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2. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AC=16$，$BC=12$. 求以AB为边的正方形ABED的边长. 
答案
边长为$4\sqrt{7}$
解析
【分析】
要求正方形ABED的边长，实质是求直角边AB的长度。已知Rt△ABC中直角∠ABC所对的斜边AC为16，另一条直角边BC为12，可直接运用勾股定理的变形公式：直角边的平方=斜边平方减去另一条直角边的平方，求出AB的长度，再化简二次根式得到最终结果，边长取正值即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，根据勾股定理得：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
将$AC=16$，$BC=12$代入得：
$\begin{aligned}AB^2&=AC^2 - BC^2\\&=16^2 - 12^2\\&=256 - 144\\&=112\end{aligned}$
因为AB为边长，长度为正，所以$AB=\sqrt{112}=4\sqrt{7}$，即正方形ABED的边长为$4\sqrt{7}$。
【答案】
$4\sqrt{7}$
【知识点】
勾股定理；二次根式化简
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题关键是明确直角三角形的斜边和直角边，正确代入勾股公式计算，注意几何图形的边长为正数，运算结果要将二次根式化为最简形式。
【难度系数】
0.8
要求正方形ABED的边长，实质是求直角边AB的长度。已知Rt△ABC中直角∠ABC所对的斜边AC为16，另一条直角边BC为12，可直接运用勾股定理的变形公式：直角边的平方=斜边平方减去另一条直角边的平方，求出AB的长度，再化简二次根式得到最终结果，边长取正值即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，根据勾股定理得：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
将$AC=16$，$BC=12$代入得：
$\begin{aligned}AB^2&=AC^2 - BC^2\\&=16^2 - 12^2\\&=256 - 144\\&=112\end{aligned}$
因为AB为边长，长度为正，所以$AB=\sqrt{112}=4\sqrt{7}$，即正方形ABED的边长为$4\sqrt{7}$。
【答案】
$4\sqrt{7}$
【知识点】
勾股定理；二次根式化简
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题关键是明确直角三角形的斜边和直角边，正确代入勾股公式计算，注意几何图形的边长为正数，运算结果要将二次根式化为最简形式。
【难度系数】
0.8
3. 如图，长3 m的梯子靠在墙上，梯子的底端到墙底端的距离为1.8 m. 求梯子顶端到地面的距离h.
答案
2 m
4. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a:b=3:4$，$c=10$.求$a$，$b$.
答案
$a=6，b=8$
解析
【分析】
本题是直角三角形中已知边长比例和斜边长求直角边的问题，解题思路如下：首先由∠C=90°可知c是斜边，a、b为直角边，满足勾股定理；已知a与b的比例为3:4，可通过设参数的方法将a、b用含同一个未知数的式子表示，再代入勾股定理列方程求解，最后结合边长为正数的实际意义确定参数的值，即可求出a、b的长度。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠C=90°，
∴ △ABC是直角三角形，斜边为c，根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$。
∵ $a:b=3:4$，
∴ 设$a=3k$，$b=4k$（$k＞0$，k为常数）。
又
∵ $c=10$，代入勾股定理公式得：
$(3k)^2 + (4k)^2 = 10^2$
展开计算得：$9k^2 + 16k^2 = 100$
合并同类项得：$25k^2 = 100$
两边同时除以25得：$k^2 = 4$
∵ $k＞0$，
∴ $k=2$
则$a=3k=3×2=6$，$b=4k=4×2=8$。
【答案】
$a=6，b=8$
【知识点】
勾股定理；比例的应用；开平方运算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，核心解题技巧是利用边长的比例关系设参数简化计算，避免出现两个未知数的情况，这类题型是勾股定理相关计算的常见基础考法，需熟练掌握设参结合勾股定理列方程的解题方法。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形中已知边长比例和斜边长求直角边的问题，解题思路如下：首先由∠C=90°可知c是斜边，a、b为直角边，满足勾股定理；已知a与b的比例为3:4，可通过设参数的方法将a、b用含同一个未知数的式子表示，再代入勾股定理列方程求解，最后结合边长为正数的实际意义确定参数的值，即可求出a、b的长度。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠C=90°，
∴ △ABC是直角三角形，斜边为c，根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$。
∵ $a:b=3:4$，
∴ 设$a=3k$，$b=4k$（$k＞0$，k为常数）。
又
∵ $c=10$，代入勾股定理公式得：
$(3k)^2 + (4k)^2 = 10^2$
展开计算得：$9k^2 + 16k^2 = 100$
合并同类项得：$25k^2 = 100$
两边同时除以25得：$k^2 = 4$
∵ $k＞0$，
∴ $k=2$
则$a=3k=3×2=6$，$b=4k=4×2=8$。
【答案】
$a=6，b=8$
【知识点】
勾股定理；比例的应用；开平方运算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，核心解题技巧是利用边长的比例关系设参数简化计算，避免出现两个未知数的情况，这类题型是勾股定理相关计算的常见基础考法，需熟练掌握设参结合勾股定理列方程的解题方法。
【难度系数】
0.8
5. 在数轴上画出$\sqrt{13}$对应的点. 
答案
提示：画一个直角边分别为2和3的直角三角形
解析
【分析】
要在数轴上表示$\sqrt{13}$，可借助勾股定理将无理数转化为可度量的线段长度：首先寻找两个正整数，使它们的平方和等于13，易得$2^2+3^2=13$，因此直角边长分别为2和3的直角三角形的斜边长就是$\sqrt{13}$；之后在数轴上构造该直角三角形，再用圆规将斜边长度转移到数轴上，即可得到$\sqrt{13}$对应的点。
【解析】
1. 由勾股定理可知：直角边为2和3的直角三角形斜边长为$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。
2. 在数轴正半轴上找到表示3的点A，过点A作数轴的垂线。
3. 在垂线上从点A向上截取线段AB，使AB=2个单位长度，连接原点O和点B，此时OB的长度为$\sqrt{13}$。
4. 以原点O为圆心，OB长为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点就是$\sqrt{13}$对应的点。
【答案】
先构造直角边分别为2和3的直角三角形得到长度为$\sqrt{13}$的线段，再以原点为圆心、该线段长为半径画弧，与数轴正半轴的交点即为$\sqrt{13}$对应的点。
【知识点】
勾股定理；实数与数轴；尺规作图
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，核心是利用勾股定理将无理数转化为直观的线段长度，体现了数形结合的数学思想，需要熟练掌握构造特定长度线段的方法。
【难度系数】
0.7
要在数轴上表示$\sqrt{13}$，可借助勾股定理将无理数转化为可度量的线段长度：首先寻找两个正整数，使它们的平方和等于13，易得$2^2+3^2=13$，因此直角边长分别为2和3的直角三角形的斜边长就是$\sqrt{13}$；之后在数轴上构造该直角三角形，再用圆规将斜边长度转移到数轴上，即可得到$\sqrt{13}$对应的点。
【解析】
1. 由勾股定理可知：直角边为2和3的直角三角形斜边长为$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。
2. 在数轴正半轴上找到表示3的点A，过点A作数轴的垂线。
3. 在垂线上从点A向上截取线段AB，使AB=2个单位长度，连接原点O和点B，此时OB的长度为$\sqrt{13}$。
4. 以原点O为圆心，OB长为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点就是$\sqrt{13}$对应的点。
【答案】
先构造直角边分别为2和3的直角三角形得到长度为$\sqrt{13}$的线段，再以原点为圆心、该线段长为半径画弧，与数轴正半轴的交点即为$\sqrt{13}$对应的点。
【知识点】
勾股定理；实数与数轴；尺规作图
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，核心是利用勾股定理将无理数转化为直观的线段长度，体现了数形结合的数学思想，需要熟练掌握构造特定长度线段的方法。
【难度系数】
0.7
1. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=16$，$BC=12$，$CD⊥ AB$，垂足为$D$.求$AB$，$CD$的长.
答案
$AB=20，CD=9.6$
解析
【分析】
求AB的长时，已知△ABC是直角三角形，两条直角边AC、BC的长度已知，可直接用勾股定理计算斜边AB的长度；求CD的长时，CD是AB边上的高，可利用直角三角形面积的两种计算方法（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），通过等面积法列方程求解。
【解析】
解：① 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
代入$AC=16$，$BC=12$，得：
$AB^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400$
∵AB为线段长度，是正数，
∴$AB = \sqrt{400} = 20$。
② 计算$△ ABC$的面积：
以AC、BC为底和高时，$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 16 × 12 = 96$
以AB、CD为底和高时，$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × CD$
两种方法计算的面积相等，因此：
$\frac{1}{2} × 20 × CD = 96$
化简得$10CD = 96$，解得$CD = 9.6$。
【答案】
$AB=20$，$CD=9.6$
【知识点】
勾股定理；等面积法求高
【点评】
本题是勾股定理应用的基础题，重点考查直角三角形斜边的计算方法，以及利用等面积法求解斜边上高的技巧，掌握直角三角形面积的两种计算方式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
求AB的长时，已知△ABC是直角三角形，两条直角边AC、BC的长度已知，可直接用勾股定理计算斜边AB的长度；求CD的长时，CD是AB边上的高，可利用直角三角形面积的两种计算方法（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），通过等面积法列方程求解。
【解析】
解：① 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
代入$AC=16$，$BC=12$，得：
$AB^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400$
∵AB为线段长度，是正数，
∴$AB = \sqrt{400} = 20$。
② 计算$△ ABC$的面积：
以AC、BC为底和高时，$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 16 × 12 = 96$
以AB、CD为底和高时，$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × CD$
两种方法计算的面积相等，因此：
$\frac{1}{2} × 20 × CD = 96$
化简得$10CD = 96$，解得$CD = 9.6$。
【答案】
$AB=20$，$CD=9.6$
【知识点】
勾股定理；等面积法求高
【点评】
本题是勾股定理应用的基础题，重点考查直角三角形斜边的计算方法，以及利用等面积法求解斜边上高的技巧，掌握直角三角形面积的两种计算方式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积. 
（第2题）
（第2题）答案
84
解析
【分析】
已知三角形三边长度，无现成的高，我们可以通过作BC边上的高构造两个直角三角形，利用两个直角三角形的公共直角边为等量，结合勾股定理列方程求出高的长度，再用三角形面积公式计算面积。首先设其中一段底边长为x，用含x的式子表示另一段底边，再分别用勾股定理表示公共高的平方，建立方程求解，最后代入计算面积即可。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，即∠ADB=∠ADC=90°。
设BD=x，则CD=BC-BD=14-x。
在Rt△ABD中，根据勾股定理可得：$AD^2=AB^2-BD^2=15^2-x^2$。
在Rt△ACD中，根据勾股定理可得：$AD^2=AC^2-CD^2=13^2-(14-x)^2$。
联立两个式子可得方程：
$225-x^2=169-(196-28x+x^2)$
化简得：$225=-27+28x$
解得：$x=9$
将$x=9$代入$AD^2=15^2-9^2=144$，得$AD=12$（长度为正，舍去负根）。
根据三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×14×12=84$。
【答案】
84
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，方程思想
【点评】
本题是勾股定理的典型应用，通过作高将斜三角形转化为直角三角形，利用公共边建立等量关系列方程求解，是解决这类已知三边求三角形面积问题的常用思路，需要熟练掌握该转化方法。
【难度系数】
0.7
已知三角形三边长度，无现成的高，我们可以通过作BC边上的高构造两个直角三角形，利用两个直角三角形的公共直角边为等量，结合勾股定理列方程求出高的长度，再用三角形面积公式计算面积。首先设其中一段底边长为x，用含x的式子表示另一段底边，再分别用勾股定理表示公共高的平方，建立方程求解，最后代入计算面积即可。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，即∠ADB=∠ADC=90°。
设BD=x，则CD=BC-BD=14-x。
在Rt△ABD中，根据勾股定理可得：$AD^2=AB^2-BD^2=15^2-x^2$。
在Rt△ACD中，根据勾股定理可得：$AD^2=AC^2-CD^2=13^2-(14-x)^2$。
联立两个式子可得方程：
$225-x^2=169-(196-28x+x^2)$
化简得：$225=-27+28x$
解得：$x=9$
将$x=9$代入$AD^2=15^2-9^2=144$，得$AD=12$（长度为正，舍去负根）。
根据三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×14×12=84$。
【答案】
84
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，方程思想
【点评】
本题是勾股定理的典型应用，通过作高将斜三角形转化为直角三角形，利用公共边建立等量关系列方程求解，是解决这类已知三边求三角形面积问题的常用思路，需要熟练掌握该转化方法。
【难度系数】
0.7
