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10. 宁波自主招生 新视角·新定义题 四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似，我们就把这条对角线称为这个四边形的“理想对角线”.
(1)如图①,在四边形ABCD中,∠ABC=70°,AB=AD,AD//BC,当∠ADC=145°时.求证:对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线”;
(2)如图②,在四边形ABCD中,CA平分∠BCD,当∠BCD与∠BAD满足什么关系时,对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”,请说明理由.
(1)如图①,在四边形ABCD中,∠ABC=70°,AB=AD,AD//BC,当∠ADC=145°时.求证:对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线”;
(2)如图②,在四边形ABCD中,CA平分∠BCD,当∠BCD与∠BAD满足什么关系时,对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”,请说明理由.
答案
10. (1)【证明】
∵AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB.
∵AD//BC,
∴∠ADB=∠DBC,
∴∠ABD=∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=35°.
∵易知∠ADC+∠C=180°,∠ADC=145°,
∴∠C=35°,
∴∠ADB=∠ABD=∠DBC=∠C=35°,
∴△ABD∽△DBC,
∴对角线 BD 是四边形 ABCD 的“理想对角线”.
(2)【解】当∠BAD+$\frac{1}{2}$∠BCD=180°时,对角线 AC 是四边形 ABCD 的“理想对角线”.
理由:
∵CA 平分∠BCD,
∴∠ACB=∠ACD.
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°,∠BAD+$\frac{1}{2}$∠BCD=∠BAC+∠CAD+∠ACB=180°,
∴∠DAC=∠B,
∴△ACB∽△DCA,
∴对角线 AC 是四边形 ABCD 的“理想对角线”.
∵AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB.
∵AD//BC,
∴∠ADB=∠DBC,
∴∠ABD=∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=35°.
∵易知∠ADC+∠C=180°,∠ADC=145°,
∴∠C=35°,
∴∠ADB=∠ABD=∠DBC=∠C=35°,
∴△ABD∽△DBC,
∴对角线 BD 是四边形 ABCD 的“理想对角线”.
(2)【解】当∠BAD+$\frac{1}{2}$∠BCD=180°时,对角线 AC 是四边形 ABCD 的“理想对角线”.
理由:
∵CA 平分∠BCD,
∴∠ACB=∠ACD.
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°,∠BAD+$\frac{1}{2}$∠BCD=∠BAC+∠CAD+∠ACB=180°,
∴∠DAC=∠B,
∴△ACB∽△DCA,
∴对角线 AC 是四边形 ABCD 的“理想对角线”.
11. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=8$,$BC=12$,点$P$,$Q$分别在$AB$,$BC$边上,且$∠ AQP=∠ B$.
(1)求证:$△ BQP ∽ △ CAQ$;
(2)若$BP=4.5$,求$∠ BPQ$的度数;
(3)若在$BC$边上存在两个点$Q$,满足$∠ AQP=∠ B$,求$BP$长的取值范围.
(1)求证:$△ BQP ∽ △ CAQ$;
(2)若$BP=4.5$,求$∠ BPQ$的度数;
(3)若在$BC$边上存在两个点$Q$,满足$∠ AQP=∠ B$,求$BP$长的取值范围.
答案
11. (1)【证明】
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵∠AQP=∠B.
∴∠AQP=∠C.
又
∵∠AQB=∠AQP+∠PQB,∠AQB=∠CAQ+∠C,
∴∠PQB=∠CAQ.
∴△BQP∽△CAQ.
(2)【解】
∵△BQP∽△CAQ,
∴$\frac{BQ}{AC}$=$\frac{BP}{CQ}$.
∴$\frac{BQ}{8}$=$\frac{4.5}{12-BQ}$,
∴BQ=6.
∵BC=12,
∴BQ=CQ=6.
又
∵AB=AC,
∴AQ⊥BC,
∴∠CQA=90°.
∵△BQP∽△CAQ,
∴∠BPQ=∠CQA=90°.
(3)【解】设 BQ=x,BP=m.
∵$\frac{BQ}{AC}$=$\frac{BP}{CQ}$,
∴$\frac{x}{8}$=$\frac{m}{12-x}$,整理得$x^2-12x+8m=0$.
∵在 BC 边上存在两个点 Q,
∴方程$x^2-12x+8m=0$有两个不相等的正实数根,
∴Δ=$12^2-32m＞0$,解得$m＜\frac{9}{2}$,
∴BP 长的取值范围为$0＜BP＜\frac{9}{2}$.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵∠AQP=∠B.
∴∠AQP=∠C.
又
∵∠AQB=∠AQP+∠PQB,∠AQB=∠CAQ+∠C,
∴∠PQB=∠CAQ.
∴△BQP∽△CAQ.
(2)【解】
∵△BQP∽△CAQ,
∴$\frac{BQ}{AC}$=$\frac{BP}{CQ}$.
∴$\frac{BQ}{8}$=$\frac{4.5}{12-BQ}$,
∴BQ=6.
∵BC=12,
∴BQ=CQ=6.
又
∵AB=AC,
∴AQ⊥BC,
∴∠CQA=90°.
∵△BQP∽△CAQ,
∴∠BPQ=∠CQA=90°.
(3)【解】设 BQ=x,BP=m.
∵$\frac{BQ}{AC}$=$\frac{BP}{CQ}$,
∴$\frac{x}{8}$=$\frac{m}{12-x}$,整理得$x^2-12x+8m=0$.
∵在 BC 边上存在两个点 Q,
∴方程$x^2-12x+8m=0$有两个不相等的正实数根,
∴Δ=$12^2-32m＞0$,解得$m＜\frac{9}{2}$,
∴BP 长的取值范围为$0＜BP＜\frac{9}{2}$.
12. 新视角动点探究题 如图,在$△ ABC$中,$AC=8$,$BC=12$,$∠ BAC=2∠ B$.点P是BC边上一点,点C关于AP的对称点恰好落在AB边上的点D处.
(1)求证:$△ PAC ∽ △ ABC$;
(2)求线段AB的长;
(3)已知Q是AD上一个动点,将$△ BPQ$沿直线PQ折叠得$△ EPQ$,$EP$与线段AQ相交于点F(折叠后再展开).若$m≤ \frac{FQ}{FP}≤ n$,求$m+n$的值.
(1)求证:$△ PAC ∽ △ ABC$;
(2)求线段AB的长;
(3)已知Q是AD上一个动点,将$△ BPQ$沿直线PQ折叠得$△ EPQ$,$EP$与线段AQ相交于点F(折叠后再展开).若$m≤ \frac{FQ}{FP}≤ n$,求$m+n$的值.
答案
12. (1)【证明】
∵点 C 与点 D 关于 AP 对称，
∴∠CAP=∠DAP. 又
∵∠BAC=2∠B，
∴∠B=∠CAP=∠BAP.
∵∠C=∠C,
∴△PAC∽△ABC.
(2)【解】由(1)知,△PAC∽△ABC,
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{PC}{AC}$=$\frac{PA}{AB}$,
∴$\frac{8}{12}$=$\frac{PC}{8}$=$\frac{PA}{AB}$,
∴PC=$\frac{16}{3}$,AB=$\frac{3}{2}$PA.
∵∠BAP=∠B,
∴AP=BP,
∴AP=BP=BC-PC=$\frac{20}{3}$,
∴AB=$\frac{3}{2}$PA=10.
(3)【解】如图,由题可知,△BPQ≌△EPQ,
∴BQ=EQ,∠E=∠B=∠BAP.
又
∵∠EFQ=∠AFP,
∴△EFQ∽△AFP.
∴$\frac{FQ}{PF}$=$\frac{EQ}{PA}$.
设 DQ=x ,则易得 BQ=EQ=2+x ,
∴$\frac{FQ}{PF}$=$\frac{2+x}{\frac{20}{3}}$=$\frac{3}{10}$+$\frac{3x}{20}$.
∵Q 是 AD 上一个动点,将△BPQ 沿直线 PQ 折叠得△EPQ,EP 与线段 AQ 相交于点 F,
∴当 PQ⊥AB 时,点 E 与 A 重合,易得此时 x=3,
∴0≤x≤3,
∴m=$\frac{3}{10}$,n=$\frac{3}{4}$,
∴m+n=$\frac{21}{20}$.
