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3. 验光师检测发现近视眼镜的度数y度与镜片焦距x m成反比例，y关于x的函数图象如图所示.经过一段时间的矫正治疗后，小丽的镜片焦距由0.25 m调整到0.5 m，则近视眼镜的度数减少了（
A.100
B.150
C.200
D.250
C
）A.100
B.150
C.200
D.250
答案
3. C
解析
【分析】
首先根据题意明确近视眼镜度数y与镜片焦距x成反比例，因此可先设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$；其次观察函数图象可得图象过点$(0.2,500)$，将该点代入解析式即可求出k的值，得到完整的函数解析式；最后分别将$x=0.25$和$x=0.5$代入解析式，求出对应两个焦距下的眼镜度数，计算二者的差值就是度数减少的量。
【解析】
解：设y关于x的反比例函数解析式为$ y = \frac{k}{x} $（$ k ≠ 0, x＞0 $）。
由函数图象可知，当$ x=0.2 $时，$ y=500 $，代入解析式得：
$ 500 = \frac{k}{0.2} $，解得$ k=0.2 × 500 = 100 $，
因此函数解析式为$ y = \frac{100}{x} $。
当$ x=0.25 $时，$ y_1 = \frac{100}{0.25} = 400 $（度）；
当$ x=0.5 $时，$ y_2 = \frac{100}{0.5} = 200 $（度）。
则度数减少了$ 400 - 200 = 200 $（度）。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合生活中的近视眼镜度数问题考查反比例函数的应用，解题核心是先利用图象上的已知点求出函数解析式，再代入自变量求解对应函数值，贴合生活实际，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
首先根据题意明确近视眼镜度数y与镜片焦距x成反比例，因此可先设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$；其次观察函数图象可得图象过点$(0.2,500)$，将该点代入解析式即可求出k的值，得到完整的函数解析式；最后分别将$x=0.25$和$x=0.5$代入解析式，求出对应两个焦距下的眼镜度数，计算二者的差值就是度数减少的量。
【解析】
解：设y关于x的反比例函数解析式为$ y = \frac{k}{x} $（$ k ≠ 0, x＞0 $）。
由函数图象可知，当$ x=0.2 $时，$ y=500 $，代入解析式得：
$ 500 = \frac{k}{0.2} $，解得$ k=0.2 × 500 = 100 $，
因此函数解析式为$ y = \frac{100}{x} $。
当$ x=0.25 $时，$ y_1 = \frac{100}{0.25} = 400 $（度）；
当$ x=0.5 $时，$ y_2 = \frac{100}{0.5} = 200 $（度）。
则度数减少了$ 400 - 200 = 200 $（度）。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合生活中的近视眼镜度数问题考查反比例函数的应用，解题核心是先利用图象上的已知点求出函数解析式，再代入自变量求解对应函数值，贴合生活实际，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
4. 若梯形的下底长为$x$，上底长为下底长的$\frac{1}{4}$，高为$y$，面积为40，则$y$关于$x$的函数表达式是
$y=\frac{64}{x}$
（不要求写出$x$的取值范围）。答案
$y=\frac{64}{x}$
解析
【分析】
解题时首先要明确题目中各量的数量关系：首先根据上底与下底的关系表示出上底长度，再结合梯形面积公式建立包含x、y的等量关系，最后通过等式变形将y单独放在等号一侧，即可得到y关于x的函数表达式。
【解析】
解：由题意可知，梯形的上底长为$\frac{1}{4}x$。
根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$，已知面积$S=40$，高为$y$，代入各量得：
$40=\frac{1}{2}×(x+\frac{1}{4}x)× y$
先化简括号内的代数式：$x+\frac{1}{4}x=\frac{5}{4}x$，代入上式得：
$40=\frac{1}{2}×\frac{5}{4}x× y$
计算系数：$\frac{1}{2}×\frac{5}{4}=\frac{5}{8}$，则式子变为：
$40=\frac{5}{8}xy$
等式两边同时乘以8得：$320=5xy$，
等式两边同时除以$5x$，得：
$y=\frac{64}{x}$
【答案】
$y=\frac{64}{x}$
【知识点】
梯形面积公式；反比例函数解析式；等式变形
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查对梯形面积公式的运用能力以及根据等量关系推导函数表达式的能力，解题时只要理清各数量之间的对应关系，代入公式后正确化简即可得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确题目中各量的数量关系：首先根据上底与下底的关系表示出上底长度，再结合梯形面积公式建立包含x、y的等量关系，最后通过等式变形将y单独放在等号一侧，即可得到y关于x的函数表达式。
【解析】
解：由题意可知，梯形的上底长为$\frac{1}{4}x$。
根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$，已知面积$S=40$，高为$y$，代入各量得：
$40=\frac{1}{2}×(x+\frac{1}{4}x)× y$
先化简括号内的代数式：$x+\frac{1}{4}x=\frac{5}{4}x$，代入上式得：
$40=\frac{1}{2}×\frac{5}{4}x× y$
计算系数：$\frac{1}{2}×\frac{5}{4}=\frac{5}{8}$，则式子变为：
$40=\frac{5}{8}xy$
等式两边同时乘以8得：$320=5xy$，
等式两边同时除以$5x$，得：
$y=\frac{64}{x}$
【答案】
$y=\frac{64}{x}$
【知识点】
梯形面积公式；反比例函数解析式；等式变形
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查对梯形面积公式的运用能力以及根据等量关系推导函数表达式的能力，解题时只要理清各数量之间的对应关系，代入公式后正确化简即可得出结果。
【难度系数】
0.8
5. 如图是某个反比例函数的图象的一部分,点$A(1,10),B(10,1)$是该图象的端点.
(1) 求此函数的表达式,并写出自变量$x$的取值范围;
(2) 请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例.
(1) 求此函数的表达式,并写出自变量$x$的取值范围;
(2) 请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例.
答案
(1) $y=\frac{10}{x}（1≤x≤10）$ (2) 答案不唯一,已知矩形的面积为 10 m²,长、宽分别为 x,y,并且长 x 不小于1 m、不大于10 m,求 y 与 x 的函数表达式
解析
【分析】
（1）求解反比例函数表达式，首先回忆反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，已知函数图象经过点$A(1,10)$，将点的坐标代入一般式即可求出$k$的值，进而得到函数表达式；再结合图象的两个端点$A$、$B$的横坐标，即可确定自变量$x$的取值范围。
（2）反比例函数$y=\frac{10}{x}$的本质是两个变量$x$、$y$的乘积为定值10，只要举出生活中两个相关联的量乘积为10，且其中一个量的取值范围在1到10之间的实例即可。
【解析】
(1) 设该反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将点$A(1,10)$代入表达式，得$10=\frac{k}{1}$，解得$k=10$，
因此函数的表达式为$y=\frac{10}{x}$。
又因为函数图象的端点为$A(1,10)$、$B(10,1)$，所以自变量$x$的取值范围是$1≤ x≤10$。
(2) 只要实例符合两个变量乘积为10，且其中一个变量的取值范围为$1≤ x≤10$即可，例如矩形面积为10时的长和宽的关系、路程为10时的速度和时间的关系等。
【答案】
(1) $y=\frac{10}{x}（1≤x≤10）$
(2) 示例：已知矩形的面积为$10\ \mathrm{m}^2$，长、宽分别为$x,y$，并且长$x$不小于1 m、不大于10 m，求$y$与$x$的函数表达式（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，自变量取值范围确定，反比例函数实际应用
【点评】
本题侧重考查反比例函数的基础内容，既要求掌握求函数解析式、确定自变量范围的基本方法，也要求能结合反比例函数的特征联系实际场景，整体比较基础。
【难度系数】
0.8
（1）求解反比例函数表达式，首先回忆反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，已知函数图象经过点$A(1,10)$，将点的坐标代入一般式即可求出$k$的值，进而得到函数表达式；再结合图象的两个端点$A$、$B$的横坐标，即可确定自变量$x$的取值范围。
（2）反比例函数$y=\frac{10}{x}$的本质是两个变量$x$、$y$的乘积为定值10，只要举出生活中两个相关联的量乘积为10，且其中一个量的取值范围在1到10之间的实例即可。
【解析】
(1) 设该反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将点$A(1,10)$代入表达式，得$10=\frac{k}{1}$，解得$k=10$，
因此函数的表达式为$y=\frac{10}{x}$。
又因为函数图象的端点为$A(1,10)$、$B(10,1)$，所以自变量$x$的取值范围是$1≤ x≤10$。
(2) 只要实例符合两个变量乘积为10，且其中一个变量的取值范围为$1≤ x≤10$即可，例如矩形面积为10时的长和宽的关系、路程为10时的速度和时间的关系等。
【答案】
(1) $y=\frac{10}{x}（1≤x≤10）$
(2) 示例：已知矩形的面积为$10\ \mathrm{m}^2$，长、宽分别为$x,y$，并且长$x$不小于1 m、不大于10 m，求$y$与$x$的函数表达式（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，自变量取值范围确定，反比例函数实际应用
【点评】
本题侧重考查反比例函数的基础内容，既要求掌握求函数解析式、确定自变量范围的基本方法，也要求能结合反比例函数的特征联系实际场景，整体比较基础。
【难度系数】
0.8
6. 某综合实践小组的学生借助自制的密度计，对不同液体的密度进行测量，当该密度计在各类液体中处于悬浮状态时，浸在液体中的高度h cm是液体的密度ρ g/cm³的反比例函数，其图象如图所示(ρ＞0)，下列说法正确的是 (
A.当ρ≥1时，h≥10
B.当0＜ρ≤12.5时，h≥0.8
C.当ρ=2时，h=20
D.当0＜ρ≤1时，h≤10
B
)A.当ρ≥1时，h≥10
B.当0＜ρ≤12.5时，h≥0.8
C.当ρ=2时，h=20
D.当0＜ρ≤1时，h≤10
答案
6. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先根据题意明确h是ρ的反比例函数，第一步先用待定系数法求出反比例函数的解析式：先设反比例函数的一般形式，再代入图象上的已知点(1,10)求出比例系数，得到h和ρ的函数关系；第二步结合反比例函数的增减性，逐个验证各选项的说法是否正确。
【解析】
设h与ρ的反比例函数解析式为$ h=\frac{k}{\rho} $（$ k≠0，\rho＞0 $），
由函数图象过点$(1,10)$，将$\rho=1，h=10$代入解析式得：
$ 10=\frac{k}{1} $，解得$ k=10 $，
因此函数解析式为$ h=\frac{10}{\rho} $（$\rho＞0$）。
接下来逐一判断选项：
选项A：反比例函数$ h=\frac{10}{\rho} $中，$ k=10＞0 $，当$\rho＞0$时，h随ρ的增大而减小，因此当$\rho≥1$时，$ h≤10 $，A错误；
选项B：当$\rho=12.5$时，$ h=\frac{10}{12.5}=0.8 $，结合h随ρ的增大而减小的性质，当$0＜\rho≤12.5$时，$ h≥0.8 $，B正确；
选项C：当$\rho=2$时，$ h=\frac{10}{2}=5 ≠ 20 $，C错误；
选项D：结合h随ρ的增大而减小的性质，当$0＜\rho≤1$时，$ h≥10 $，D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合密度计测量液体密度的实际场景考查反比例函数的应用，解题核心是先求出函数解析式，再利用反比例函数的增减性分析不同取值范围下两个变量的对应关系，考查学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先根据题意明确h是ρ的反比例函数，第一步先用待定系数法求出反比例函数的解析式：先设反比例函数的一般形式，再代入图象上的已知点(1,10)求出比例系数，得到h和ρ的函数关系；第二步结合反比例函数的增减性，逐个验证各选项的说法是否正确。
【解析】
设h与ρ的反比例函数解析式为$ h=\frac{k}{\rho} $（$ k≠0，\rho＞0 $），
由函数图象过点$(1,10)$，将$\rho=1，h=10$代入解析式得：
$ 10=\frac{k}{1} $，解得$ k=10 $，
因此函数解析式为$ h=\frac{10}{\rho} $（$\rho＞0$）。
接下来逐一判断选项：
选项A：反比例函数$ h=\frac{10}{\rho} $中，$ k=10＞0 $，当$\rho＞0$时，h随ρ的增大而减小，因此当$\rho≥1$时，$ h≤10 $，A错误；
选项B：当$\rho=12.5$时，$ h=\frac{10}{12.5}=0.8 $，结合h随ρ的增大而减小的性质，当$0＜\rho≤12.5$时，$ h≥0.8 $，B正确；
选项C：当$\rho=2$时，$ h=\frac{10}{2}=5 ≠ 20 $，C错误；
选项D：结合h随ρ的增大而减小的性质，当$0＜\rho≤1$时，$ h≥10 $，D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合密度计测量液体密度的实际场景考查反比例函数的应用，解题核心是先求出函数解析式，再利用反比例函数的增减性分析不同取值范围下两个变量的对应关系，考查学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
7. 心理学研究发现:学生听课注意力指标随上课时间的变化而变化.开始上课时,学生注意力集中,中间一段时间,学生的注意力保持平稳,随后开始分散.学生注意力指标值$y$随时间$x$ min变化的函数图象如图所示:当$0{≤}x{＜}10$和$10{≤}x{＜}20$时,图象分别是一条线段;当$20{≤}x{≤}45$时,图象是反比例函数图象的一部分.
(1) 求点$A$对应的注意力指标值.
(2) 张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要18 min,他能否通过适当的安排,使学生在听这道综合题的讲解时,注意力指标值不低于36?请说明理由.
(1) 求点$A$对应的注意力指标值.
(2) 张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要18 min,他能否通过适当的安排,使学生在听这道综合题的讲解时,注意力指标值不低于36?请说明理由.
答案
(1) 20 (2) 能.理由:AB 的函数表达式为$y=\frac{5}{2}x+20$,当$y=36$时,解得$x=\frac{32}{5}$.反比例函数的表达式为$y=\frac{900}{x}$,当$y=36$时,解得$x=25$.而$25-\frac{32}{5}=\frac{93}{5}＞18$,所以可以适当安排达到要求
解析
【分析】
(1) 要求点A的注意力指标值，首先利用20≤x≤45区间的反比例函数过点C(20,45)，先求出反比例函数解析式，再代入x=45得到点D的纵坐标，而点A和点D纵坐标相等，即可得到A点的指标值。
(2) 要判断能否安排18分钟的讲解使注意力不低于36，首先求出0≤x＜10区间的一次函数解析式，分别计算两个函数段中y=36对应的x值，两个x值的差即为注意力不低于36的最长连续时长，将该时长和18比较即可得出结论。
【解析】
(1) 设当$20≤ x≤45$时，反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
将点$C(20,45)$代入得：$45=\frac{k}{20}$，解得$k=900$，因此反比例函数解析式为$y=\frac{900}{x}$。
当$x=45$时，$y=\frac{900}{45}=20$，即点$D$的纵坐标为20。
由图可知点A与点D纵坐标相等，且A在y轴上，因此点A对应的注意力指标值为20。
(2) 先求AB段的函数解析式：设当$0≤ x＜10$时，一次函数解析式为$y=ax+b(a≠0)$。
将$A(0,20)$、$B(10,45)$代入得：$\begin{cases}b=20\\10a+b=45\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=\frac{5}{2}\\b=20\end{cases}$，因此AB段解析式为$y=\frac{5}{2}x+20(0≤ x＜10)$。
① 在AB段，当$y=36$时，$\frac{5}{2}x+20=36$，解得$x=\frac{32}{5}$。
② 在反比例函数段，当$y=36$时，$\frac{900}{x}=36$，解得$x=25$。
则注意力指标值不低于36的最长连续时长为$25-\frac{32}{5}=\frac{93}{5}=18.6\ \mathrm{min}$，因为$18.6＞18$，因此张老师可以适当安排讲解时间，满足要求。
【答案】
(1) $\boxed{20}$
(2) 能，理由见解析。
【知识点】
一次函数的应用，反比例函数的应用，分段函数应用
【点评】
本题结合实际情境考查一次函数与反比例函数的综合应用，解题关键是根据图象上的已知点求出不同区间的函数解析式，结合函数值求解对应的自变量范围，进而解决实际问题，解题时需注意分段函数的区间划分，避免代错解析式。
【难度系数】
0.65
(1) 要求点A的注意力指标值，首先利用20≤x≤45区间的反比例函数过点C(20,45)，先求出反比例函数解析式，再代入x=45得到点D的纵坐标，而点A和点D纵坐标相等，即可得到A点的指标值。
(2) 要判断能否安排18分钟的讲解使注意力不低于36，首先求出0≤x＜10区间的一次函数解析式，分别计算两个函数段中y=36对应的x值，两个x值的差即为注意力不低于36的最长连续时长，将该时长和18比较即可得出结论。
【解析】
(1) 设当$20≤ x≤45$时，反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
将点$C(20,45)$代入得：$45=\frac{k}{20}$，解得$k=900$，因此反比例函数解析式为$y=\frac{900}{x}$。
当$x=45$时，$y=\frac{900}{45}=20$，即点$D$的纵坐标为20。
由图可知点A与点D纵坐标相等，且A在y轴上，因此点A对应的注意力指标值为20。
(2) 先求AB段的函数解析式：设当$0≤ x＜10$时，一次函数解析式为$y=ax+b(a≠0)$。
将$A(0,20)$、$B(10,45)$代入得：$\begin{cases}b=20\\10a+b=45\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=\frac{5}{2}\\b=20\end{cases}$，因此AB段解析式为$y=\frac{5}{2}x+20(0≤ x＜10)$。
① 在AB段，当$y=36$时，$\frac{5}{2}x+20=36$，解得$x=\frac{32}{5}$。
② 在反比例函数段，当$y=36$时，$\frac{900}{x}=36$，解得$x=25$。
则注意力指标值不低于36的最长连续时长为$25-\frac{32}{5}=\frac{93}{5}=18.6\ \mathrm{min}$，因为$18.6＞18$，因此张老师可以适当安排讲解时间，满足要求。
【答案】
(1) $\boxed{20}$
(2) 能，理由见解析。
【知识点】
一次函数的应用，反比例函数的应用，分段函数应用
【点评】
本题结合实际情境考查一次函数与反比例函数的综合应用，解题关键是根据图象上的已知点求出不同区间的函数解析式，结合函数值求解对应的自变量范围，进而解决实际问题，解题时需注意分段函数的区间划分，避免代错解析式。
【难度系数】
0.65
