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例 某市环保部门对一企业排污情况进行检测,结果显示:所排污水中硫化物的浓度超标,即硫化物的浓度超过标准上限1.0 mg/L.环保部门要求该企业立即整改,在15天内(含15天)排污达标.整改过程中,所排污水中硫化物的浓度y mg/L与时间x天的变化规律如图2.3.2所示,其中线段AB表示前3天的变化规律,第3天时硫化物的浓度降为4 mg/L.从第3天起,所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下表中的关系:
(1) 在整改过程中,当$0≤ x＜3$时,写出硫化物的浓度$y$关于时间$x$的函数表达式.
(2) 在整改过程中,当$x≥3$时,写出硫化物的浓度$y$关于时间$x$的函数表达式.
(3) 按照上述规律,该企业能否在15天内整改达标?为什么?
(1) 在整改过程中,当$0≤ x＜3$时,写出硫化物的浓度$y$关于时间$x$的函数表达式.
(2) 在整改过程中,当$x≥3$时,写出硫化物的浓度$y$关于时间$x$的函数表达式.
(3) 按照上述规律,该企业能否在15天内整改达标?为什么?
答案
(1) $y=-2x+10$ (2) $y=\frac{12}{x}$ (3) 能,理由略
解析
【分析】
本题是分段函数的实际应用问题，解题思路如下：
(1) 当$0≤ x＜3$时，函数为一次函数，已知线段AB过初始点$(0,10)$和第3天对应的点$(3,4)$，用待定系数法代入一次函数一般式$y=kx+b$即可求解；
(2) 当$x≥3$时，浓度$y$与时间$x$成反比例关系，设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$，将$x=3、y=4$代入求出$k$值即可得到函数表达式；
(3) 要判断能否在15天内达标，可将$x=15$代入$x≥3$对应的函数式，计算$y$值与标准上限$1.0mg/L$比较，或令$y=1$求出对应$x$值，再与15比较大小即可。
【解析】
(1) 当$0≤ x＜3$时，设$y$关于$x$的函数表达式为$y=kx+b\ (k≠0)$。
由题意得函数过点$(0,10)$和$(3,4)$，将$(0,10)$代入得$b=10$；
再将$(3,4)$、$b=10$代入得$4=3k+10$，解得$k=-2$。
因此该段函数表达式为$y=-2x+10\ (0≤ x＜3)$。
(2) 当$x≥3$时，设$y$关于$x$的函数表达式为$y=\frac{k}{x}\ (k≠0)$。
将$x=3$、$y=4$代入得$4=\frac{k}{3}$，解得$k=12$。
因此该段函数表达式为$y=\frac{12}{x}\ (x≥3)$。
(3) 该企业能在15天内整改达标，理由：
当$x=15$时，代入$y=\frac{12}{x}$得$y=\frac{12}{15}=0.8$，$0.8＜1.0$，即第15天时硫化物浓度低于标准上限，符合达标要求。
【答案】
(1) $y=-2x+10$
(2) $y=\frac{12}{x}$
(3) 能
【知识点】
一次函数解析式求解，反比例函数解析式求解，反比例函数实际应用
【点评】
本题结合环保整改的实际场景，考查分段函数的应用，需要学生根据不同区间的函数特征选择对应的函数模型，用待定系数法求解解析式，再结合实际问题的限制条件判断结果，注重对函数基础知识和实际应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
本题是分段函数的实际应用问题，解题思路如下：
(1) 当$0≤ x＜3$时，函数为一次函数，已知线段AB过初始点$(0,10)$和第3天对应的点$(3,4)$，用待定系数法代入一次函数一般式$y=kx+b$即可求解；
(2) 当$x≥3$时，浓度$y$与时间$x$成反比例关系，设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$，将$x=3、y=4$代入求出$k$值即可得到函数表达式；
(3) 要判断能否在15天内达标，可将$x=15$代入$x≥3$对应的函数式，计算$y$值与标准上限$1.0mg/L$比较，或令$y=1$求出对应$x$值，再与15比较大小即可。
【解析】
(1) 当$0≤ x＜3$时，设$y$关于$x$的函数表达式为$y=kx+b\ (k≠0)$。
由题意得函数过点$(0,10)$和$(3,4)$，将$(0,10)$代入得$b=10$；
再将$(3,4)$、$b=10$代入得$4=3k+10$，解得$k=-2$。
因此该段函数表达式为$y=-2x+10\ (0≤ x＜3)$。
(2) 当$x≥3$时，设$y$关于$x$的函数表达式为$y=\frac{k}{x}\ (k≠0)$。
将$x=3$、$y=4$代入得$4=\frac{k}{3}$，解得$k=12$。
因此该段函数表达式为$y=\frac{12}{x}\ (x≥3)$。
(3) 该企业能在15天内整改达标，理由：
当$x=15$时，代入$y=\frac{12}{x}$得$y=\frac{12}{15}=0.8$，$0.8＜1.0$，即第15天时硫化物浓度低于标准上限，符合达标要求。
【答案】
(1) $y=-2x+10$
(2) $y=\frac{12}{x}$
(3) 能
【知识点】
一次函数解析式求解，反比例函数解析式求解，反比例函数实际应用
【点评】
本题结合环保整改的实际场景，考查分段函数的应用，需要学生根据不同区间的函数特征选择对应的函数模型，用待定系数法求解解析式，再结合实际问题的限制条件判断结果，注重对函数基础知识和实际应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
1. 如图，A，B是反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象上关于原点对称的任意两点，BC//x轴，AC//y轴，△ABC的面积记为S，则（
A.$S=1$
B.$1＜S＜2$
C.$S=2$
D.$S＞2$
C
）A.$S=1$
B.$1＜S＜2$
C.$S=2$
D.$S＞2$
答案
1. C
解析
【分析】
解题时我们可以先利用反比例函数解析式设出点A的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征得到点B的坐标，结合BC//x轴、AC//y轴的条件确定点C的坐标，进而求出直角边AC、BC的长度，最后利用直角三角形面积公式计算即可得到△ABC的面积。
【解析】
设点A的坐标为$(a,\frac{1}{a})$（$a＞0$，A在第一象限），
∵A、B是反比例函数图象上关于原点对称的点，
∴点B的坐标为$(-a,-\frac{1}{a})$，
又
∵BC//x轴，AC//y轴，
∴点C的横坐标与A相同，纵坐标与B相同，即$C(a,-\frac{1}{a})$，
由此可得：$AC=\frac{1}{a}-(-\frac{1}{a})=\frac{2}{a}$，$BC=a-(-a)=2a$，
且AC⊥BC（AC平行y轴，BC平行x轴，坐标轴互相垂直），
∴$△ ABC$的面积$S=\frac{1}{2} × AC × BC=\frac{1}{2} × \frac{2}{a} × 2a = 2$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质，中心对称的坐标特征，直角三角形面积计算
【点评】
本题属于反比例函数与几何结合的基础题型，通过设点坐标的方法可以将几何线段长度转化为坐标差计算，避免复杂的几何推导，是解决这类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以先利用反比例函数解析式设出点A的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征得到点B的坐标，结合BC//x轴、AC//y轴的条件确定点C的坐标，进而求出直角边AC、BC的长度，最后利用直角三角形面积公式计算即可得到△ABC的面积。
【解析】
设点A的坐标为$(a,\frac{1}{a})$（$a＞0$，A在第一象限），
∵A、B是反比例函数图象上关于原点对称的点，
∴点B的坐标为$(-a,-\frac{1}{a})$，
又
∵BC//x轴，AC//y轴，
∴点C的横坐标与A相同，纵坐标与B相同，即$C(a,-\frac{1}{a})$，
由此可得：$AC=\frac{1}{a}-(-\frac{1}{a})=\frac{2}{a}$，$BC=a-(-a)=2a$，
且AC⊥BC（AC平行y轴，BC平行x轴，坐标轴互相垂直），
∴$△ ABC$的面积$S=\frac{1}{2} × AC × BC=\frac{1}{2} × \frac{2}{a} × 2a = 2$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质，中心对称的坐标特征，直角三角形面积计算
【点评】
本题属于反比例函数与几何结合的基础题型，通过设点坐标的方法可以将几何线段长度转化为坐标差计算，避免复杂的几何推导，是解决这类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
2. 某中学数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为150 cm²的矩形学具进行展示.设矩形的宽为x cm,长为y cm,此矩形学具长y cm与宽x cm之间的函数关系的图象大致是 (
B
)答案
2. B
解析
【分析】
首先根据矩形面积公式推导长与宽的函数关系式，明确函数类型为反比例函数；其次结合实际意义，矩形的长和宽均为正数，因此自变量x的取值范围是x＞0，函数值y＞0，图象只能位于第一象限；最后结合反比例函数的图象特征（双曲线，平滑曲线，无限接近坐标轴但不与坐标轴相交），逐一排除不符合的选项即可。
【解析】
已知矩形面积为150cm²，宽为x cm，长为y cm，根据矩形面积公式可得：
$x· y=150$，变形得$y=\frac{150}{x}$，属于反比例函数。
由于长和宽均为正数，因此$x＞0$，$y＞0$，故该函数图象是反比例函数$y=\frac{150}{x}$在第一象限的分支：
选项A图象位于第二象限，x为负数，不符合实际，排除；
选项C是直线，属于一次函数图象，不符合反比例函数的图象特征，排除；
选项D的图象与x轴相交，而反比例函数$y=\frac{150}{x}$的函数值不可能为0，不符合特征，排除；
只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象；实际问题的函数取值范围
【点评】
本题将反比例函数与实际问题结合，重点考查函数图象的识别，解题的核心是先推导函数解析式，再结合实际意义确定自变量的取值范围，不能脱离实际只看函数本身的性质。
【难度系数】
0.8
首先根据矩形面积公式推导长与宽的函数关系式，明确函数类型为反比例函数；其次结合实际意义，矩形的长和宽均为正数，因此自变量x的取值范围是x＞0，函数值y＞0，图象只能位于第一象限；最后结合反比例函数的图象特征（双曲线，平滑曲线，无限接近坐标轴但不与坐标轴相交），逐一排除不符合的选项即可。
【解析】
已知矩形面积为150cm²，宽为x cm，长为y cm，根据矩形面积公式可得：
$x· y=150$，变形得$y=\frac{150}{x}$，属于反比例函数。
由于长和宽均为正数，因此$x＞0$，$y＞0$，故该函数图象是反比例函数$y=\frac{150}{x}$在第一象限的分支：
选项A图象位于第二象限，x为负数，不符合实际，排除；
选项C是直线，属于一次函数图象，不符合反比例函数的图象特征，排除；
选项D的图象与x轴相交，而反比例函数$y=\frac{150}{x}$的函数值不可能为0，不符合特征，排除；
只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象；实际问题的函数取值范围
【点评】
本题将反比例函数与实际问题结合，重点考查函数图象的识别，解题的核心是先推导函数解析式，再结合实际意义确定自变量的取值范围，不能脱离实际只看函数本身的性质。
【难度系数】
0.8
