16 新情境 参加遥控赛车游戏 小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）.已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会相互干扰，$AC=40$米，$AB=30$米.
（1）出发3秒时，遥控信号是否会相互干扰？
（2）当两赛车距点A的距离之和为35米时，遥控信号是否会相互干扰？
（第16题）

16. (1)如图,出发3秒时,$CC_1=12$米,$BB_1=9$米.
$\because AC=40$米,$AB=30$米,$\therefore AC_1=28$米,$AB_1=21$米,
$\therefore B_1C_1^2=28^2+21^2=1225$,则$B_1C_1=35$米$＞25$米,$\therefore$出发3秒时,遥控信号不会相互干扰.
(2)设出发$t$秒时,两赛车距点$A$的距离之和为35米.
由题意,得$40-4t+30-3t=35$,解得$t=5$,
此时$AC_1^2+AB_1^2=20^2+15^2=625$,$\therefore C_1B_1=25$米.
故当两赛车距点$A$的距离之和为35米时,遥控信号将会相互干扰.

17 传统文化 《数书九章》（2023·南京中考）我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步，欲知为田几何？”问题大意：如图，在$△ ABC$中，$AB=13$里，$BC=14$里，$AC=15$里，则$△ ABC$的面积是（）.

A.80平方里
B.82平方里
C.84平方里
D.86平方里

17.C
[解析]如图,过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$.
设$BD=x$里,则$CD=(14-x)$里.
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$AD^2=13^2-x^2$,
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中,$AD^2=15^2-(14-x)^2$,$\therefore 13^2-x^2=15^2-(14-x)^2$,
解得$x=5$.
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$AD^2=13^2-5^2=144$,
$\therefore AD=12$里,$\therefore △ ABC$的面积$=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}×14×12=84$(平方里).故选C.
归纳总结 本题考查了三角形面积、勾股定理,解决本题的关键在于利用两个直角三角形的公共边找到突破点.

18 (2025·江苏无锡江阴期中)如图,长方体的底面边长分别为3 cm 和9 cm,高为7 cm.若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q,则蚂蚁爬行的最短路径长为().

A.20 cm
B.22 cm
C.24 cm
D.25 cm

18.D
[解析]长方体侧面展开图如图所示.
由题意,得$PA=9+9+3+3=24(\mathrm{cm})$,$QA=7\ \mathrm{cm}$.
在$\mathrm{Rt}△ PQA$中,$PQ^2=PA^2+QA^2=24^2+7^2=625$,所以$PQ=25\ \mathrm{cm}$.故选D.

19（2025·江苏盐城东台期中）如图，已知等腰三角形ABC的底边BC=5，D是腰AB上一点，且CD=4，BD=3，则AD的长为。

19. $\frac{7}{6}$

20（2025·江苏扬州江都区期中）如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，点$E$在$AC$上，$CE=5$，$BC=13$，$BE=12$。
（1）判断$△ ABE$的形状，并说明理由；
（2）求线段$AB$的长。

20. (1)$△ ABE$是直角三角形.理由如下:
在$△ BCE$中,$BE^2+EC^2=12^2+5^2=13^2=BC^2$,
$\therefore △ BCE$是以$BC$为斜边的直角三角形,$\therefore ∠ BEC=90°$,$\therefore ∠ AEB=90°$,$\therefore △ ABE$是直角三角形.
(2)设$AB=x$,则$AE=x-5$,在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,由勾股定理,得$x^2=12^2+(x-5)^2$,解得$x=16.9$.故线段$AB$的长为16.9.