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4. 要制作一个面积为12 m²的矩形广告牌，其长y m与宽x m的函数关系是
$y=\frac{12}{x}(x＞0)$
；若广告牌的长要求大于3 m，则宽x应满足$0＜x＜4$
。答案
4.$y=\frac{12}{x}(x＞0),0＜x＜4$
解析
【分析】
首先根据矩形面积公式找到长、宽和面积的等量关系，变形即可得到长与宽的函数表达式，注意结合实际意义确定自变量x的取值范围；再根据长大于3m的限制条件，将函数表达式代入列不等式，结合x的实际意义求解即可得到宽的取值范围。
【解析】
1. 求长y与宽x的函数关系：
根据矩形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，已知面积为$12\ \mathrm{m}^2$，可得$x· y=12$，
变形得$y=\frac{12}{x}$，
由于矩形的宽是正数，因此$x＞0$，故函数关系为$y=\frac{12}{x}(x＞0)$。
2. 求宽x的取值范围：
已知长要求大于$3\ \mathrm{m}$，即$y＞3$，将$y=\frac{12}{x}$代入得：
$\frac{12}{x}＞3$，
$\because x$是矩形的宽，$\therefore x＞0$，不等式两边同时乘$x$，不等号方向不变，得$12＞3x$，
解得$x＜4$，结合$x＞0$，可得$0＜x＜4$。
【答案】
$y=\frac{12}{x}(x＞0),0＜x＜4$
【知识点】
反比例函数的实际应用；矩形面积公式；解一元一次不等式
【点评】
本题是反比例函数应用的基础题型，解题关键是结合实际意义确定自变量的取值范围，避免忽略实际限制导致取值范围出错。
【难度系数】
0.8
首先根据矩形面积公式找到长、宽和面积的等量关系，变形即可得到长与宽的函数表达式，注意结合实际意义确定自变量x的取值范围；再根据长大于3m的限制条件，将函数表达式代入列不等式，结合x的实际意义求解即可得到宽的取值范围。
【解析】
1. 求长y与宽x的函数关系：
根据矩形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，已知面积为$12\ \mathrm{m}^2$，可得$x· y=12$，
变形得$y=\frac{12}{x}$，
由于矩形的宽是正数，因此$x＞0$，故函数关系为$y=\frac{12}{x}(x＞0)$。
2. 求宽x的取值范围：
已知长要求大于$3\ \mathrm{m}$，即$y＞3$，将$y=\frac{12}{x}$代入得：
$\frac{12}{x}＞3$，
$\because x$是矩形的宽，$\therefore x＞0$，不等式两边同时乘$x$，不等号方向不变，得$12＞3x$，
解得$x＜4$，结合$x＞0$，可得$0＜x＜4$。
【答案】
$y=\frac{12}{x}(x＞0),0＜x＜4$
【知识点】
反比例函数的实际应用；矩形面积公式；解一元一次不等式
【点评】
本题是反比例函数应用的基础题型，解题关键是结合实际意义确定自变量的取值范围，避免忽略实际限制导致取值范围出错。
【难度系数】
0.8
5. 如图,在平面直角坐标系中,正方形的中心在原点O,且正方形的一组对边与x轴平行,点P(2a,a)是反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象与正方形的一个交点.已知图中阴影部分的面积等于8,则这个反比例函数的表达式为
$y=\frac{4}{x}$
.答案
5.$y=\frac{4}{x}$
解析
【分析】
解题时首先利用反比例函数和正方形均关于原点中心对称的性质，可将两块阴影部分的面积转化为正方形在第一象限部分的面积；再根据点P在正方形的边上，确定第一象限内小正方形的边长为2a，结合阴影面积为8列方程求出a²的值；最后将点P坐标代入反比例函数表达式，即可求出k的值，得到反比例函数解析式。
【解析】
1. 由正方形中心在原点，反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象关于原点中心对称，可得第三象限的阴影部分与第一象限内反比例函数下方的空白部分全等，因此阴影部分总面积等于正方形在第一象限部分的面积。
2. 因为正方形的一组对边与x轴平行，点$P(2a,a)$在正方形的右边界上，所以正方形在第一象限部分是边长为$2a$的正方形，其面积为$(2a)^2=4a^2$。
3. 已知阴影部分面积为8，因此有$4a^2=8$，解得$a^2=2$。
4. 把点$P(2a,a)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$k=2a· a=2a^2$，将$a^2=2$代入得$k=2×2=4$。
5. 因此该反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}$。
【答案】
$y=\frac{4}{x}$
【知识点】
反比例函数的性质，中心对称的性质，正方形的性质
【点评】
本题属于反比例函数与几何图形结合的综合题，解题核心是运用中心对称的性质将分散的阴影面积转化为规则的小正方形面积，再结合反比例函数上点的坐标特征求解，较好地考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用反比例函数和正方形均关于原点中心对称的性质，可将两块阴影部分的面积转化为正方形在第一象限部分的面积；再根据点P在正方形的边上，确定第一象限内小正方形的边长为2a，结合阴影面积为8列方程求出a²的值；最后将点P坐标代入反比例函数表达式，即可求出k的值，得到反比例函数解析式。
【解析】
1. 由正方形中心在原点，反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象关于原点中心对称，可得第三象限的阴影部分与第一象限内反比例函数下方的空白部分全等，因此阴影部分总面积等于正方形在第一象限部分的面积。
2. 因为正方形的一组对边与x轴平行，点$P(2a,a)$在正方形的右边界上，所以正方形在第一象限部分是边长为$2a$的正方形，其面积为$(2a)^2=4a^2$。
3. 已知阴影部分面积为8，因此有$4a^2=8$，解得$a^2=2$。
4. 把点$P(2a,a)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$k=2a· a=2a^2$，将$a^2=2$代入得$k=2×2=4$。
5. 因此该反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}$。
【答案】
$y=\frac{4}{x}$
【知识点】
反比例函数的性质，中心对称的性质，正方形的性质
【点评】
本题属于反比例函数与几何图形结合的综合题，解题核心是运用中心对称的性质将分散的阴影面积转化为规则的小正方形面积，再结合反比例函数上点的坐标特征求解，较好地考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
6. 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，以 80 km/h 的平均速度用 6 h 到达目的地.
（1）当他按原路匀速返回时，求汽车速度 v km/h 与时间 t h 之间的函数表达式.
（2）若返回时，司机全程走高速公路，且匀速行驶，根据规定：最高车速不得超过120 km/h，最低车速不得低于 60 km/h，求返程时间的范围.
（1）当他按原路匀速返回时，求汽车速度 v km/h 与时间 t h 之间的函数表达式.
（2）若返回时，司机全程走高速公路，且匀速行驶，根据规定：最高车速不得超过120 km/h，最低车速不得低于 60 km/h，求返程时间的范围.
答案
6. (1) $v=\frac{480}{t}$ (2) $4≤ t≤ 8$
解析
【分析】
解题思路如下：（1）首先根据行程问题中“路程=速度×时间”的公式，先计算出甲乙两地的总路程，返程时路程不变，由此可建立速度v和时间t的等量关系，整理即可得到函数表达式；（2）已知返程速度的取值范围，结合第一问得到的v与t的函数关系，将速度范围转化为关于时间t的不等式，结合时间t为正数的实际意义求解不等式，就能得到返程时间的范围。
【解析】
（1）首先计算甲乙两地的路程：
由题意得，甲地到乙地的路程 $s = v_1t_1 = 80\mathrm{km/h} × 6\mathrm{h} = 480\mathrm{km}$
返程时路程不变，故满足 $v · t = 480$，整理得汽车速度v与时间t的函数表达式为：$v = \frac{480}{t}$（$t＞0$）
（2）已知返程速度满足 $60\mathrm{km/h} ≤ v ≤ 120\mathrm{km/h}$，将 $v = \frac{480}{t}$ 代入速度范围得：
$60 ≤ \frac{480}{t} ≤ 120$
由于时间 $t＞0$，不等式两边同时乘$t$，不等号方向不变：
左边不等式：$60t ≤ 480$，解得 $t ≤ 8$
右边不等式：$480 ≤ 120t$，解得 $t ≥ 4$
综上，返程时间的范围为 $4 ≤ t ≤ 8$
【答案】
(1) $v=\frac{480}{t}$；(2) $4≤ t≤ 8$
【知识点】
反比例函数的应用，一元一次不等式的求解，行程问题公式
【点评】
本题是反比例函数在行程问题中的实际应用，核心突破口是抓住往返路程不变的等量关系，求解变量范围时要注意结合实际意义确定变量的正负，属于基础应用型题目，对巩固反比例函数的实际运用有较好的作用。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：（1）首先根据行程问题中“路程=速度×时间”的公式，先计算出甲乙两地的总路程，返程时路程不变，由此可建立速度v和时间t的等量关系，整理即可得到函数表达式；（2）已知返程速度的取值范围，结合第一问得到的v与t的函数关系，将速度范围转化为关于时间t的不等式，结合时间t为正数的实际意义求解不等式，就能得到返程时间的范围。
【解析】
（1）首先计算甲乙两地的路程：
由题意得，甲地到乙地的路程 $s = v_1t_1 = 80\mathrm{km/h} × 6\mathrm{h} = 480\mathrm{km}$
返程时路程不变，故满足 $v · t = 480$，整理得汽车速度v与时间t的函数表达式为：$v = \frac{480}{t}$（$t＞0$）
（2）已知返程速度满足 $60\mathrm{km/h} ≤ v ≤ 120\mathrm{km/h}$，将 $v = \frac{480}{t}$ 代入速度范围得：
$60 ≤ \frac{480}{t} ≤ 120$
由于时间 $t＞0$，不等式两边同时乘$t$，不等号方向不变：
左边不等式：$60t ≤ 480$，解得 $t ≤ 8$
右边不等式：$480 ≤ 120t$，解得 $t ≥ 4$
综上，返程时间的范围为 $4 ≤ t ≤ 8$
【答案】
(1) $v=\frac{480}{t}$；(2) $4≤ t≤ 8$
【知识点】
反比例函数的应用，一元一次不等式的求解，行程问题公式
【点评】
本题是反比例函数在行程问题中的实际应用，核心突破口是抓住往返路程不变的等量关系，求解变量范围时要注意结合实际意义确定变量的正负，属于基础应用型题目，对巩固反比例函数的实际运用有较好的作用。
【难度系数】
0.8
7. 当导体两端的电压$U$保持不变时,通过导体的电流$I\ \mathrm{A}$与导体的电阻$R\ \Omega$满足关系$I=\frac{U}{R}$.实验中,当$R=10\ \Omega$时,$I=0.6\ \mathrm{A}$.
(1) 写出$I$关于$R$的函数表达式;
(2) 利用$I$关于$R$的函数表达式,说明当电阻增大为原来的$n(n＞1)$倍时,通过导体的电流将如何变化.
(1) 写出$I$关于$R$的函数表达式;
(2) 利用$I$关于$R$的函数表达式,说明当电阻增大为原来的$n(n＞1)$倍时,通过导体的电流将如何变化.
答案
7. (1) $I=\frac{6}{R}(R＞0)$ (2) 电流变为原来的$\frac{1}{n}$
解析
【分析】
(1) 题目给出电流I与电阻R的关系为反比例形式$I=\frac{U}{R}$，已知一组R、I的对应值，我们可通过待定系数法，将已知值代入关系式求出定值U，再结合电阻的实际意义确定自变量R的取值范围，即可得到I关于R的函数表达式。
(2) 要分析电阻变为原来n倍时电流的变化，可分别表示出原电阻和n倍原电阻对应的电流，通过作比即可得到电流的变化规律。
【解析】
(1) 把$R=10\ \Omega$，$I=0.6\ \mathrm{A}$代入$I=\frac{U}{R}$，可得：
$0.6=\frac{U}{10}$
解得$U=0.6×10=6$，即电压U为定值6。
因为导体电阻R为正数，因此I关于R的函数表达式为$I=\frac{6}{R}\ (R＞0)$。
(2) 设原电阻为$R_0$，对应电流为$I_1=\frac{6}{R_0}$。
当电阻增大为原来的n倍时，新电阻为$nR_0$，对应电流$I_2=\frac{6}{nR_0}$。
对两个电流作比：$\frac{I_2}{I_1}=\frac{\frac{6}{nR_0}}{\frac{6}{R_0}}=\frac{1}{n}$，即$I_2=\frac{1}{n}I_1$。
【答案】
(1) $I=\frac{6}{R}(R＞0)$ (2) 电流变为原来的$\frac{1}{n}$
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 反比例函数的性质
3. 反比例函数实际应用
【点评】
本题结合物理电学场景考查反比例函数的基础应用，既考查了待定系数法求函数解析式的基本方法，也要求能结合函数性质分析变量变化规律，是跨学科结合的基础题型，能有效巩固反比例函数的核心基础知识。
【难度系数】
0.8
(1) 题目给出电流I与电阻R的关系为反比例形式$I=\frac{U}{R}$，已知一组R、I的对应值，我们可通过待定系数法，将已知值代入关系式求出定值U，再结合电阻的实际意义确定自变量R的取值范围，即可得到I关于R的函数表达式。
(2) 要分析电阻变为原来n倍时电流的变化，可分别表示出原电阻和n倍原电阻对应的电流，通过作比即可得到电流的变化规律。
【解析】
(1) 把$R=10\ \Omega$，$I=0.6\ \mathrm{A}$代入$I=\frac{U}{R}$，可得：
$0.6=\frac{U}{10}$
解得$U=0.6×10=6$，即电压U为定值6。
因为导体电阻R为正数，因此I关于R的函数表达式为$I=\frac{6}{R}\ (R＞0)$。
(2) 设原电阻为$R_0$，对应电流为$I_1=\frac{6}{R_0}$。
当电阻增大为原来的n倍时，新电阻为$nR_0$，对应电流$I_2=\frac{6}{nR_0}$。
对两个电流作比：$\frac{I_2}{I_1}=\frac{\frac{6}{nR_0}}{\frac{6}{R_0}}=\frac{1}{n}$，即$I_2=\frac{1}{n}I_1$。
【答案】
(1) $I=\frac{6}{R}(R＞0)$ (2) 电流变为原来的$\frac{1}{n}$
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 反比例函数的性质
3. 反比例函数实际应用
【点评】
本题结合物理电学场景考查反比例函数的基础应用，既考查了待定系数法求函数解析式的基本方法，也要求能结合函数性质分析变量变化规律，是跨学科结合的基础题型，能有效巩固反比例函数的核心基础知识。
【难度系数】
0.8
8. 给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压$p$ kPa是气体体积$V$ m³的反比例函数，其图象如图所示。当气球内的气压超过150 kPa时，气球会爆炸。若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式$V=\frac{4}{3}π r^3$，π取3）。
答案
8. 气球的半径至少为 0.2 m 时，气球不会爆炸
解析
【分析】
本题是反比例函数的实际应用问题，解题思路如下：①先根据“p是V的反比例函数”设出函数解析式，结合图像给出的V=0.04m³时p=120kPa的已知条件，用待定系数法求出反比例函数的常数k，得到p与V的函数关系式；②根据“气压不超过150kPa时气球不会爆炸”的条件，列出关于V的不等式，求解得到气球体积的最小值；③将体积最小值代入球体体积公式，计算得到气球半径的最小值即可。
【解析】
解：设气球内气体气压p与体积V的函数解析式为$p=\frac{k}{V}$（$k≠0,V＞0$）。
将$V=0.04$，$p=120$代入解析式，得：
$120=\frac{k}{0.04}$，解得$k=120×0.04=4.8$，
因此p与V的函数关系式为$p=\frac{4.8}{V}$。
气球不会爆炸需满足$p≤150$，代入得：
$\frac{4.8}{V}≤150$，
$\because V＞0$，不等式两边同乘V不等号方向不变，
$\therefore 4.8≤150V$，解得$V≥\frac{4.8}{150}=0.032\ \mathrm{m}^3$。
根据球体体积公式$V=\frac{4}{3}π r^3$，$π$取3，代入$V≥0.032$得：
$\frac{4}{3}×3× r^3≥0.032$，
化简得$4r^3≥0.032$，即$r^3≥0.008$，
开立方得$r≥0.2$。
【答案】
气球的半径至少为 0.2 m 时，气球不会爆炸
【知识点】
反比例函数应用、待定系数法求解析式、球体体积计算
【点评】
本题结合生活情境考查反比例函数的实际应用，需要学生结合图像信息确定函数解析式，再结合不等式和几何体积公式求解临界值，解题时需注意自变量的实际取值范围，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
本题是反比例函数的实际应用问题，解题思路如下：①先根据“p是V的反比例函数”设出函数解析式，结合图像给出的V=0.04m³时p=120kPa的已知条件，用待定系数法求出反比例函数的常数k，得到p与V的函数关系式；②根据“气压不超过150kPa时气球不会爆炸”的条件，列出关于V的不等式，求解得到气球体积的最小值；③将体积最小值代入球体体积公式，计算得到气球半径的最小值即可。
【解析】
解：设气球内气体气压p与体积V的函数解析式为$p=\frac{k}{V}$（$k≠0,V＞0$）。
将$V=0.04$，$p=120$代入解析式，得：
$120=\frac{k}{0.04}$，解得$k=120×0.04=4.8$，
因此p与V的函数关系式为$p=\frac{4.8}{V}$。
气球不会爆炸需满足$p≤150$，代入得：
$\frac{4.8}{V}≤150$，
$\because V＞0$，不等式两边同乘V不等号方向不变，
$\therefore 4.8≤150V$，解得$V≥\frac{4.8}{150}=0.032\ \mathrm{m}^3$。
根据球体体积公式$V=\frac{4}{3}π r^3$，$π$取3，代入$V≥0.032$得：
$\frac{4}{3}×3× r^3≥0.032$，
化简得$4r^3≥0.032$，即$r^3≥0.008$，
开立方得$r≥0.2$。
【答案】
气球的半径至少为 0.2 m 时，气球不会爆炸
【知识点】
反比例函数应用、待定系数法求解析式、球体体积计算
【点评】
本题结合生活情境考查反比例函数的实际应用，需要学生结合图像信息确定函数解析式，再结合不等式和几何体积公式求解临界值，解题时需注意自变量的实际取值范围，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
