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例 如图2.3.1，点A，B在反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象上，分别过A，B两点向x轴、y轴作垂线段，已知$S=\frac{6}{5}$，求$S_1+S_2$的值。
答案
$\frac{18}{5}$
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点，分别向x轴、y轴作垂线段，所得矩形的面积等于$\left|k\right|$。本题中k=3，因此点A、B对应的两个大矩形面积均为3。观察图形可知，$S_1$与阴影面积$S$的和为第一个大矩形的面积，$S_2$与阴影面积$S$的和为第二个大矩形的面积，因此可先分别用$S$表示出$S_1$和$S_2$，再代入$S$的值计算$S_1+S_2$即可。
【解析】
根据反比例函数$y=\frac{k}{x}$的几何意义可得：
过点A作坐标轴垂线形成的矩形面积为$\left|k\right|=3$，即$S_1 + S = 3$；
过点B作坐标轴垂线形成的矩形面积为$\left|k\right|=3$，即$S_2 + S = 3$。
由此可得$S_1=3-S$，$S_2=3-S$。
已知$S=\frac{6}{5}$，代入得：
$S_1+S_2=(3-\frac{6}{5})+(3-\frac{6}{5})=6-\frac{12}{5}=\frac{18}{5}$
【答案】
$\frac{18}{5}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义；面积和差计算
【点评】
本题是反比例函数几何意义的典型应用考题，解题核心是熟练掌握反比例函数中k的几何意义，结合图形的面积和差关系即可快速求解，解题时要注意观察图形各部分面积的组成关系，避免混淆。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点，分别向x轴、y轴作垂线段，所得矩形的面积等于$\left|k\right|$。本题中k=3，因此点A、B对应的两个大矩形面积均为3。观察图形可知，$S_1$与阴影面积$S$的和为第一个大矩形的面积，$S_2$与阴影面积$S$的和为第二个大矩形的面积，因此可先分别用$S$表示出$S_1$和$S_2$，再代入$S$的值计算$S_1+S_2$即可。
【解析】
根据反比例函数$y=\frac{k}{x}$的几何意义可得：
过点A作坐标轴垂线形成的矩形面积为$\left|k\right|=3$，即$S_1 + S = 3$；
过点B作坐标轴垂线形成的矩形面积为$\left|k\right|=3$，即$S_2 + S = 3$。
由此可得$S_1=3-S$，$S_2=3-S$。
已知$S=\frac{6}{5}$，代入得：
$S_1+S_2=(3-\frac{6}{5})+(3-\frac{6}{5})=6-\frac{12}{5}=\frac{18}{5}$
【答案】
$\frac{18}{5}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义；面积和差计算
【点评】
本题是反比例函数几何意义的典型应用考题，解题核心是熟练掌握反比例函数中k的几何意义，结合图形的面积和差关系即可快速求解，解题时要注意观察图形各部分面积的组成关系，避免混淆。
【难度系数】
0.7
1. 如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高$y$ cm是关于物距（小孔到蜡烛的距离）$x$ cm的反比例函数，当$x=6$时，$y=2$，若火焰的像高为3 cm，则小孔到蜡烛的距离为 （
A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.12 cm
（第1题）
C
）A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.12 cm
（第1题）答案
1.C
解析
【分析】
题目明确说明火焰的像高y是物距x的反比例函数，解题时首先利用反比例函数的一般形式设出函数解析式，再将已知的x=6、y=2代入解析式，用待定系数法求出比例系数k，得到完整的函数表达式，最后将y=3代入解析式，求解对应的x值即可得到小孔到蜡烛的距离。
【解析】
设y与x的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$，$x＞0$）。
将$x=6$，$y=2$代入解析式，得：
$2=\frac{k}{6}$，解得$k=12$，
因此y与x的函数解析式为$y=\frac{12}{x}$。
当火焰的像高$y=3$时，代入解析式得：
$3=\frac{12}{x}$，解得$x=4$，
即小孔到蜡烛的距离为4 cm。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数应用；待定系数法；解分式方程
【点评】
本题结合小孔成像的物理原理考查反比例函数的实际应用，属于基础题型，解题的核心是掌握用待定系数法求反比例函数解析式的方法，再代入已知量求解未知量即可。
【难度系数】
0.8
题目明确说明火焰的像高y是物距x的反比例函数，解题时首先利用反比例函数的一般形式设出函数解析式，再将已知的x=6、y=2代入解析式，用待定系数法求出比例系数k，得到完整的函数表达式，最后将y=3代入解析式，求解对应的x值即可得到小孔到蜡烛的距离。
【解析】
设y与x的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$，$x＞0$）。
将$x=6$，$y=2$代入解析式，得：
$2=\frac{k}{6}$，解得$k=12$，
因此y与x的函数解析式为$y=\frac{12}{x}$。
当火焰的像高$y=3$时，代入解析式得：
$3=\frac{12}{x}$，解得$x=4$，
即小孔到蜡烛的距离为4 cm。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数应用；待定系数法；解分式方程
【点评】
本题结合小孔成像的物理原理考查反比例函数的实际应用，属于基础题型，解题的核心是掌握用待定系数法求反比例函数解析式的方法，再代入已知量求解未知量即可。
【难度系数】
0.8
2. 如图，点P在反比例函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$的图象上，且横坐标为2.若将点P先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得的点记为Q，则在第一象限内，经过点Q的反比例函数的表达式是（
A.$y=\frac{5}{x}(x＞0)$
B.$y=-\frac{5}{x}(x＞0)$
C.$y=\frac{10}{x}(x＞0)$
D.$y=-\frac{10}{x}(x＞0)$
C
）A.$y=\frac{5}{x}(x＞0)$
B.$y=-\frac{5}{x}(x＞0)$
C.$y=\frac{10}{x}(x＞0)$
D.$y=-\frac{10}{x}(x＞0)$
答案
2.C
解析
【分析】
解题可分三步进行：第一步先求出点P的坐标，已知点P在反比例函数$y=\frac{1}{x}$上且横坐标为2，将横坐标代入函数解析式即可得到点P的纵坐标；第二步根据点的平移规则计算平移后点Q的坐标，平移遵循“横坐标右加左减、纵坐标上加下减”的规律；第三步利用待定系数法求经过点Q的反比例函数表达式，结合第一象限的取值范围排除错误选项即可得到答案。
【解析】
1. 求点P的坐标：
已知点P在反比例函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$的图象上，且横坐标为2，将$x=2$代入$y=\frac{1}{x}$，得$y=\frac{1}{2}$，因此点P的坐标为$(2,\frac{1}{2})$。
2. 求平移后点Q的坐标：
点P向右平移2个单位长度，横坐标变为$2+2=4$；再向上平移2个单位长度，纵坐标变为$\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$，因此点Q的坐标为$(4,\frac{5}{2})$。
3. 求过点Q的反比例函数表达式：
设经过点Q的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$，将$Q(4,\frac{5}{2})$代入解析式得：
$\frac{5}{2}=\frac{k}{4}$
解得$k=4×\frac{5}{2}=10$，因此该反比例函数的表达式为$y=\frac{10}{x}(x＞0)$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数点的坐标特征；点的平移规律；待定系数法求解析式
【点评】
本题属于反比例函数基础题型，结合点的平移规律考察反比例函数解析式的求解，解题关键是准确计算平移后点的坐标，熟练掌握待定系数法的应用步骤。
【难度系数】
0.8
解题可分三步进行：第一步先求出点P的坐标，已知点P在反比例函数$y=\frac{1}{x}$上且横坐标为2，将横坐标代入函数解析式即可得到点P的纵坐标；第二步根据点的平移规则计算平移后点Q的坐标，平移遵循“横坐标右加左减、纵坐标上加下减”的规律；第三步利用待定系数法求经过点Q的反比例函数表达式，结合第一象限的取值范围排除错误选项即可得到答案。
【解析】
1. 求点P的坐标：
已知点P在反比例函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$的图象上，且横坐标为2，将$x=2$代入$y=\frac{1}{x}$，得$y=\frac{1}{2}$，因此点P的坐标为$(2,\frac{1}{2})$。
2. 求平移后点Q的坐标：
点P向右平移2个单位长度，横坐标变为$2+2=4$；再向上平移2个单位长度，纵坐标变为$\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$，因此点Q的坐标为$(4,\frac{5}{2})$。
3. 求过点Q的反比例函数表达式：
设经过点Q的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$，将$Q(4,\frac{5}{2})$代入解析式得：
$\frac{5}{2}=\frac{k}{4}$
解得$k=4×\frac{5}{2}=10$，因此该反比例函数的表达式为$y=\frac{10}{x}(x＞0)$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数点的坐标特征；点的平移规律；待定系数法求解析式
【点评】
本题属于反比例函数基础题型，结合点的平移规律考察反比例函数解析式的求解，解题关键是准确计算平移后点的坐标，熟练掌握待定系数法的应用步骤。
【难度系数】
0.8
3. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p kPa和气体的体积V m³存在一定的函数关系.下表是几组气体的气压p与气体的体积V的对应值，则当气体的体积V为0.8 m³时，气体的气压p最接近（
A.120
B.100
C.96
D.90
A
）A.120
B.100
C.96
D.90
答案
3.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先结合数据规律判断函数类型：观察表格中p和V的对应值，可发现二者乘积为定值，符合反比例函数的特征。解题步骤如下：第一步，设出反比例函数的一般形式；第二步，选取表格中任意一组p、V的对应值代入，求出反比例系数k，得到完整的函数解析式；第三步，将V=0.8代入解析式求出p的值，对比选项选出最接近的结果即可。
【解析】
解：由表格数据可知，气压p和体积V成反比例函数关系，设函数解析式为$p=\frac{k}{V}$（$k≠0$，$V＞0$）。
选取表格中第一组数据$V=3\ \mathrm{m}^3$，$p=32\ \mathrm{kPa}$代入解析式：
$32=\frac{k}{3}$，解得$k=3×32=96$。
验证其余数据：$2×48=96$，$1×96=96$，$0.5×192=96$，均满足乘积为96，因此函数解析式为$p=\frac{96}{V}$。
当$V=0.8\ \mathrm{m}^3$时，代入得$p=\frac{96}{0.8}=120\ \mathrm{kPa}$，即气压最接近120 kPa。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数应用；待定系数法求解析式；函数值计算
【点评】
本题是反比例函数在实际生活中的简单应用，解题的核心是通过表格数据判断出两个变量的反比例关系，求出解析式后代入计算即可，侧重对基础应用能力的考察。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先结合数据规律判断函数类型：观察表格中p和V的对应值，可发现二者乘积为定值，符合反比例函数的特征。解题步骤如下：第一步，设出反比例函数的一般形式；第二步，选取表格中任意一组p、V的对应值代入，求出反比例系数k，得到完整的函数解析式；第三步，将V=0.8代入解析式求出p的值，对比选项选出最接近的结果即可。
【解析】
解：由表格数据可知，气压p和体积V成反比例函数关系，设函数解析式为$p=\frac{k}{V}$（$k≠0$，$V＞0$）。
选取表格中第一组数据$V=3\ \mathrm{m}^3$，$p=32\ \mathrm{kPa}$代入解析式：
$32=\frac{k}{3}$，解得$k=3×32=96$。
验证其余数据：$2×48=96$，$1×96=96$，$0.5×192=96$，均满足乘积为96，因此函数解析式为$p=\frac{96}{V}$。
当$V=0.8\ \mathrm{m}^3$时，代入得$p=\frac{96}{0.8}=120\ \mathrm{kPa}$，即气压最接近120 kPa。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数应用；待定系数法求解析式；函数值计算
【点评】
本题是反比例函数在实际生活中的简单应用，解题的核心是通过表格数据判断出两个变量的反比例关系，求出解析式后代入计算即可，侧重对基础应用能力的考察。
【难度系数】
0.8
