登录
活动一:忆一忆 写一写
写出勾股定理的内容.
写出勾股定理的内容.
答案
解：勾股定理的内容为：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形的两条直角边长分别为$a$、$b$，斜边长为$c$，那么$a^2 + b^2 = c^2$。
解析
【分析】
本题是基础概念识记题，考查勾股定理的内容记忆。解题时首先要明确勾股定理的适用前提是直角三角形，再回忆直角三角形三边的数量关系，最后结合字母表示的公式将内容表述完整即可。
【解析】
勾股定理的适用前提为直角三角形，其文字表述为：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。若用$a$、$b$分别表示直角三角形的两条直角边长，$c$表示斜边长，可将三边关系用公式表述为$a^2 + b^2 = c^2$。
【答案】
勾股定理的内容为：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形的两条直角边长分别为$a$、$b$，斜边长为$c$，那么$a^2 + b^2 = c^2$。
【知识点】
勾股定理的概念
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对基础定理的记忆与准确表述能力，熟练掌握该定理是后续运用勾股定理解决各类几何计算、证明问题的前提。
【难度系数】
0.9
本题是基础概念识记题，考查勾股定理的内容记忆。解题时首先要明确勾股定理的适用前提是直角三角形，再回忆直角三角形三边的数量关系，最后结合字母表示的公式将内容表述完整即可。
【解析】
勾股定理的适用前提为直角三角形，其文字表述为：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。若用$a$、$b$分别表示直角三角形的两条直角边长，$c$表示斜边长，可将三边关系用公式表述为$a^2 + b^2 = c^2$。
【答案】
勾股定理的内容为：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形的两条直角边长分别为$a$、$b$，斜边长为$c$，那么$a^2 + b^2 = c^2$。
【知识点】
勾股定理的概念
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对基础定理的记忆与准确表述能力，熟练掌握该定理是后续运用勾股定理解决各类几何计算、证明问题的前提。
【难度系数】
0.9
活动二:做一做 想一想
1. 预习课本第89~90页的“问题”，回答以下问题:如课本第89页的图3-6，直接求大正方形面积得$S_{正方形ABCD}=$
2. 请你用课本第90页的图3-7证明勾股定理.
3. 请你用课本第90页的图3-8证明勾股定理.
1. 预习课本第89~90页的“问题”，回答以下问题:如课本第89页的图3-6，直接求大正方形面积得$S_{正方形ABCD}=$
$c^2$
；另一种方法求大正方形面积得$S_{正方形ABCD}=$$a^2+b^2$
；所以得到等式$a^2+b^2=c^2$
.2. 请你用课本第90页的图3-7证明勾股定理.
3. 请你用课本第90页的图3-8证明勾股定理.
答案
1. $c^2$ ; $a^2+b^2$ ; $a^2+b^2=c^2$
2. $S_{阴}=(a+b)^2 - c^2 = a^2 + b^2 + 2ab - c^2$；$S_{阴}=4× \frac{1}{2}ab=2ab$；$\therefore a^2 + b^2 + 2ab - c^2 = 2ab$，$\therefore a^2 + b^2 = c^2$
3. $S_{阴}=\frac{1}{2}(a+b)·(a+b) - c^2 = \frac{1}{2}(a^2 + b^2 + 2ab) - \frac{1}{2}c^2 = \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 + ab - \frac{1}{2}c^2$；$S_{阴}=2× \frac{1}{2}ab=ab$；$\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 + ab - \frac{1}{2}c^2 = ab$；$\therefore a^2 + b^2 = c^2$
2. $S_{阴}=(a+b)^2 - c^2 = a^2 + b^2 + 2ab - c^2$；$S_{阴}=4× \frac{1}{2}ab=2ab$；$\therefore a^2 + b^2 + 2ab - c^2 = 2ab$，$\therefore a^2 + b^2 = c^2$
3. $S_{阴}=\frac{1}{2}(a+b)·(a+b) - c^2 = \frac{1}{2}(a^2 + b^2 + 2ab) - \frac{1}{2}c^2 = \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 + ab - \frac{1}{2}c^2$；$S_{阴}=2× \frac{1}{2}ab=ab$；$\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 + ab - \frac{1}{2}c^2 = ab$；$\therefore a^2 + b^2 = c^2$
解析
【分析】
本题考查勾股定理的面积法证明，解题核心思路是对同一个几何图形用两种不同的方法计算面积，得到的面积表达式相等，再通过整式化简推导勾股定理。
1. 第1问求大正方形面积：第一种方法直接利用正方形面积公式，用边长计算即可；第二种方法将大正方形分割为几个简单图形求和得到面积，两个面积相等就能得到对应等式。
2. 第2问用四个直角三角形拼接的图形证明：分别用“大正方形面积减中间小正方形面积”和“四个直角三角形面积和”两种方式表示阴影部分面积，联立等式化简即可。
3. 第3问用梯形图形证明：分别用“梯形面积减中间直角三角形面积”和“两个小直角三角形面积和”两种方式表示阴影部分面积，联立等式化简即可。
【解析】
1. 观察图3-6，大正方形ABCD的边长为直角三角形的斜边长$c$，根据正方形面积公式直接计算得$S_{正方形ABCD}=c^2$；将大正方形分割为边长为$a$的小正方形、边长为$b$的小正方形及对应规则图形，求和得面积为$a^2+b^2$；同一个正方形面积相等，因此得到等式$a^2+b^2=c^2$。
2. 图3-7是由4个全等的直角三角形拼成的边长为$(a+b)$的大正方形，中间空白为边长$c$的小正方形：
阴影面积可表示为大正方形面积减中间空白小正方形面积：$S_{阴}=(a+b)^2 - c^2 = a^2 + b^2 + 2ab - c^2$
阴影面积也可表示为4个直角三角形的面积和：$S_{阴}=4× \frac{1}{2}ab=2ab$
两种方法表示的阴影面积相等，因此$a^2 + b^2 + 2ab - c^2 = 2ab$，移项化简得$a^2 + b^2 = c^2$。
3. 图3-8是上底为$a$、下底为$b$、高为$(a+b)$的直角梯形，内部空白为边长为$c$的直角三角形：
阴影面积可表示为梯形面积减中间空白直角三角形面积：$S_{阴}=\frac{1}{2}(a+b)·(a+b) - c^2 = \frac{1}{2}(a^2 + b^2 + 2ab) - \frac{1}{2}c^2 = \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 + ab - \frac{1}{2}c^2$
阴影面积也可表示为2个小直角三角形的面积和：$S_{阴}=2× \frac{1}{2}ab=ab$
两种方法表示的阴影面积相等，因此$\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 + ab - \frac{1}{2}c^2 = ab$，化简得$a^2 + b^2 = c^2$。
【答案】
1. $c^2$ ; $a^2+b^2$ ; $a^2+b^2=c^2$
2. $S_{阴}=(a+b)^2 - c^2 = a^2 + b^2 + 2ab - c^2$；$S_{阴}=4× \frac{1}{2}ab=2ab$；$\therefore a^2 + b^2 + 2ab - c^2 = 2ab$，$\therefore a^2 + b^2 = c^2$
3. $S_{阴}=\frac{1}{2}(a+b)·(a+b) - c^2 = \frac{1}{2}(a^2 + b^2 + 2ab) - \frac{1}{2}c^2 = \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 + ab - \frac{1}{2}c^2$；$S_{阴}=2× \frac{1}{2}ab=ab$；$\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 + ab - \frac{1}{2}c^2 = ab$；$\therefore a^2 + b^2 = c^2$
【知识点】
勾股定理证明，面积法，整式化简
【点评】
本题是勾股定理探究的基础题型，核心是利用“同一图形面积的两种表示方法相等”建立等量关系，通过整式运算推导得到勾股定理，熟练掌握面积法是解决这类证明题的关键。
【难度系数】
0.7
本题考查勾股定理的面积法证明，解题核心思路是对同一个几何图形用两种不同的方法计算面积，得到的面积表达式相等，再通过整式化简推导勾股定理。
1. 第1问求大正方形面积：第一种方法直接利用正方形面积公式，用边长计算即可；第二种方法将大正方形分割为几个简单图形求和得到面积，两个面积相等就能得到对应等式。
2. 第2问用四个直角三角形拼接的图形证明：分别用“大正方形面积减中间小正方形面积”和“四个直角三角形面积和”两种方式表示阴影部分面积，联立等式化简即可。
3. 第3问用梯形图形证明：分别用“梯形面积减中间直角三角形面积”和“两个小直角三角形面积和”两种方式表示阴影部分面积，联立等式化简即可。
【解析】
1. 观察图3-6，大正方形ABCD的边长为直角三角形的斜边长$c$，根据正方形面积公式直接计算得$S_{正方形ABCD}=c^2$；将大正方形分割为边长为$a$的小正方形、边长为$b$的小正方形及对应规则图形，求和得面积为$a^2+b^2$；同一个正方形面积相等，因此得到等式$a^2+b^2=c^2$。
2. 图3-7是由4个全等的直角三角形拼成的边长为$(a+b)$的大正方形，中间空白为边长$c$的小正方形：
阴影面积可表示为大正方形面积减中间空白小正方形面积：$S_{阴}=(a+b)^2 - c^2 = a^2 + b^2 + 2ab - c^2$
阴影面积也可表示为4个直角三角形的面积和：$S_{阴}=4× \frac{1}{2}ab=2ab$
两种方法表示的阴影面积相等，因此$a^2 + b^2 + 2ab - c^2 = 2ab$，移项化简得$a^2 + b^2 = c^2$。
3. 图3-8是上底为$a$、下底为$b$、高为$(a+b)$的直角梯形，内部空白为边长为$c$的直角三角形：
阴影面积可表示为梯形面积减中间空白直角三角形面积：$S_{阴}=\frac{1}{2}(a+b)·(a+b) - c^2 = \frac{1}{2}(a^2 + b^2 + 2ab) - \frac{1}{2}c^2 = \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 + ab - \frac{1}{2}c^2$
阴影面积也可表示为2个小直角三角形的面积和：$S_{阴}=2× \frac{1}{2}ab=ab$
两种方法表示的阴影面积相等，因此$\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 + ab - \frac{1}{2}c^2 = ab$，化简得$a^2 + b^2 = c^2$。
【答案】
1. $c^2$ ; $a^2+b^2$ ; $a^2+b^2=c^2$
2. $S_{阴}=(a+b)^2 - c^2 = a^2 + b^2 + 2ab - c^2$；$S_{阴}=4× \frac{1}{2}ab=2ab$；$\therefore a^2 + b^2 + 2ab - c^2 = 2ab$，$\therefore a^2 + b^2 = c^2$
3. $S_{阴}=\frac{1}{2}(a+b)·(a+b) - c^2 = \frac{1}{2}(a^2 + b^2 + 2ab) - \frac{1}{2}c^2 = \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 + ab - \frac{1}{2}c^2$；$S_{阴}=2× \frac{1}{2}ab=ab$；$\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 + ab - \frac{1}{2}c^2 = ab$；$\therefore a^2 + b^2 = c^2$
【知识点】
勾股定理证明，面积法，整式化简
【点评】
本题是勾股定理探究的基础题型，核心是利用“同一图形面积的两种表示方法相等”建立等量关系，通过整式运算推导得到勾股定理，熟练掌握面积法是解决这类证明题的关键。
【难度系数】
0.7
1. 根据图片求下列直角三角形相应边的长.
(1)
$ c = $
(2)
$ b = $
(1)
$ c = $ 13
；(2)
$ b = $ 8
.答案
1. (1) 13 (2) 8
解析
【分析】
本题考查勾股定理的直接应用，解题思路如下：首先明确勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；第(1)问求斜边长度，直接将两条直角边的长度代入勾股定理公式，计算后开算术平方即可得到斜边长；第(2)问求直角边长度，先对勾股定理变形得到“直角边的平方等于斜边平方减另一条直角边的平方”，代入已知边长计算后开算术平方即可得到结果，注意三角形边长为正数，仅取正的平方根。
【解析】
(1) 由题图可知，该直角三角形两条直角边长分别为5、12，斜边长为c，根据勾股定理可得：
$c^2=5^2+12^2=25+144=169$
∵边长为正数
∴$c=\sqrt{169}=13$
(2) 由题图可知，该直角三角形斜边长为10，一条直角边长为6，另一条直角边长为b，根据勾股定理变形可得：
$b^2=10^2-6^2=100-36=64$
∵边长为正数
∴$b=\sqrt{64}=8$
【答案】
(1) 13；(2) 8
【知识点】
勾股定理；算术平方根计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，核心考查勾股定理的公式及变形使用，熟记常见的勾股数可快速得到答案，是巩固勾股定理基础的典型习题。
【难度系数】
0.8
本题考查勾股定理的直接应用，解题思路如下：首先明确勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；第(1)问求斜边长度，直接将两条直角边的长度代入勾股定理公式，计算后开算术平方即可得到斜边长；第(2)问求直角边长度，先对勾股定理变形得到“直角边的平方等于斜边平方减另一条直角边的平方”，代入已知边长计算后开算术平方即可得到结果，注意三角形边长为正数，仅取正的平方根。
【解析】
(1) 由题图可知，该直角三角形两条直角边长分别为5、12，斜边长为c，根据勾股定理可得：
$c^2=5^2+12^2=25+144=169$
∵边长为正数
∴$c=\sqrt{169}=13$
(2) 由题图可知，该直角三角形斜边长为10，一条直角边长为6，另一条直角边长为b，根据勾股定理变形可得：
$b^2=10^2-6^2=100-36=64$
∵边长为正数
∴$b=\sqrt{64}=8$
【答案】
(1) 13；(2) 8
【知识点】
勾股定理；算术平方根计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，核心考查勾股定理的公式及变形使用，熟记常见的勾股数可快速得到答案，是巩固勾股定理基础的典型习题。
【难度系数】
0.8
