA），得CE=EF
∴△CEF是等腰直角三角形，∠ECF=45°
∴∠DCH + ∠BCF = ∠BCD - ∠ECF = 90°-45°=45°
在△BEC中，∠EBC=45°，
∴∠BEC + ∠BCE=180°-45°=135°
又
∵∠BCE=∠BCF + ∠ECF=∠BCF + 45°，代入得：
∠BEC + ∠BCF + 45°=135°，即∠BEC=90°-∠BCF
∵∠DCH=90°-∠BCF，
∴∠DCH=∠BEC
在△DHC和△BCE中：
$\{\begin{array}{l}∠CDH=∠EBC=45° \\∠DCH=∠BEC\end{array} $
∴△DHC∽△BCE
∴$\frac{DH}{BC}=\frac{CD}{BE}$，交叉相乘得$BE·DH=BC·CD=4×4=16$
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合题，核心是通过角的等量关系找到相似三角形，将两条无关线段的乘积转化为正方形边长的乘积，解题过程中用到了转化思想，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题思路可分为三步：①利用正方形的性质，得到边相等、对角线平分内角的结论，确定∠CDH、∠EBC均为45°，BC=CD=4；②通过构造垂线证明三角形全等，推导得出△CEF是等腰直角三角形，得到∠ECF=45°，再通过角的和差关系推导∠DCH=∠BEC，证明△DHC与△BCE相似；③根据相似三角形对应边成比例的性质，变形得到BE·DH的表达式，代入边长计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是边长为4的正方形
∴BC=CD=4，∠ABC=∠BCD=90°，BD平分∠ABC和∠ADC，故∠CDH=∠EBC=45°
过点E作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N
∵BD是角平分线，
∴EM=EN，且∠MEN=90°
∵EF⊥CE，
∴∠FEC=90°
∴∠MEF + ∠FEN=∠NEC + ∠FEN=90°，即∠MEF=∠NEC
在△MEF和△NEC中：
$\{\begin{array}{l}∠EMF=∠ENC=90° \\EM=EN \\∠MEF=∠NEC\end{array} $
∴△MEF≌△NEC（ASA），得CE=EF
∴△CEF是等腰直角三角形，∠ECF=45°
∴∠DCH + ∠BCF = ∠BCD - ∠ECF = 90°-45°=45°
在△BEC中，∠EBC=45°，
∴∠BEC + ∠BCE=180°-45°=135°
又
∵∠BCE=∠BCF + ∠ECF=∠BCF + 45°，代入得：
∠BEC + ∠BCF + 45°=135°，即∠BEC=90°-∠BCF
∵∠DCH=90°-∠BCF，
∴∠DCH=∠BEC
在△DHC和△BCE中：
$\{\begin{array}{l}∠CDH=∠EBC=45° \\∠DCH=∠BEC\end{array} $
∴△DHC∽△BCE
∴$\frac{DH}{BC}=\frac{CD}{BE}$，交叉相乘得$BE·DH=BC·CD=4×4=16$
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合题，核心是通过角的等量关系找到相似三角形，将两条无关线段的乘积转化为正方形边长的乘积，解题过程中用到了转化思想，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
二、填空题
6. 若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{3}{5}$(其中$b+d≠0$),则$\frac{a+c}{b+d}=$
6. 若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{3}{5}$(其中$b+d≠0$),则$\frac{a+c}{b+d}=$
$\frac{3}{5}$
.答案
6.$\frac{3}{5}$
解析
【分析】
本题考查比例的相关计算，解题可从两种常见思路入手：①参数法，根据已知的比例关系，将对应分子用含公共参数的式子表示，代入所求分式化简即可；②直接利用等比性质求解，题目明确给出$b+d≠0$，满足等比性质的适用前提，无需考虑分母为0的无效情况。
【解析】
方法一（参数法）：
设$a=3k$，$b=5k$，$c=3m$，$d=5m$（$k、m$为常数）
由$b+d≠0$可得$5k+5m≠0$，即$k+m≠0$
代入$\frac{a+c}{b+d}$得：
$\frac{a+c}{b+d}=\frac{3k+3m}{5k+5m}=\frac{3(k+m)}{5(k+m)}=\frac{3}{5}$
方法二（等比性质法）：
根据等比性质：若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$，且$b+d≠0$，则$\frac{a+c}{b+d}=k$
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{3}{5}$，且$b+d≠0$，直接可得$\frac{a+c}{b+d}=\frac{3}{5}$
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
等比性质，参数法求值
【点评】
本题属于比例性质的基础应用题型，两种解题方法都较为常用，参数法适用范围更广，等比性质在满足前提条件时可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
本题考查比例的相关计算，解题可从两种常见思路入手：①参数法，根据已知的比例关系，将对应分子用含公共参数的式子表示，代入所求分式化简即可；②直接利用等比性质求解，题目明确给出$b+d≠0$，满足等比性质的适用前提，无需考虑分母为0的无效情况。
【解析】
方法一（参数法）：
设$a=3k$，$b=5k$，$c=3m$，$d=5m$（$k、m$为常数）
由$b+d≠0$可得$5k+5m≠0$，即$k+m≠0$
代入$\frac{a+c}{b+d}$得：
$\frac{a+c}{b+d}=\frac{3k+3m}{5k+5m}=\frac{3(k+m)}{5(k+m)}=\frac{3}{5}$
方法二（等比性质法）：
根据等比性质：若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$，且$b+d≠0$，则$\frac{a+c}{b+d}=k$
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{3}{5}$，且$b+d≠0$，直接可得$\frac{a+c}{b+d}=\frac{3}{5}$
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
等比性质，参数法求值
【点评】
本题属于比例性质的基础应用题型，两种解题方法都较为常用，参数法适用范围更广，等比性质在满足前提条件时可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
7. 已知$△ A_{1}B_{1}C_{1}∽ △ ABC$，相似比为$3:2$；$△ ABC∽ △ A_{2}B_{2}C_{2}$，相似比为$4:3$，那么$△ A_{1}B_{1}C_{1}∽ △ A_{2}B_{2}C_{2}$，相似比为________。
答案
7.$2:1$
解析
【分析】
要确定△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂的相似比，首先需明确相似比的定义：相似三角形的相似比是前一个三角形的对应边与后一个三角形对应边的比值，具有顺序性。我们可以先分别写出两组相似三角形的对应边比例关系，再通过约掉公共边△ABC的边，即可得到所求两个三角形的对应边比值，也就是相似比。
【解析】
根据相似三角形相似比的定义：
∵ △A₁B₁C₁∽△ABC，相似比为3:2
∴ $\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{3}{2}$ ①
∵ △ABC∽△A₂B₂C₂，相似比为4:3
∴ $\frac{AB}{A_2B_2}=\frac{4}{3}$ ②
将①和②左右两边分别相乘，得：
$\frac{A_1B_1}{AB} × \frac{AB}{A_2B_2} = \frac{3}{2} × \frac{4}{3}$
约分化简后可得：$\frac{A_1B_1}{A_2B_2}=\frac{2}{1}$
因此△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂的相似比为2:1。
【答案】
2:1
【知识点】
相似比的概念、比例的基本运算
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是注意相似比的顺序性，即相似比的前项对应先提到的三角形的边长，后项对应后提到的三角形的边长，避免因顺序搞混导致计算错误。
【难度系数】
0.8
要确定△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂的相似比，首先需明确相似比的定义：相似三角形的相似比是前一个三角形的对应边与后一个三角形对应边的比值，具有顺序性。我们可以先分别写出两组相似三角形的对应边比例关系，再通过约掉公共边△ABC的边，即可得到所求两个三角形的对应边比值，也就是相似比。
【解析】
根据相似三角形相似比的定义：
∵ △A₁B₁C₁∽△ABC，相似比为3:2
∴ $\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{3}{2}$ ①
∵ △ABC∽△A₂B₂C₂，相似比为4:3
∴ $\frac{AB}{A_2B_2}=\frac{4}{3}$ ②
将①和②左右两边分别相乘，得：
$\frac{A_1B_1}{AB} × \frac{AB}{A_2B_2} = \frac{3}{2} × \frac{4}{3}$
约分化简后可得：$\frac{A_1B_1}{A_2B_2}=\frac{2}{1}$
因此△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂的相似比为2:1。
【答案】
2:1
【知识点】
相似比的概念、比例的基本运算
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是注意相似比的顺序性，即相似比的前项对应先提到的三角形的边长，后项对应后提到的三角形的边长，避免因顺序搞混导致计算错误。
【难度系数】
0.8
8.如图,点D、E分别在$△ ABC$的边AB、AC上,$DE// BC$,且$S_{△ ADE}=4$,$S_{△ BCE}=24$,则$S_{△ BDE}=$
8
.答案
8.8
解析
【分析】
解题时首先由$DE// BC$联想到平行线分线段成比例定理，再结合同高三角形的面积比等于对应底边长的比的性质，设所求$S_{△ BDE}$为未知数，通过两组同高三角形的面积比分别表示出对应线段的比例，结合平行线得到的线段比例关系列方程求解即可。
【解析】
设$S_{△ BDE}=x$。
1. $△ ADE$和$△ BDE$共顶点E，底边AD、DB在同一直线AB上，二者高相等，因此面积比等于底边长的比：
$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ BDE}}=\frac{AD}{DB}=\frac{4}{x}$。
2. $△ ABE$和$△ BCE$共顶点B，底边AE、EC在同一直线AC上，二者高相等，因此面积比等于底边长的比：
$S_{△ ABE}=S_{△ ADE}+S_{△ BDE}=4+x$，故$\frac{S_{△ ABE}}{S_{△ BCE}}=\frac{AE}{EC}=\frac{4+x}{24}$。
3. 因为$DE// BC$，根据平行线分线段成比例定理可得$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$。
4. 代入比例式得：$\frac{4}{x}=\frac{4+x}{24}$，交叉相乘整理得$x^2+4x-96=0$，解得$x_1=8$，$x_2=-12$（面积为正，舍去负根）。
【答案】
8
【知识点】
平行线分线段成比例；同高三角形面积性质；一元二次方程应用
【点评】
本题是相似三角形章节的典型面积计算题型，核心是利用同高三角形的面积与底的关系搭建面积和线段比例的桥梁，再结合平行线的性质列方程求解，注意舍去不符合实际意义的负根。
【难度系数】
0.6
解题时首先由$DE// BC$联想到平行线分线段成比例定理，再结合同高三角形的面积比等于对应底边长的比的性质，设所求$S_{△ BDE}$为未知数，通过两组同高三角形的面积比分别表示出对应线段的比例，结合平行线得到的线段比例关系列方程求解即可。
【解析】
设$S_{△ BDE}=x$。
1. $△ ADE$和$△ BDE$共顶点E，底边AD、DB在同一直线AB上，二者高相等，因此面积比等于底边长的比：
$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ BDE}}=\frac{AD}{DB}=\frac{4}{x}$。
2. $△ ABE$和$△ BCE$共顶点B，底边AE、EC在同一直线AC上，二者高相等，因此面积比等于底边长的比：
$S_{△ ABE}=S_{△ ADE}+S_{△ BDE}=4+x$，故$\frac{S_{△ ABE}}{S_{△ BCE}}=\frac{AE}{EC}=\frac{4+x}{24}$。
3. 因为$DE// BC$，根据平行线分线段成比例定理可得$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$。
4. 代入比例式得：$\frac{4}{x}=\frac{4+x}{24}$，交叉相乘整理得$x^2+4x-96=0$，解得$x_1=8$，$x_2=-12$（面积为正，舍去负根）。
【答案】
8
【知识点】
平行线分线段成比例；同高三角形面积性质；一元二次方程应用
【点评】
本题是相似三角形章节的典型面积计算题型，核心是利用同高三角形的面积与底的关系搭建面积和线段比例的桥梁，再结合平行线的性质列方程求解，注意舍去不符合实际意义的负根。
【难度系数】
0.6
9. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，正方形$CDEF$的顶点$D$、$E$、$F$分别在边$AC$、$AB$、$BC$上。如果$AE=2BE$，且$S_{△ ABC}=36$，那么正方形$CDEF$的面积为________。
答案
9.16
解析
【分析】
首先观察图形特征，正方形CDEF的边分别平行于$△ABC$的两条直角边，可推出对应三角形相似；结合已知$AE=2BE$可得相似比为2:1。我们可以通过设参数表示出$△ABC$的两条直角边长度，再利用$△ABC$的面积条件列方程求解正方形的边长，最终计算出正方形的面积。
【解析】
解：
∵四边形CDEF是正方形，$∠C=90°$
∴$ED//BC$，$EF//AC$，$ED=EF=CF=DC$
∴$∠AED=∠B$，$∠ADE=∠EFB=90°$
∴$△AED∽△EBF$
∵$AE=2BE$，
∴两个三角形的相似比为$AE:EB=2:1$
设$BF=a$，由相似比可得$ED=2a$，即正方形的边长为$2a$
同理由相似比可得$AD:EF=2:1$，已知$EF=2a$，则$AD=4a$
∴$AC=AD+DC=4a+2a=6a$，$BC=CF+FB=2a+a=3a$
∵$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=36$
代入边长得：$\frac{1}{2}×6a×3a=36$
化简得$9a²=36$，解得$a²=4$
∴正方形CDEF的面积为$(2a)²=4a²=4×4=16$
【答案】
16
【知识点】
相似三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题结合正方形的性质与相似三角形的比例关系求解，核心是找到相似三角形的对应边比例，通过设参数的方法表示出直角三角形的边长，再利用面积公式建立方程求解，解题思路清晰，考察的是几何基础综合应用能力。
【难度系数】
0.6
首先观察图形特征，正方形CDEF的边分别平行于$△ABC$的两条直角边，可推出对应三角形相似；结合已知$AE=2BE$可得相似比为2:1。我们可以通过设参数表示出$△ABC$的两条直角边长度，再利用$△ABC$的面积条件列方程求解正方形的边长，最终计算出正方形的面积。
【解析】
解：
∵四边形CDEF是正方形，$∠C=90°$
∴$ED//BC$，$EF//AC$，$ED=EF=CF=DC$
∴$∠AED=∠B$，$∠ADE=∠EFB=90°$
∴$△AED∽△EBF$
∵$AE=2BE$，
∴两个三角形的相似比为$AE:EB=2:1$
设$BF=a$，由相似比可得$ED=2a$，即正方形的边长为$2a$
同理由相似比可得$AD:EF=2:1$，已知$EF=2a$，则$AD=4a$
∴$AC=AD+DC=4a+2a=6a$，$BC=CF+FB=2a+a=3a$
∵$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=36$
代入边长得：$\frac{1}{2}×6a×3a=36$
化简得$9a²=36$，解得$a²=4$
∴正方形CDEF的面积为$(2a)²=4a²=4×4=16$
【答案】
16
【知识点】
相似三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题结合正方形的性质与相似三角形的比例关系求解，核心是找到相似三角形的对应边比例，通过设参数的方法表示出直角三角形的边长，再利用面积公式建立方程求解，解题思路清晰，考察的是几何基础综合应用能力。
【难度系数】
0.6
