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10. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°$,$AB=5$,$AC=4$,以 $AC$ 为斜边向外作 $Rt△ ACD$,当 $DC$ 为
$\frac{12}{5}$或$\frac{16}{5}$
时,这两个直角三角形相似.答案
10.$\frac{12}{5}$或$\frac{16}{5}$
解析
【分析】
首先利用勾股定理求出Rt△ABC中BC的长度，由于题目未明确两个直角三角形的相似对应关系，已知直角已对应相等，因此剩余锐角的对应关系有两种情况，需分类讨论，根据相似三角形对应边成比例分别列算式求解DC的长度即可。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
∵△ACD是直角三角形，∠D=90°，两个直角三角形相似时分两种情况：
① 当$△ ABC ∽ △ ACD$时，对应边成比例：$\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CD}$，
代入数值：$\frac{5}{4}=\frac{3}{CD}$，解得$CD=\frac{12}{5}$；
② 当$△ ABC ∽ △ CAD$时，对应边成比例：$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{CD}$，
代入数值：$\frac{5}{4}=\frac{4}{CD}$，解得$CD=\frac{16}{5}$。
综上，DC的长为$\frac{12}{5}$或$\frac{16}{5}$。
【答案】
$\frac{12}{5}$或$\frac{16}{5}$
【知识点】
勾股定理，相似三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题易因忽略相似三角形对应关系的多种情况导致漏解，解题时遇到未明确对应顶点的相似问题，需结合图形特征分类讨论所有可能的对应情况。
【难度系数】
0.6
首先利用勾股定理求出Rt△ABC中BC的长度，由于题目未明确两个直角三角形的相似对应关系，已知直角已对应相等，因此剩余锐角的对应关系有两种情况，需分类讨论，根据相似三角形对应边成比例分别列算式求解DC的长度即可。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
∵△ACD是直角三角形，∠D=90°，两个直角三角形相似时分两种情况：
① 当$△ ABC ∽ △ ACD$时，对应边成比例：$\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CD}$，
代入数值：$\frac{5}{4}=\frac{3}{CD}$，解得$CD=\frac{12}{5}$；
② 当$△ ABC ∽ △ CAD$时，对应边成比例：$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{CD}$，
代入数值：$\frac{5}{4}=\frac{4}{CD}$，解得$CD=\frac{16}{5}$。
综上，DC的长为$\frac{12}{5}$或$\frac{16}{5}$。
【答案】
$\frac{12}{5}$或$\frac{16}{5}$
【知识点】
勾股定理，相似三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题易因忽略相似三角形对应关系的多种情况导致漏解，解题时遇到未明确对应顶点的相似问题，需结合图形特征分类讨论所有可能的对应情况。
【难度系数】
0.6
11.在等腰三角形ABC中，$AB=AC$，AD是边BC上的高，将线段AD绕着点D逆时针旋转，点A旋转到点E，ED与边AB交于点F，且$\frac{FE}{DF}=\frac{3}{2}$。如果$△ AFE$与$△ DFB$相似，那么$\frac{DE}{AB}$的值为________。
答案
11.$\frac{\sqrt{14}}{4}$
解析
【分析】
首先利用等腰三角形三线合一性质得AD⊥BC，结合旋转性质可得AD=DE；根据$\frac{FE}{DF}=\frac{3}{2}$设参数简化各线段长度。由于△AFE与△DFB相似，且∠AFE=∠DFB（对顶角相等），△DFB是直角三角形（∠FDB=90°），因此△AFE也为直角三角形，分两种直角对应情况讨论，排除不符合实际的情况后，结合相似三角形性质、三角形内角关系及三角比运算，即可求出DE与AB的比值。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC，即∠FDB=90°，△DFB为直角三角形。
由旋转的性质得：$DE=AD$。
已知$\frac{FE}{DF}=\frac{3}{2}$，设$DF=2k$，$FE=3k$（$k＞0$），则$DE=DF+FE=5k$，故$AD=DE=5k$。
∵∠AFE与∠DFB是对顶角，
∴∠AFE=∠DFB。
又
∵△AFE∽△DFB，△DFB的直角为∠FDB，因此△AFE的直角分两种情况讨论：
①若直角为∠AEF，则△AEF∽△BDF，可得$\frac{AF}{BF}=\frac{EF}{DF}=\frac{3}{2}$，设$AF=3m$，$BF=2m$，则$AB=5m$。
在Rt△ABD中：$BD^2 + AD^2 = AB^2$，即$BD^2 + 25k^2 = 25m^2$；
在Rt△BDF中：$BD^2 + DF^2 = BF^2$，即$BD^2 + 4k^2 = 4m^2$；
联立两式化简得$m=k$，代入得$BD=0$，不符合实际，舍去。
②若直角为∠FAE，即∠FAE=∠FDB=90°，则△FAE∽△FDB。
设∠BAD=α，在Rt△ABD中，$cosα=\frac{AD}{AB}=\frac{5k}{AB}$。
∵AD=DE=5k，△ADE为等腰三角形，∠DAE=90°-α，
∴∠DEA=∠DAE=90°-α，可得∠ADE=180°-2(90°-α)=2α。
在△AFD中，由正弦定理得$\frac{AD}{sin(180°-3α)}=\frac{DF}{sinα}$，即$\frac{5k}{sin3α}=\frac{2k}{sinα}$，约去$k$得$5sinα=2sin3α$。
代入三角恒等式$sin3α=3sinα-4sin^3α$，得：
$5sinα=2(3sinα-4sin^3α)$，
化简得$sinα(8sin^2α -1)=0$。
∵α为锐角，$sinα≠0$，
∴$sin^2α=\frac{1}{8}$，
则$cosα=\sqrt{1-sin^2α}=\sqrt{1-\frac{1}{8}}=\frac{\sqrt{14}}{4}$。
因此$\frac{DE}{AB}=\frac{AD}{AB}=cosα=\frac{\sqrt{14}}{4}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{14}}{4}$
【知识点】
等腰三角形性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查等腰三角形、图形旋转、相似三角形的核心知识点，解题时需注意相似三角形对应关系的分类讨论，排除无效情况后结合三角比运算即可求解，对学生的逻辑推理和分类讨论能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
首先利用等腰三角形三线合一性质得AD⊥BC，结合旋转性质可得AD=DE；根据$\frac{FE}{DF}=\frac{3}{2}$设参数简化各线段长度。由于△AFE与△DFB相似，且∠AFE=∠DFB（对顶角相等），△DFB是直角三角形（∠FDB=90°），因此△AFE也为直角三角形，分两种直角对应情况讨论，排除不符合实际的情况后，结合相似三角形性质、三角形内角关系及三角比运算，即可求出DE与AB的比值。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC，即∠FDB=90°，△DFB为直角三角形。
由旋转的性质得：$DE=AD$。
已知$\frac{FE}{DF}=\frac{3}{2}$，设$DF=2k$，$FE=3k$（$k＞0$），则$DE=DF+FE=5k$，故$AD=DE=5k$。
∵∠AFE与∠DFB是对顶角，
∴∠AFE=∠DFB。
又
∵△AFE∽△DFB，△DFB的直角为∠FDB，因此△AFE的直角分两种情况讨论：
①若直角为∠AEF，则△AEF∽△BDF，可得$\frac{AF}{BF}=\frac{EF}{DF}=\frac{3}{2}$，设$AF=3m$，$BF=2m$，则$AB=5m$。
在Rt△ABD中：$BD^2 + AD^2 = AB^2$，即$BD^2 + 25k^2 = 25m^2$；
在Rt△BDF中：$BD^2 + DF^2 = BF^2$，即$BD^2 + 4k^2 = 4m^2$；
联立两式化简得$m=k$，代入得$BD=0$，不符合实际，舍去。
②若直角为∠FAE，即∠FAE=∠FDB=90°，则△FAE∽△FDB。
设∠BAD=α，在Rt△ABD中，$cosα=\frac{AD}{AB}=\frac{5k}{AB}$。
∵AD=DE=5k，△ADE为等腰三角形，∠DAE=90°-α，
∴∠DEA=∠DAE=90°-α，可得∠ADE=180°-2(90°-α)=2α。
在△AFD中，由正弦定理得$\frac{AD}{sin(180°-3α)}=\frac{DF}{sinα}$，即$\frac{5k}{sin3α}=\frac{2k}{sinα}$，约去$k$得$5sinα=2sin3α$。
代入三角恒等式$sin3α=3sinα-4sin^3α$，得：
$5sinα=2(3sinα-4sin^3α)$，
化简得$sinα(8sin^2α -1)=0$。
∵α为锐角，$sinα≠0$，
∴$sin^2α=\frac{1}{8}$，
则$cosα=\sqrt{1-sin^2α}=\sqrt{1-\frac{1}{8}}=\frac{\sqrt{14}}{4}$。
因此$\frac{DE}{AB}=\frac{AD}{AB}=cosα=\frac{\sqrt{14}}{4}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{14}}{4}$
【知识点】
等腰三角形性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查等腰三角形、图形旋转、相似三角形的核心知识点，解题时需注意相似三角形对应关系的分类讨论，排除无效情况后结合三角比运算即可求解，对学生的逻辑推理和分类讨论能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
12.如图，P是△ABC内一点，过点P分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是1、4和36，则△ABC的面积是
81
。答案
12.81
解析
【分析】
首先观察图形特征，过点P作△ABC三边的平行线后，得到的三个阴影小三角形均与△ABC相似，同时图中会形成多个平行四边形。解题时先利用相似三角形“面积比等于相似比的平方”的性质，求出三个阴影小三角形的边长比，再结合平行四边形对边相等的性质，推导得出大三角形△ABC与最小阴影三角形的相似比，最后根据相似比计算△ABC的面积。
【解析】
解：
∵过点P的直线分别平行于△ABC的各边，
∴三个阴影小三角形都与△ABC相似，且分割形成的空白四边形均为平行四边形。
已知三个阴影小三角形的面积分别为1、4、36，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得三个小三角形的对应边长之比为$\sqrt{1}:\sqrt{4}:\sqrt{36}=1:2:6$。
设最小阴影三角形的对应边长为$a$，则另外两个阴影三角形的对应边长分别为$2a$、$6a$。
结合平行四边形对边相等的性质，可得△ABC的边长等于三个阴影小三角形的对应边长之和，即$a+2a+6a=9a$。
因此△ABC与最小阴影三角形的相似比为$9a:a=9:1$，二者的面积比为$9^2:1^2=81:1$。
已知最小阴影三角形面积为1，因此△ABC的面积为$1×81=81$。
【答案】
81
【知识点】
相似三角形的性质，平行四边形的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的典型应用题型，解题的核心是通过平行线判定三角形相似，再结合平行四边形的边的特征推导大、小三角形的相似比，能很好地考查学生对相似性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.65
首先观察图形特征，过点P作△ABC三边的平行线后，得到的三个阴影小三角形均与△ABC相似，同时图中会形成多个平行四边形。解题时先利用相似三角形“面积比等于相似比的平方”的性质，求出三个阴影小三角形的边长比，再结合平行四边形对边相等的性质，推导得出大三角形△ABC与最小阴影三角形的相似比，最后根据相似比计算△ABC的面积。
【解析】
解：
∵过点P的直线分别平行于△ABC的各边，
∴三个阴影小三角形都与△ABC相似，且分割形成的空白四边形均为平行四边形。
已知三个阴影小三角形的面积分别为1、4、36，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得三个小三角形的对应边长之比为$\sqrt{1}:\sqrt{4}:\sqrt{36}=1:2:6$。
设最小阴影三角形的对应边长为$a$，则另外两个阴影三角形的对应边长分别为$2a$、$6a$。
结合平行四边形对边相等的性质，可得△ABC的边长等于三个阴影小三角形的对应边长之和，即$a+2a+6a=9a$。
因此△ABC与最小阴影三角形的相似比为$9a:a=9:1$，二者的面积比为$9^2:1^2=81:1$。
已知最小阴影三角形面积为1，因此△ABC的面积为$1×81=81$。
【答案】
81
【知识点】
相似三角形的性质，平行四边形的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的典型应用题型，解题的核心是通过平行线判定三角形相似，再结合平行四边形的边的特征推导大、小三角形的相似比，能很好地考查学生对相似性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.65
13如图，在矩形ABCD中，AB=9，AD=15，E是CD边上的一点，连接AE，将$△ ADE$沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处，则$\frac{S_{△ ECF}}{S_{△ FBA}}=$
$\frac{1}{9}$
。答案
13.$\frac{1}{9}$
解析
【分析】
本题是矩形中的折叠变换类题目，解题思路如下：首先利用折叠的性质得到对应边、对应角相等，确定AF的长度和∠AFE的度数；接着在Rt△ABF中运用勾股定理求出BF的长，进而得到FC的长度；再通过角度互余关系证明△ECF和△FBA相似，得到两个三角形的相似比，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方计算所求比值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=9，BC=AD=15，
由折叠的性质可得：AF=AD=15，∠AFE=∠D=90°，
在Rt△ABF中，AB=9，AF=15，根据勾股定理：
$BF=\sqrt{AF^2-AB^2}=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12$，
∴$FC=BC-BF=15-12=3$，
∵$∠ AFB+∠ EFC=180°-∠ AFE=90°$，$∠ BAF+∠ AFB=90°$，
∴$∠ BAF=∠ CFE$，
又
∵$∠ B=∠ C=90°$，
∴$△ ECF ∽ △ FBA$，相似比$k=\frac{FC}{AB}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{S_{△ ECF}}{S_{△ FBA}}=k^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$。
【答案】
$\frac{1}{9}$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题结合矩形、折叠变换考查相似三角形的应用，解题的核心是利用折叠的性质得到相等的边和角，进而证明三角形相似，再结合相似的性质求解面积比，是几何部分常见的基础综合题。
【难度系数】
0.7
本题是矩形中的折叠变换类题目，解题思路如下：首先利用折叠的性质得到对应边、对应角相等，确定AF的长度和∠AFE的度数；接着在Rt△ABF中运用勾股定理求出BF的长，进而得到FC的长度；再通过角度互余关系证明△ECF和△FBA相似，得到两个三角形的相似比，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方计算所求比值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=9，BC=AD=15，
由折叠的性质可得：AF=AD=15，∠AFE=∠D=90°，
在Rt△ABF中，AB=9，AF=15，根据勾股定理：
$BF=\sqrt{AF^2-AB^2}=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12$，
∴$FC=BC-BF=15-12=3$，
∵$∠ AFB+∠ EFC=180°-∠ AFE=90°$，$∠ BAF+∠ AFB=90°$，
∴$∠ BAF=∠ CFE$，
又
∵$∠ B=∠ C=90°$，
∴$△ ECF ∽ △ FBA$，相似比$k=\frac{FC}{AB}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{S_{△ ECF}}{S_{△ FBA}}=k^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$。
【答案】
$\frac{1}{9}$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题结合矩形、折叠变换考查相似三角形的应用，解题的核心是利用折叠的性质得到相等的边和角，进而证明三角形相似，再结合相似的性质求解面积比，是几何部分常见的基础综合题。
【难度系数】
0.7
14如图，$l_1 // l_2 // l_3$，且$l_1$和$l_2$之间的距离是1，$l_2$和$l_3$之间的距离是2，$△ ABC$的三个顶点分别在$l_1$、$l_2$、$l_3$上，AC与$l_2$交于点D。如果$BC ⊥ AC$，$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{3}$，那么BD的长是
5
。答案
14.5
解析:如图,过点 B 作 $BE ⊥ l_3$,过点 A 作$AF⊥l_3$,垂足分别为 E、F,AF 交 $l_2$ 于点 G,
则$∠BEC=∠AFC=90°,AG=1,BE=FG=2$,
$∴AF=3.$
$\because l_1// l_2// l_3,\therefore \frac{AD}{CD}=\frac{AG}{FG}=\frac{1}{2},\therefore CD=2AD.$
$\because BC⊥AC,\therefore ∠ACB=90°,$
$\therefore ∠BCE=∠CAF=90°-∠ACF.$
$\because ∠BEC=∠AFC=90°,\therefore △BEC∽△CFA,$
$\therefore \frac{CE}{AF}=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{3},\therefore CE=1,$
$\therefore BC=\sqrt{EC^2+BE^2}=\sqrt{5},$
$\therefore AC=3BC=3\sqrt{5},\therefore CD=\frac{2}{3}AC=2\sqrt{5},$
在 $Rt△BCD$ 中,由勾股定理得 $BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=5.$
解析
【分析】
遇到三条平行线间夹三角形的几何题，首先通过作垂线将平行线间的距离转化为可直接使用的线段长度；结合题目给出的垂直关系和边的比例，可通过同角的余角相等证明三角形相似，利用相似性质求出相关边的长度；再根据平行线分线段成比例得到CD与AC的数量关系，最后在直角三角形中用勾股定理即可求出BD的长度。
【解析】
解：过点B作$BE ⊥ l_3$，垂足为E，过点A作$AF ⊥ l_3$，垂足为F，AF交$l_2$于点G，如图所示：
由平行线间的距离定义可得：$AG=1$（$l_1$与$l_2$的距离），$BE=FG=2$（$l_2$与$l_3$的距离），因此$AF=AG+FG=1+2=3$。
$\because l_1 // l_2 // l_3$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AD}{CD}=\frac{AG}{FG}=\frac{1}{2}$，即$CD=2AD$，$\therefore CD=\frac{2}{3}AC$。
$\because BC ⊥ AC$，$\therefore ∠ ACB=90°$，因此$∠ BCE + ∠ ACF = 180° - 90° = 90°$。
又$\because AF ⊥ l_3$，$\therefore ∠ CAF + ∠ ACF = 90°$，$\therefore ∠ BCE = ∠ CAF$。
又$\because ∠ BEC = ∠ CFA = 90°$，$\therefore △ BEC ∽ △ CFA$（两角分别相等的两个三角形相似）。
$\therefore \frac{CE}{AF}=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{3}$，代入$AF=3$，得$CE=\frac{1}{3} × 3 = 1$。
在$Rt△ BEC$中，由勾股定理得：$BC=\sqrt{CE^2 + BE^2}=\sqrt{1^2 + 2^2}=\sqrt{5}$。
由$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{3}$，得$AC=3BC=3\sqrt{5}$，因此$CD=\frac{2}{3} × 3\sqrt{5}=2\sqrt{5}$。
在$Rt△ BCD$中，$∠ BCD=90°$，由勾股定理得：$BD=\sqrt{BC^2 + CD^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{5})^2}=\sqrt{5 + 20}=\sqrt{25}=5$。
【答案】
5
【知识点】
平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题属于几何综合应用题，解题核心是正确作出辅助线，将已知的距离条件和比例关系转化为三角形的边长，能够有效考查对平行线、相似、勾股定理等知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
遇到三条平行线间夹三角形的几何题，首先通过作垂线将平行线间的距离转化为可直接使用的线段长度；结合题目给出的垂直关系和边的比例，可通过同角的余角相等证明三角形相似，利用相似性质求出相关边的长度；再根据平行线分线段成比例得到CD与AC的数量关系，最后在直角三角形中用勾股定理即可求出BD的长度。
【解析】
解：过点B作$BE ⊥ l_3$，垂足为E，过点A作$AF ⊥ l_3$，垂足为F，AF交$l_2$于点G，如图所示：
由平行线间的距离定义可得：$AG=1$（$l_1$与$l_2$的距离），$BE=FG=2$（$l_2$与$l_3$的距离），因此$AF=AG+FG=1+2=3$。
$\because l_1 // l_2 // l_3$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AD}{CD}=\frac{AG}{FG}=\frac{1}{2}$，即$CD=2AD$，$\therefore CD=\frac{2}{3}AC$。
$\because BC ⊥ AC$，$\therefore ∠ ACB=90°$，因此$∠ BCE + ∠ ACF = 180° - 90° = 90°$。
又$\because AF ⊥ l_3$，$\therefore ∠ CAF + ∠ ACF = 90°$，$\therefore ∠ BCE = ∠ CAF$。
又$\because ∠ BEC = ∠ CFA = 90°$，$\therefore △ BEC ∽ △ CFA$（两角分别相等的两个三角形相似）。
$\therefore \frac{CE}{AF}=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{3}$，代入$AF=3$，得$CE=\frac{1}{3} × 3 = 1$。
在$Rt△ BEC$中，由勾股定理得：$BC=\sqrt{CE^2 + BE^2}=\sqrt{1^2 + 2^2}=\sqrt{5}$。
由$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{3}$，得$AC=3BC=3\sqrt{5}$，因此$CD=\frac{2}{3} × 3\sqrt{5}=2\sqrt{5}$。
在$Rt△ BCD$中，$∠ BCD=90°$，由勾股定理得：$BD=\sqrt{BC^2 + CD^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{5})^2}=\sqrt{5 + 20}=\sqrt{25}=5$。
【答案】
5
【知识点】
平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题属于几何综合应用题，解题核心是正确作出辅助线，将已知的距离条件和比例关系转化为三角形的边长，能够有效考查对平行线、相似、勾股定理等知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
三、解答题
15. 如图,在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E为AB的中点.
(1)求证:$AC^2=AB· AD$;
(2)若$AD=4$,$AB=6$,求$\frac{AC}{AF}$的值.
15. 如图,在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E为AB的中点.
(1)求证:$AC^2=AB· AD$;
(2)若$AD=4$,$AB=6$,求$\frac{AC}{AF}$的值.
答案
15.(1)证明:
∵AC平分$∠DAB,∴∠DAC=∠CAB.$
∵$∠ADC=∠ACB=90°,∴△ADC∽△ACB,$
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB},\therefore AC^2=AB· AD.$
(2)解:
∵E为AB的中点,
$\therefore CE=\frac{1}{2}AB=AE=3,\therefore ∠EAC=∠ECA.$
又 AC 平分$∠DAB,∴∠BAC=∠DAC,$
$\therefore ∠ECF=∠DAF.$
∵$∠DFA=∠CFE,∴△AFD∽△CFE,$
$\therefore \frac{AD}{CE}=\frac{AF}{CF},\therefore \frac{4}{3}=\frac{AF}{CF},\therefore \frac{AC}{AF}=\frac{7}{4}.$
∵AC平分$∠DAB,∴∠DAC=∠CAB.$
∵$∠ADC=∠ACB=90°,∴△ADC∽△ACB,$
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB},\therefore AC^2=AB· AD.$
(2)解:
∵E为AB的中点,
$\therefore CE=\frac{1}{2}AB=AE=3,\therefore ∠EAC=∠ECA.$
又 AC 平分$∠DAB,∴∠BAC=∠DAC,$
$\therefore ∠ECF=∠DAF.$
∵$∠DFA=∠CFE,∴△AFD∽△CFE,$
$\therefore \frac{AD}{CE}=\frac{AF}{CF},\therefore \frac{4}{3}=\frac{AF}{CF},\therefore \frac{AC}{AF}=\frac{7}{4}.$
解析
【分析】
(1) 要证明等积式$AC^2=AB· AD$，可先转化为比例式$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，只需证明对应的$△ ADC$和$△ ACB$相似即可；结合已知的角平分线条件可得一组对应角相等，再加两个直角相等，即可通过两角对应相等证明两三角形相似，进而推导出等积式。
(2) 求$\frac{AC}{AF}$的值时，先利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到$CE=AE$，推出角的等量关系，结合角平分线定义得到$∠ ECF=∠ DAF$，再加对顶角相等证明$△ AFD∽△ CFE$，得到$AF$与$CF$的比值，最后将$AC$转化为$AF+CF$即可求出所求比值。
【解析】
(1) 证明：
∵AC平分$∠ DAB$，
∴$∠ DAC=∠ CAB$，
∵$∠ ADC=∠ ACB=90°$，
∴$△ ADC∽△ ACB$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
∴$AC^2=AB· AD$。
(2) 解：
∵E为AB的中点，$∠ ACB=90°$，
∴CE是$Rt△ ACB$斜边AB的中线，
∴$CE=\frac{1}{2}AB=AE=3$，
∴$∠ EAC=∠ ECA$（等边对等角），
又
∵AC平分$∠ DAB$，
∴$∠ BAC=∠ DAC$，
∴$∠ ECF=∠ DAF$（等量代换），
∵$∠ DFA=∠ CFE$（对顶角相等），
∴$△ AFD∽△ CFE$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AD}{CE}=\frac{AF}{CF}$，
代入$AD=4$，$CE=3$得$\frac{4}{3}=\frac{AF}{CF}$，即$CF=\frac{3}{4}AF$，
∵$AC=AF+CF$，
∴$AC=AF+\frac{3}{4}AF=\frac{7}{4}AF$，
∴$\frac{AC}{AF}=\frac{7}{4}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\frac{7}{4}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是相似三角形应用的典型基础题，解题核心是熟练掌握相似三角形的判定方法，能灵活将等积式转化为比例式寻找对应相似三角形，第二问需要结合直角三角形的特殊性质构造角的等量关系，进而得到新的相似三角形求解，对几何逻辑推导能力有一定的基础要求。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明等积式$AC^2=AB· AD$，可先转化为比例式$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，只需证明对应的$△ ADC$和$△ ACB$相似即可；结合已知的角平分线条件可得一组对应角相等，再加两个直角相等，即可通过两角对应相等证明两三角形相似，进而推导出等积式。
(2) 求$\frac{AC}{AF}$的值时，先利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到$CE=AE$，推出角的等量关系，结合角平分线定义得到$∠ ECF=∠ DAF$，再加对顶角相等证明$△ AFD∽△ CFE$，得到$AF$与$CF$的比值，最后将$AC$转化为$AF+CF$即可求出所求比值。
【解析】
(1) 证明：
∵AC平分$∠ DAB$，
∴$∠ DAC=∠ CAB$，
∵$∠ ADC=∠ ACB=90°$，
∴$△ ADC∽△ ACB$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
∴$AC^2=AB· AD$。
(2) 解：
∵E为AB的中点，$∠ ACB=90°$，
∴CE是$Rt△ ACB$斜边AB的中线，
∴$CE=\frac{1}{2}AB=AE=3$，
∴$∠ EAC=∠ ECA$（等边对等角），
又
∵AC平分$∠ DAB$，
∴$∠ BAC=∠ DAC$，
∴$∠ ECF=∠ DAF$（等量代换），
∵$∠ DFA=∠ CFE$（对顶角相等），
∴$△ AFD∽△ CFE$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AD}{CE}=\frac{AF}{CF}$，
代入$AD=4$，$CE=3$得$\frac{4}{3}=\frac{AF}{CF}$，即$CF=\frac{3}{4}AF$，
∵$AC=AF+CF$，
∴$AC=AF+\frac{3}{4}AF=\frac{7}{4}AF$，
∴$\frac{AC}{AF}=\frac{7}{4}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\frac{7}{4}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是相似三角形应用的典型基础题，解题核心是熟练掌握相似三角形的判定方法，能灵活将等积式转化为比例式寻找对应相似三角形，第二问需要结合直角三角形的特殊性质构造角的等量关系，进而得到新的相似三角形求解，对几何逻辑推导能力有一定的基础要求。
【难度系数】
0.7
16. 如图,已知在四边形ABCD中,$AD// BC$,E为边CB延长线上一点,连接DE交边AB于点F,连接AC交DE于点G,且$\frac{FG}{GD}=\frac{AD}{CE}$.
(1)求证:$AB// CD$;
(2)如果$AD^2 = DG · DE$,求证:$\frac{EG^2}{CE^2}=\frac{AG}{AC}$.
(1)求证:$AB// CD$;
(2)如果$AD^2 = DG · DE$,求证:$\frac{EG^2}{CE^2}=\frac{AG}{AC}$.
答案
16.证明:(1)
∵$AD// BC,∴△ADG∽△CEG,$
$\therefore \frac{AD}{CE}=\frac{AG}{CG}.$
$\because \frac{FG}{GD}=\frac{AD}{CE},\therefore \frac{AG}{CG}=\frac{FG}{GD}.$
又$∠AGF=∠CGD,∴△AGF∽△CGD,$
$\therefore ∠AFG=∠CDG,∴AB// CD.$
(2)
∵$AD// BC,∴△ADG∽△CEG,$
$\therefore \frac{DG}{EG}=\frac{AD}{CE},\therefore \frac{EG^2}{DG^2}=\frac{CE^2}{AD^2},\therefore \frac{EG^2}{CE^2}=\frac{DG^2}{AD^2}.$
$\because AD^2=DG· DE,\therefore \frac{EG^2}{CE^2}=\frac{DG}{DE}.$
∵$AD// BC,\therefore \frac{AG}{AC}=\frac{DG}{DE},\therefore \frac{EG^2}{CE^2}=\frac{AG}{AC}.$
∵$AD// BC,∴△ADG∽△CEG,$
$\therefore \frac{AD}{CE}=\frac{AG}{CG}.$
$\because \frac{FG}{GD}=\frac{AD}{CE},\therefore \frac{AG}{CG}=\frac{FG}{GD}.$
又$∠AGF=∠CGD,∴△AGF∽△CGD,$
$\therefore ∠AFG=∠CDG,∴AB// CD.$
(2)
∵$AD// BC,∴△ADG∽△CEG,$
$\therefore \frac{DG}{EG}=\frac{AD}{CE},\therefore \frac{EG^2}{DG^2}=\frac{CE^2}{AD^2},\therefore \frac{EG^2}{CE^2}=\frac{DG^2}{AD^2}.$
$\because AD^2=DG· DE,\therefore \frac{EG^2}{CE^2}=\frac{DG}{DE}.$
∵$AD// BC,\therefore \frac{AG}{AC}=\frac{DG}{DE},\therefore \frac{EG^2}{CE^2}=\frac{AG}{AC}.$
解析
【分析】
(1) 要证$AB// CD$，可通过证明内错角相等推导：首先利用$AD// BC$得到$△ ADG∽△ CEG$，得到比例式$\frac{AD}{CE}=\frac{AG}{CG}$，结合题给条件$\frac{FG}{GD}=\frac{AD}{CE}$，可推出$\frac{AG}{CG}=\frac{FG}{GD}$，再结合对顶角相等证明$△ AGF∽△ CGD$，得到对应角相等即可推出$AB// CD$。
(2) 要证$\frac{EG^2}{CE^2}=\frac{AG}{AC}$，先通过$△ ADG∽△ CEG$得到$\frac{DG}{EG}=\frac{AD}{CE}$，变形得到$\frac{EG^2}{CE^2}=\frac{DG^2}{AD^2}$，再代入已知条件$AD^2=DG· DE$，可将式子转化为$\frac{EG^2}{CE^2}=\frac{DG}{DE}$，最后利用$AD// BC$的平行线分线段成比例性质，得到$\frac{AG}{AC}=\frac{DG}{DE}$，等量代换即可完成证明。
【解析】
(1) 证明：
$\because AD// BC$，$\therefore△ ADG∽△ CEG$，
$\therefore \frac{AD}{CE}=\frac{AG}{CG}$。
$\because \frac{FG}{GD}=\frac{AD}{CE}$，$\therefore \frac{AG}{CG}=\frac{FG}{GD}$。
又$∠ AGF=∠ CGD$，$\therefore△ AGF∽△ CGD$，
$\therefore ∠ AFG=∠ CDG$，$\therefore AB// CD$。
(2) 证明：
$\because AD// BC$，$\therefore△ ADG∽△ CEG$，
$\therefore \frac{DG}{EG}=\frac{AD}{CE}$，$\therefore \frac{EG^2}{DG^2}=\frac{CE^2}{AD^2}$，$\therefore \frac{EG^2}{CE^2}=\frac{DG^2}{AD^2}$。
$\because AD^2=DG· DE$，$\therefore \frac{EG^2}{CE^2}=\frac{DG}{DE}$。
$\because AD// BC$，$\therefore \frac{AG}{AC}=\frac{DG}{DE}$，$\therefore \frac{EG^2}{CE^2}=\frac{AG}{AC}$。
【答案】
(1) $AB// CD$得证；
(2) $\frac{EG^2}{CE^2}=\frac{AG}{AC}$得证。
【知识点】
相似三角形判定与性质、平行线的判定、平行线分线段成比例
【点评】
本题是几何综合证明题，解题核心是充分利用平行线的性质得到相似三角形，结合已知比例条件做合理的等量代换，考查了几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证$AB// CD$，可通过证明内错角相等推导：首先利用$AD// BC$得到$△ ADG∽△ CEG$，得到比例式$\frac{AD}{CE}=\frac{AG}{CG}$，结合题给条件$\frac{FG}{GD}=\frac{AD}{CE}$，可推出$\frac{AG}{CG}=\frac{FG}{GD}$，再结合对顶角相等证明$△ AGF∽△ CGD$，得到对应角相等即可推出$AB// CD$。
(2) 要证$\frac{EG^2}{CE^2}=\frac{AG}{AC}$，先通过$△ ADG∽△ CEG$得到$\frac{DG}{EG}=\frac{AD}{CE}$，变形得到$\frac{EG^2}{CE^2}=\frac{DG^2}{AD^2}$，再代入已知条件$AD^2=DG· DE$，可将式子转化为$\frac{EG^2}{CE^2}=\frac{DG}{DE}$，最后利用$AD// BC$的平行线分线段成比例性质，得到$\frac{AG}{AC}=\frac{DG}{DE}$，等量代换即可完成证明。
【解析】
(1) 证明：
$\because AD// BC$，$\therefore△ ADG∽△ CEG$，
$\therefore \frac{AD}{CE}=\frac{AG}{CG}$。
$\because \frac{FG}{GD}=\frac{AD}{CE}$，$\therefore \frac{AG}{CG}=\frac{FG}{GD}$。
又$∠ AGF=∠ CGD$，$\therefore△ AGF∽△ CGD$，
$\therefore ∠ AFG=∠ CDG$，$\therefore AB// CD$。
(2) 证明：
$\because AD// BC$，$\therefore△ ADG∽△ CEG$，
$\therefore \frac{DG}{EG}=\frac{AD}{CE}$，$\therefore \frac{EG^2}{DG^2}=\frac{CE^2}{AD^2}$，$\therefore \frac{EG^2}{CE^2}=\frac{DG^2}{AD^2}$。
$\because AD^2=DG· DE$，$\therefore \frac{EG^2}{CE^2}=\frac{DG}{DE}$。
$\because AD// BC$，$\therefore \frac{AG}{AC}=\frac{DG}{DE}$，$\therefore \frac{EG^2}{CE^2}=\frac{AG}{AC}$。
【答案】
(1) $AB// CD$得证；
(2) $\frac{EG^2}{CE^2}=\frac{AG}{AC}$得证。
【知识点】
相似三角形判定与性质、平行线的判定、平行线分线段成比例
【点评】
本题是几何综合证明题，解题核心是充分利用平行线的性质得到相似三角形，结合已知比例条件做合理的等量代换，考查了几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
