登录
1. 如图，判定$△ ACD ∽ △ ABC$需具备的条件是（
A.$\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{BC}$
B.$\frac{CD}{AD}=\frac{BC}{AC}$
C.$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$
D.$\frac{CD}{AD}=\frac{BD}{CD}$
C
）A.$\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{BC}$
B.$\frac{CD}{AD}=\frac{BC}{AC}$
C.$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$
D.$\frac{CD}{AD}=\frac{BD}{CD}$
答案
1. C
【点易错】如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角。
【点易错】如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角。
2. 如图,在等边三角形ABC中,点E是AB的中点,点D在AC上,且DC=2DA,则（
A.$△ AED ∽ △ BED$
B.$△ AED ∽ △ CBD$
C.$△ AED ∽ △ ABD$
D.$△ BAD ∽ △ BCD$
B
）A.$△ AED ∽ △ BED$
B.$△ AED ∽ △ CBD$
C.$△ AED ∽ △ ABD$
D.$△ BAD ∽ △ BCD$
答案
2. B
【点拨】$\because △ABC$为等边三角形，$\therefore ∠A=∠C=60°$，$AB=BC$。$\because$点E是AB的中点，$\therefore AB=2AE$，$\therefore BC=2AE$
$\because DC=2AD$，$\therefore \frac{AE}{CB}=\frac{AD}{CD}=\frac{1}{2}$。又$\because ∠A=∠C$，$\therefore △AED∽△CBD$。故选B。
【点拨】$\because △ABC$为等边三角形，$\therefore ∠A=∠C=60°$，$AB=BC$。$\because$点E是AB的中点，$\therefore AB=2AE$，$\therefore BC=2AE$
$\because DC=2AD$，$\therefore \frac{AE}{CB}=\frac{AD}{CD}=\frac{1}{2}$。又$\because ∠A=∠C$，$\therefore △AED∽△CBD$。故选B。
3. 如图,已知△ABC和△AED,边AB,DE交于点F,AD平分∠BAC,AF平分∠EAD,$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$.
(1)求证:△AED∽△ABC;
(2)若BD=3,BF=2,求AB的长.
(1)求证:△AED∽△ABC;
(2)若BD=3,BF=2,求AB的长.
答案
3. (1)【证明】$\because AD$平分$∠BAC$，$AF$平分$∠EAD$，
$\therefore ∠BAC=2∠BAD$，$∠EAD=2∠BAD$。
$\therefore ∠BAC=∠EAD$。
又$\because \frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$，$\therefore △AED∽△ABC$。
(2)【解】由(1)知$△AED∽△ABC$，
$\therefore ∠B=∠E$。又$\because ∠EFA=∠BFD$，
$\therefore ∠EAB=∠EDB$。
$\because ∠EAB=∠BAD$，$\therefore ∠EDB=∠BAD$。
又$\because ∠B=∠B$，$\therefore △BDF∽△BAD$。
$\therefore \frac{BD}{AB}=\frac{BF}{BD}$。$\therefore AB=\frac{BD^2}{BF}=\frac{3^2}{2}=\frac{9}{2}$。
$\therefore ∠BAC=2∠BAD$，$∠EAD=2∠BAD$。
$\therefore ∠BAC=∠EAD$。
又$\because \frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$，$\therefore △AED∽△ABC$。
(2)【解】由(1)知$△AED∽△ABC$，
$\therefore ∠B=∠E$。又$\because ∠EFA=∠BFD$，
$\therefore ∠EAB=∠EDB$。
$\because ∠EAB=∠BAD$，$\therefore ∠EDB=∠BAD$。
又$\because ∠B=∠B$，$\therefore △BDF∽△BAD$。
$\therefore \frac{BD}{AB}=\frac{BF}{BD}$。$\therefore AB=\frac{BD^2}{BF}=\frac{3^2}{2}=\frac{9}{2}$。
4. $△ ABC$ 和$△ DEF$ 满足下列条件,其中能使$△ ABC$与$△ DEF$相似的是（
A.$AB=c,AC=b,BC=a,DE=\sqrt{a},EF=\sqrt{b},DF=\sqrt{c}$
B.$AB=1,AC=1.5,BC=2,DE=12,EF=8,DF=10$
C.$AB=3,AC=4,BC=6,DE=12,EF=8,DF=6$
D.$AB=\sqrt{2},AC=\sqrt{3},BC=\sqrt{5},DE=\sqrt{6},EF=3,DF=3$
C
）A.$AB=c,AC=b,BC=a,DE=\sqrt{a},EF=\sqrt{b},DF=\sqrt{c}$
B.$AB=1,AC=1.5,BC=2,DE=12,EF=8,DF=10$
C.$AB=3,AC=4,BC=6,DE=12,EF=8,DF=6$
D.$AB=\sqrt{2},AC=\sqrt{3},BC=\sqrt{5},DE=\sqrt{6},EF=3,DF=3$
答案
4. C
5. 新考向传统文化 在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中,要使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似,根据“马走日”的规则,“马”应落在 (
A.①处
B.②处
C.③处
D.④处
B
)A.①处
B.②处
C.③处
D.④处
答案
5. B
【点拨】设各个小正方形的边长为1，由题图可得“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为$2,2\sqrt{5},4\sqrt{2}$，当“马”落在①处时，“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为$1,3,\sqrt{10}$
$\because$三边对应不成比例，$\therefore$①处不符合；当“马”落在②处时，“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为$1,\sqrt{5},2\sqrt{2}$。$\because \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}$，$\therefore$②处符合；当“马”落在③处时，“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为$1,\sqrt{13},2\sqrt{5}$。$\because$三边对应不成比例，$\therefore$③处不符合；当“马”落在④处时，“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为$1,5,\sqrt{34}$。$\because$三边对应不成比例，$\therefore$④处不符合，故选B。
【点规律】网格中判定相似三角形，一般是利用勾股定理计算三角形各边的长度，利用三边成比例判定两个三角形相似。
【点拨】设各个小正方形的边长为1，由题图可得“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为$2,2\sqrt{5},4\sqrt{2}$，当“马”落在①处时，“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为$1,3,\sqrt{10}$
$\because$三边对应不成比例，$\therefore$①处不符合；当“马”落在②处时，“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为$1,\sqrt{5},2\sqrt{2}$。$\because \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}$，$\therefore$②处符合；当“马”落在③处时，“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为$1,\sqrt{13},2\sqrt{5}$。$\because$三边对应不成比例，$\therefore$③处不符合；当“马”落在④处时，“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为$1,5,\sqrt{34}$。$\because$三边对应不成比例，$\therefore$④处不符合，故选B。
【点规律】网格中判定相似三角形，一般是利用勾股定理计算三角形各边的长度，利用三边成比例判定两个三角形相似。
6. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ACB = 90°$,点 D 在AC上.
(1)已知 $AC=4,BC=2,∠ CBD=∠ A$,求 BD 的长;
(2)取 AB,BD 的中点 E,F,连结 CE,EF,FC,求证: $△ CEF ∽ △ BAD$.
(1)已知 $AC=4,BC=2,∠ CBD=∠ A$,求 BD 的长;
(2)取 AB,BD 的中点 E,F,连结 CE,EF,FC,求证: $△ CEF ∽ △ BAD$.
答案
6. (1)【解】$\because ∠CBD=∠A$，$∠BCD=∠ACB$，
$\therefore △CBD∽△CAB$。$\therefore \frac{CD}{CB}=\frac{CB}{CA}$，即$\frac{CD}{2}=\frac{2}{4}$。
$\therefore CD=1$。$\therefore BD=\sqrt{CD^2+BC^2}=\sqrt{5}$。
(2)【证明】$\because E,F$分别是$AB,BD$的中点，
$\therefore$易得$CF=\frac{1}{2}BD$，$CE=\frac{1}{2}AB$，$EF=\frac{1}{2}AD$。
$\therefore \frac{CF}{BD}=\frac{EF}{AD}=\frac{CE}{AB}=\frac{1}{2}$。$\therefore △CEF∽△BAD$。
$\therefore △CBD∽△CAB$。$\therefore \frac{CD}{CB}=\frac{CB}{CA}$，即$\frac{CD}{2}=\frac{2}{4}$。
$\therefore CD=1$。$\therefore BD=\sqrt{CD^2+BC^2}=\sqrt{5}$。
(2)【证明】$\because E,F$分别是$AB,BD$的中点，
$\therefore$易得$CF=\frac{1}{2}BD$，$CE=\frac{1}{2}AB$，$EF=\frac{1}{2}AD$。
$\therefore \frac{CF}{BD}=\frac{EF}{AD}=\frac{CE}{AB}=\frac{1}{2}$。$\therefore △CEF∽△BAD$。
7. 情境题方案策略型 一个三角形木架的三边长分别是75 cm,100 cm,120 cm,现要再做一个与其相似的三角形木架,而只有长为60 cm和120 cm的两根木条.要求以其中一根为一边,从另一根截下两段作为另两边(允许有余料),则不同的截法有（
A.一种
B.两种
C.三种
D.四种
B
）A.一种
B.两种
C.三种
D.四种
答案
7. B
【点拨】长120 cm的木条与三角形木架的最长边相等，要满足两边之和大于第三边，则长120 cm的木条不能作为一边。设从长120 cm的木条上截下的两段长分别为$x\ \mathrm{cm},y\ \mathrm{cm}(x+y≤120,x＜y)$，当长60 cm的木条与75 cm的一边对应时，$\frac{x}{100}=\frac{y}{120}=\frac{60}{75}$，解得$x=80,y=96$，$x+y=176＞120$，不合题意；当长60 cm的木条与100 cm的一边对应时，$\frac{x}{75}=\frac{y}{120}=\frac{60}{100}$，解得$x=45,y=72$，$x+y=117＜120$，符合题意；当长60 cm的木条与120 cm的一边对应时，$\frac{x}{75}=\frac{y}{100}=\frac{60}{120}$，解得$x=37.5,y=50$，$x+y=87.5＜120$，符合题意。$\therefore$有两种不同的截法。
【点拨】长120 cm的木条与三角形木架的最长边相等，要满足两边之和大于第三边，则长120 cm的木条不能作为一边。设从长120 cm的木条上截下的两段长分别为$x\ \mathrm{cm},y\ \mathrm{cm}(x+y≤120,x＜y)$，当长60 cm的木条与75 cm的一边对应时，$\frac{x}{100}=\frac{y}{120}=\frac{60}{75}$，解得$x=80,y=96$，$x+y=176＞120$，不合题意；当长60 cm的木条与100 cm的一边对应时，$\frac{x}{75}=\frac{y}{120}=\frac{60}{100}$，解得$x=45,y=72$，$x+y=117＜120$，符合题意；当长60 cm的木条与120 cm的一边对应时，$\frac{x}{75}=\frac{y}{100}=\frac{60}{120}$，解得$x=37.5,y=50$，$x+y=87.5＜120$，符合题意。$\therefore$有两种不同的截法。
