8. 新趋势学科内综合 如图，已知直线$y=-\frac{1}{2}x+2$与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上有一点C（不与点A重合），使以B，O，C三点构成的三角形与△AOB相似，则点C的坐标为。

8. $(-1,0)$或$(1,0)$或$(-4,0)$
【点拨】$\because$直线$y=-\frac{1}{2}x+2$与x轴交于点A，与y轴交于点B，$\therefore A(4,0)$，$B(0,2)$。当$△AOB∽△BOC$时，$\frac{OA}{OB}=\frac{OB}{OC}$，即$\frac{4}{2}=\frac{2}{OC}$，解得$OC=1$，$\therefore C(-1,0)$或$(1,0)$。当$△AOB∽△COB$时，易得$OC=4$。$\because$点C不与点A重合，$\therefore C(-4,0)$。综上所述，点C的坐标为$(-1,0)$或$(1,0)$或$(-4,0)$。

9. 如图,在$4×4$的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,E为BD与正方形网格线的交点,下列结论正确的是 ()

A.$CE≠\frac{1}{2}BD$
B.$△ ABC ≌ △ CBD$
C.$AC=CD$
D.$∠ ABC=∠ CBD$

9. D
【点拨】如图所示，作$△BFE$与$△BGD$。易知$BC=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，$CD=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$BD=\sqrt{3^2+4^2}=5$，由$EF// GD$，易得$△BFE∽△BGD$，
$\therefore \frac{EF}{DG}=\frac{BF}{BG}$，即$\frac{EF}{3}=\frac{2}{4}$，解得$EF=1.5$。$\therefore CE=CF-EF=4-1.5=2.5$。$\therefore \frac{CE}{BD}=\frac{2.5}{5}=\frac{1}{2}$，即$CE=\frac{1}{2}BD$，故选项A错误。显然$△ABC$和$△CBD$不全等，故选项B错误。$\because AC=2,CD=\sqrt{5}$，$\therefore AC≠CD$，故选项C错误。$\because \frac{AB}{BC}=\frac{AC}{CD}=\frac{BC}{BD}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\therefore △BAC∽△BCD$。$\therefore ∠ABC=∠CBD$，故选项D正确。

10. 新考法分类讨论法 已知两个直角三角形的三边长分别为3,4,m和6,8,n,且这两个直角三角形不相似,则$m+n$的值为.

10. $5+2\sqrt{7}$或$10+\sqrt{7}$
【点拨】当3,4为直角边长，6,8也为直角边长时，两个三角形相似，不合题意；当三边长分别为$3,4,\sqrt{7}$和$6,8,2\sqrt{7}$时，两个三角形相似，不合题意；当3,4为直角边长，8为另一个直角三角形的斜边长时，$m=5$，$n=\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{7}$，此时两个三角形不相似，因此$m+n=5+2\sqrt{7}$；当6,8为直角边长，4为另一个直角三角形的斜边长时，$n=10$，$m=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$，此时两个三角形不相似，因此$m+n=10+\sqrt{7}$。综上，$m+n$的值为$5+2\sqrt{7}$或$10+\sqrt{7}$。

11. [郑州实验中学期中] 如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC=20 cm，BC=30 cm，点P从点B出发沿BA以4 cm/s的速度向点A运动；同时点Q从点C出发沿CB以3 cm/s的速度向点B运动，在运动过程中，当△BPQ与△AQC相似时，BP= cm.

11. $\frac{40}{9}$或20
【点拨】设运动时间为$x\ \mathrm{s}$，当$△BPQ∽△CQA$时，有$\frac{BP}{CQ}=\frac{BQ}{AC}$，即$\frac{4x}{3x}=\frac{30-3x}{20}$，解得$x=\frac{10}{9}$或$x=0$(舍去)，$\therefore BP=4x=\frac{40}{9}$；当$△BPQ∽△CAQ$时，有$\frac{BP}{AC}=\frac{QB}{CQ}$，即$\frac{4x}{20}=\frac{30-3x}{3x}$，解得$x=5$或$x=-10$(舍去)，$\therefore BP=4x=20$。综上所述，当$△BPQ$与$△AQC$相似时，$BP=\frac{40}{9}\ \mathrm{cm}$或$20\ \mathrm{cm}$。

12. 新视角操作实践题 如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，$△ ABC$和$△ DEF$的顶点都在方格纸的格点上.
(1)判断$△ ABC$和$△ DEF$是否相似，并说明理由；
(2)点$P_1,P_2,P_3,P_4,P_5,D,F$是$△ DEF$边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与$△ ABC$相似(在图中连结相应线段，写出所有符合条件的三角形，并说明理由).

12. 【解】(1)$△ABC$和$△DEF$相似.理由如下：
由题图易得$AB=2\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{5}$，$BC=5$，$ED=4\sqrt{2}$，$DF=2\sqrt{2}$，$EF=2\sqrt{10}$，
$\therefore \frac{AC}{DF}=\frac{AB}{ED}=\frac{BC}{EF}=\frac{\sqrt{10}}{4}$。$\therefore △ABC∽△DEF$。
(2)如图，$△DP_5P_2$，$△FP_4P_5$，$△DFP_1$，$△DP_2P_4$，$△DP_4P_5$，$△P_2P_4P_5$和$△ABC$相似。
理由：对于$△DP_5P_2$，由图易知$AC=\sqrt{5}$，$AB=\sqrt{20}$，$BC=\sqrt{25}$，$DP_5=\sqrt{2}$，$DP_2=\sqrt{8}$，$P_2P_5=\sqrt{10}$，
$\because \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{10}}$，$\therefore △ACB∽△DP_5P_2$。
同理可得$△FP_4P_5$，$△DFP_1$，$△DP_2P_4$，$△DP_4P_5$和$△ABC$相似。

13. 新考法 等线段代换法 如图①，$△ ABC$和$△ ADE$是等边三角形，连结$DC$，点$F$，$G$，$H$分别是$DE$，$DC$和$BC$的中点，连结$FG$，$FH$. 易证：$FH=\sqrt{3}FG$.
若$△ ABC$和$△ ADE$都是等腰直角三角形，且$∠ BAC=∠ DAE=90°$，如图②；若$△ ABC$和$△ ADE$都是等腰三角形，且$∠ BAC=∠ DAE=120°$，如图③，其他条件不变，判断$FH$和$FG$之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②、图③进行证明.

13. 【解】①当$∠BAC=∠DAE=90°$时，$FH=\sqrt{2}FG$。
证明：如图①，连结$AH,CE,AF$。
$\because △ABC$和$△ADE$都是等腰直角三角形，且$∠BAC=∠DAE=90°$，$F,H$分别是$DE,BC$的中点，
$\therefore AH⊥ BC$，$AF⊥ DE$，$AH=CH=\frac{1}{2}BC$，$AF=EF=\frac{1}{2}DE$。$\therefore ∠CAH=∠EAF=45°$。
$\therefore ∠HAF=∠EAC$。易得$\frac{AH}{AC}=\frac{AF}{AE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
$\therefore △AHF∽△ACE$。$\therefore \frac{FH}{EC}=\frac{AH}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。$\therefore CE=\sqrt{2}FH$。
$\because F,G$分别是$DE,DC$的中点，$\therefore CE=2FG$。
$\therefore FH=\sqrt{2}FG$。
②当$∠BAC=∠DAE=120°$时，$FH=FG$。
证明：如图②，连结$AH,CE,AF$。
$\because △ABC$和$△ADE$都是等腰三角形，且$∠BAC=∠DAE=120°$，$\therefore ∠AED=∠ADE=∠ACB=∠B=30°$。
$\because F,H$分别是$DE,BC$的中点，
$\therefore AH⊥ BC$，$AF⊥ DE$，$∠CAH=∠EAF=\frac{1}{2}×120°=60°$。
$\therefore ∠HAF=∠EAC$，$\frac{AH}{AC}=\frac{AF}{AE}=\frac{1}{2}$。
$\therefore △AHF∽△ACE$。$\therefore \frac{FH}{EC}=\frac{AH}{AC}=\frac{1}{2}$。$\therefore CE=2FH$。
$\because F,G$分别是$DE,DC$的中点，$\therefore CE=2FG$。$\therefore FH=FG$。