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11 已知 O 为四边形 ABCD 内一点，OA=OD，OB=OC，∠AOD+∠BOC=180°.
(1)如图1，∠AOB=90°,求证:AB=CD.
(2)如图2，E为CD 的中点，且∠OED=∠AOB.
①求$\frac{OC}{CD}$的值；
②求证:$\frac{AB}{CD}=\frac{OD}{OC}$.
(1)如图1，∠AOB=90°,求证:AB=CD.
(2)如图2，E为CD 的中点，且∠OED=∠AOB.
①求$\frac{OC}{CD}$的值；
②求证:$\frac{AB}{CD}=\frac{OD}{OC}$.
答案
11.(1)证明:
∵∠AOB=90°,∠AOD+∠BOC=180°,
∴∠DOC=360°-∠AOB-(∠AOD+∠BOC)=90°,
∴∠AOB=∠DOC.
又
∵OA=OD,OB=OC,
∴△AOB≌△DOC,
∴AB=CD.
(2)①解:
∵∠AOD+∠BOC=180°,
∴∠DOC+∠AOB=180°.
又
∵∠OED=∠AOB,
∴∠DOC+∠OED=180°.
∵∠OEC+∠OED=180°,
∴∠OEC=∠DOC.
又
∵∠OCE=∠DCO,
∴△OCE∽△DCO,
∴$\frac{OC}{DC}=\frac{CE}{CO}$,即$\frac{OC}{DC}=\frac{\frac{1}{2}DC}{CO}$,
∴$\frac{OC^2}{DC^2}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{OC}{CD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
②证明:如图,延长OE至点F,使EF=EO,连接CF、DF.
∵E为CD的中点，
∴四边形FDOC是平行四边形,
∴DF=OC=OB,
∠FDC=∠OCD.
由△OCE∽△DCO,得∠EOC=∠ODC.
又 ∠ODF = ∠FDC + ∠EDO, ∠DEO = ∠OCD+∠EOC,
∴∠ODF=∠OED=∠AOB.
又DF=OB,DO=OA,
∴△ODF≌△AOB,
∴∠DOF=∠OAB,AB=OF.
又
∵∠OED=∠AOB,
∴△OED∽△AOB,
∴$\frac{OE}{AO}=\frac{ED}{OB}$.
又$OE=\frac{1}{2}OF=\frac{1}{2}AB$,$ED=\frac{1}{2}CD$,$OA=OD$,
OB=OC,
∴$\frac{\frac{1}{2}AB}{OD}=\frac{\frac{1}{2}CD}{OC}$,即$\frac{AB}{OD}=\frac{CD}{OC}$,
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{OD}{OC}$.
解析
【分析】
(1) 要证明AB=CD，可通过证明△AOB≌△DOC实现。首先根据周角为360°，结合已知∠AOB=90°、∠AOD+∠BOC=180°，计算得到∠DOC=∠AOB，再结合已知的OA=OD、OB=OC，用SAS判定两个三角形全等，即可得到对应边AB=CD。
(2) ①要求$\frac{OC}{CD}$的值，首先根据∠AOD+∠BOC=180°，推导得到∠DOC+∠AOB=180°，结合∠OED=∠AOB，进一步推得∠OEC=∠DOC，再结合公共角∠OCE=∠DCO，证明△OCE∽△DCO，得到对应边成比例的关系，结合E是CD中点的条件，将CE替换为$\frac{1}{2}CD$，代入比例式整理即可求出比值。
②要证明$\frac{AB}{CD}=\frac{OD}{OC}$，先构造辅助线：延长OE至点F，使EF=EO，连接CF、DF，先利用对角线互相平分证明四边形FDOC是平行四边形，得到边角的等量关系；再证明△ODF≌△AOB，得到AB=OF，接着证明△OED∽△AOB，结合线段中点的性质、已知的OA=OD、OB=OC，对比例式进行等量替换，整理即可得到要证的结论。
【解析】
(1)证明:
∵∠AOB=90°,∠AOD+∠BOC=180°,
∴∠DOC=360°-∠AOB-(∠AOD+∠BOC)=90°,
∴∠AOB=∠DOC.
又
∵OA=OD,OB=OC,
∴△AOB≌△DOC(SAS),
∴AB=CD.
(2)①解:
∵∠AOD+∠BOC=180°,
∴∠DOC+∠AOB=360°-(∠AOD+∠BOC)=180°.
又
∵∠OED=∠AOB,
∴∠DOC+∠OED=180°.
∵∠OEC+∠OED=180°,
∴∠OEC=∠DOC.
又
∵∠OCE=∠DCO,
∴△OCE∽△DCO,
∴$\frac{OC}{DC}=\frac{CE}{CO}$,即$\frac{OC}{DC}=\frac{\frac{1}{2}DC}{CO}$,
∴$\frac{OC^2}{DC^2}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{OC}{CD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$(边长为正，舍去负根).
②证明:如图,延长OE至点F,使EF=EO,连接CF、DF.
∵E为CD的中点，
∴四边形FDOC是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形),
∴DF=OC=OB,∠FDC=∠OCD.
由△OCE∽△DCO,得∠EOC=∠ODC.
又 ∠ODF = ∠FDC + ∠EDO, ∠DEO = ∠OCD+∠EOC(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和),
∴∠ODF=∠OED=∠AOB.
又DF=OB,DO=OA,
∴△ODF≌△AOB(SAS),
∴AB=OF.
又
∵∠OED=∠AOB,∠ODE=∠OAB,
∴△OED∽△AOB,
∴$\frac{OE}{AO}=\frac{ED}{OB}$.
又$OE=\frac{1}{2}OF=\frac{1}{2}AB$,$ED=\frac{1}{2}CD$,$OA=OD$,$OB=OC$,
代入得$\frac{\frac{1}{2}AB}{OD}=\frac{\frac{1}{2}CD}{OC}$,即$\frac{AB}{OD}=\frac{CD}{OC}$,
交叉相乘整理得$\frac{AB}{CD}=\frac{OD}{OC}$.
【答案】
(1) AB=CD得证；
(2) ①$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
②$\frac{AB}{CD}=\frac{OD}{OC}$得证；
辅助线图示：
【知识点】
全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合题，融合了全等、相似、平行四边形多个核心几何知识点，解题的关键是准确梳理角之间的数量关系，合理构造辅助线实现边角的等量转化，能有效考查逻辑推理和几何综合分析能力。
【难度系数】
0.55
(1) 要证明AB=CD，可通过证明△AOB≌△DOC实现。首先根据周角为360°，结合已知∠AOB=90°、∠AOD+∠BOC=180°，计算得到∠DOC=∠AOB，再结合已知的OA=OD、OB=OC，用SAS判定两个三角形全等，即可得到对应边AB=CD。
(2) ①要求$\frac{OC}{CD}$的值，首先根据∠AOD+∠BOC=180°，推导得到∠DOC+∠AOB=180°，结合∠OED=∠AOB，进一步推得∠OEC=∠DOC，再结合公共角∠OCE=∠DCO，证明△OCE∽△DCO，得到对应边成比例的关系，结合E是CD中点的条件，将CE替换为$\frac{1}{2}CD$，代入比例式整理即可求出比值。
②要证明$\frac{AB}{CD}=\frac{OD}{OC}$，先构造辅助线：延长OE至点F，使EF=EO，连接CF、DF，先利用对角线互相平分证明四边形FDOC是平行四边形，得到边角的等量关系；再证明△ODF≌△AOB，得到AB=OF，接着证明△OED∽△AOB，结合线段中点的性质、已知的OA=OD、OB=OC，对比例式进行等量替换，整理即可得到要证的结论。
【解析】
(1)证明:
∵∠AOB=90°,∠AOD+∠BOC=180°,
∴∠DOC=360°-∠AOB-(∠AOD+∠BOC)=90°,
∴∠AOB=∠DOC.
又
∵OA=OD,OB=OC,
∴△AOB≌△DOC(SAS),
∴AB=CD.
(2)①解:
∵∠AOD+∠BOC=180°,
∴∠DOC+∠AOB=360°-(∠AOD+∠BOC)=180°.
又
∵∠OED=∠AOB,
∴∠DOC+∠OED=180°.
∵∠OEC+∠OED=180°,
∴∠OEC=∠DOC.
又
∵∠OCE=∠DCO,
∴△OCE∽△DCO,
∴$\frac{OC}{DC}=\frac{CE}{CO}$,即$\frac{OC}{DC}=\frac{\frac{1}{2}DC}{CO}$,
∴$\frac{OC^2}{DC^2}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{OC}{CD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$(边长为正，舍去负根).
②证明:如图,延长OE至点F,使EF=EO,连接CF、DF.
∵E为CD的中点，
∴四边形FDOC是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形),
∴DF=OC=OB,∠FDC=∠OCD.
由△OCE∽△DCO,得∠EOC=∠ODC.
又 ∠ODF = ∠FDC + ∠EDO, ∠DEO = ∠OCD+∠EOC(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和),
∴∠ODF=∠OED=∠AOB.
又DF=OB,DO=OA,
∴△ODF≌△AOB(SAS),
∴AB=OF.
又
∵∠OED=∠AOB,∠ODE=∠OAB,
∴△OED∽△AOB,
∴$\frac{OE}{AO}=\frac{ED}{OB}$.
又$OE=\frac{1}{2}OF=\frac{1}{2}AB$,$ED=\frac{1}{2}CD$,$OA=OD$,$OB=OC$,
代入得$\frac{\frac{1}{2}AB}{OD}=\frac{\frac{1}{2}CD}{OC}$,即$\frac{AB}{OD}=\frac{CD}{OC}$,
交叉相乘整理得$\frac{AB}{CD}=\frac{OD}{OC}$.
【答案】
(1) AB=CD得证；
(2) ①$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
②$\frac{AB}{CD}=\frac{OD}{OC}$得证；
辅助线图示：
【知识点】
全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合题，融合了全等、相似、平行四边形多个核心几何知识点，解题的关键是准确梳理角之间的数量关系，合理构造辅助线实现边角的等量转化，能有效考查逻辑推理和几何综合分析能力。
【难度系数】
0.55
12阅读材料:几何图形中有很多有趣的模型,"一线三等角"是其中体现几何逻辑推理的典例.已知A、E、B三点共线,且∠A=∠DEC=∠B的情况就称为"一线三等角".一起探究它具有哪些几何图形的性质.
(1)【特例探究】如图1,已知A、E、B三点在同一条直线上,∠A=∠B=∠DEC=90°,求证:Rt△ADE∽Rt△BEC;
(2)【规律总结】如图2,已知A、E、B三点在同一条直线上,∠A=∠B=∠DEC,求证:△ADE∽△BEC;
(3)【实例应用】如图3,已知A、E、B三点在同一条直线上,∠A=∠B=∠DEC,连接DC,若E是AB的中点,求证:DE²=AD·DC.
(1)【特例探究】如图1,已知A、E、B三点在同一条直线上,∠A=∠B=∠DEC=90°,求证:Rt△ADE∽Rt△BEC;
(2)【规律总结】如图2,已知A、E、B三点在同一条直线上,∠A=∠B=∠DEC,求证:△ADE∽△BEC;
(3)【实例应用】如图3,已知A、E、B三点在同一条直线上,∠A=∠B=∠DEC,连接DC,若E是AB的中点,求证:DE²=AD·DC.
答案
12.证明:(1)
∵∠A=∠B=∠DEC=90°,
∴∠DEA+∠CEB=90°,∠DEA+∠D=90°,
∴∠D=∠CEB,
∴Rt△ADE∽Rt△BEC.
(2)
∵∠A = ∠B = ∠DEC, ∠DEB = ∠A + ∠D = ∠DEC+∠CEB,
∴∠D=∠CEB,
∴△ADE∽△BEC.
(3)
∵∠A = ∠B = ∠DEC, ∠DEB = ∠A + ∠ADE = ∠DEC+∠CEB,
∴∠ADE=∠CEB,
∴△ADE∽△BEC,
∴$\frac{DE}{EC}=\frac{AD}{BE}=\frac{AE}{BC}$.
∵E是AB的中点,
∴AE=BE,
∴$\frac{DE}{EC}=\frac{AD}{AE}$.
∵∠A=∠DEC,
∴△AED∽△ECD,
∴$\frac{DE}{AD}=\frac{CD}{DE}$,
∴$DE^2=AD·DC$.
∵∠A=∠B=∠DEC=90°,
∴∠DEA+∠CEB=90°,∠DEA+∠D=90°,
∴∠D=∠CEB,
∴Rt△ADE∽Rt△BEC.
(2)
∵∠A = ∠B = ∠DEC, ∠DEB = ∠A + ∠D = ∠DEC+∠CEB,
∴∠D=∠CEB,
∴△ADE∽△BEC.
(3)
∵∠A = ∠B = ∠DEC, ∠DEB = ∠A + ∠ADE = ∠DEC+∠CEB,
∴∠ADE=∠CEB,
∴△ADE∽△BEC,
∴$\frac{DE}{EC}=\frac{AD}{BE}=\frac{AE}{BC}$.
∵E是AB的中点,
∴AE=BE,
∴$\frac{DE}{EC}=\frac{AD}{AE}$.
∵∠A=∠DEC,
∴△AED∽△ECD,
∴$\frac{DE}{AD}=\frac{CD}{DE}$,
∴$DE^2=AD·DC$.
解析
【分析】
本题围绕“一线三等角”模型分层考察相似三角形相关知识：
(1)第一问是直角型一线三等角，已知三个角均为90°，利用同角的余角相等可推出一组对应锐角相等，结合两个直角相等的条件，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”完成证明；
(2)第二问是一般情况的一线三等角，借助三角形外角的性质（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和），可推导出一组对应角相等，结合已知的∠A=∠B，即可证明两三角形相似；
(3)第三问先沿用第二问的推导思路证得△ADE∽△BEC，得到对应边成比例，再结合E是AB中点的条件替换相等的边，得到新的边比例关系，最后结合∠A=∠DEC的条件证明△AED∽△ECD，将比例式转化为等积式即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵∠A=∠B=∠DEC=90°，
∴∠DEA+∠CEB=90°，∠DEA+∠D=90°，
∴∠D=∠CEB，
∴Rt△ADE∽Rt△BEC。
(2) 证明：
∵∠A = ∠B = ∠DEC，∠DEB = ∠A + ∠D = ∠DEC+∠CEB，
∴∠D=∠CEB，
∴△ADE∽△BEC。
(3) 证明：
∵∠A = ∠B = ∠DEC，∠DEB = ∠A + ∠ADE = ∠DEC+∠CEB，
∴∠ADE=∠CEB，
∴△ADE∽△BEC，
∴$\frac{DE}{EC}=\frac{AD}{BE}=\frac{AE}{BC}$。
∵E是AB的中点，
∴AE=BE，
∴$\frac{DE}{EC}=\frac{AD}{AE}$。
∵∠A=∠DEC，
∴△AED∽△ECD，
∴$\frac{DE}{AD}=\frac{CD}{DE}$，
∴$DE^2=AD·DC$。
【答案】
(1) Rt△ADE∽Rt△BEC，得证；
(2) △ADE∽△BEC，得证；
(3) $DE^2=AD·DC$，得证。
【知识点】
相似三角形的判定与性质、三角形外角的性质、一线三等角模型
【点评】
本题遵循从特殊到一般的探究逻辑，围绕一线三等角模型考察相似三角形的综合运用，有助于掌握几何模型的推导思路，提升角的等量转换和比例式变形的能力。
【难度系数】
0.6
本题围绕“一线三等角”模型分层考察相似三角形相关知识：
(1)第一问是直角型一线三等角，已知三个角均为90°，利用同角的余角相等可推出一组对应锐角相等，结合两个直角相等的条件，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”完成证明；
(2)第二问是一般情况的一线三等角，借助三角形外角的性质（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和），可推导出一组对应角相等，结合已知的∠A=∠B，即可证明两三角形相似；
(3)第三问先沿用第二问的推导思路证得△ADE∽△BEC，得到对应边成比例，再结合E是AB中点的条件替换相等的边，得到新的边比例关系，最后结合∠A=∠DEC的条件证明△AED∽△ECD，将比例式转化为等积式即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵∠A=∠B=∠DEC=90°，
∴∠DEA+∠CEB=90°，∠DEA+∠D=90°，
∴∠D=∠CEB，
∴Rt△ADE∽Rt△BEC。
(2) 证明：
∵∠A = ∠B = ∠DEC，∠DEB = ∠A + ∠D = ∠DEC+∠CEB，
∴∠D=∠CEB，
∴△ADE∽△BEC。
(3) 证明：
∵∠A = ∠B = ∠DEC，∠DEB = ∠A + ∠ADE = ∠DEC+∠CEB，
∴∠ADE=∠CEB，
∴△ADE∽△BEC，
∴$\frac{DE}{EC}=\frac{AD}{BE}=\frac{AE}{BC}$。
∵E是AB的中点，
∴AE=BE，
∴$\frac{DE}{EC}=\frac{AD}{AE}$。
∵∠A=∠DEC，
∴△AED∽△ECD，
∴$\frac{DE}{AD}=\frac{CD}{DE}$，
∴$DE^2=AD·DC$。
【答案】
(1) Rt△ADE∽Rt△BEC，得证；
(2) △ADE∽△BEC，得证；
(3) $DE^2=AD·DC$，得证。
【知识点】
相似三角形的判定与性质、三角形外角的性质、一线三等角模型
【点评】
本题遵循从特殊到一般的探究逻辑，围绕一线三等角模型考察相似三角形的综合运用，有助于掌握几何模型的推导思路，提升角的等量转换和比例式变形的能力。
【难度系数】
0.6
