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2. 如图是由一些正方形和直角三角形拼合而成的图形，其中最大正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为
$49\ \mathrm{cm^2}$
。答案
2. $49\ \mathrm{cm^2}$
解析
【分析】
解题时首先结合图形特征联想到勾股定理的几何意义：直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方，而正方形的面积等于边长的平方，因此可以将正方形面积和与勾股定理结合推导。首先观察到A、B的面积和等于正方形F的面积，C、D的面积和等于正方形G的面积，进一步F和G的面积和等于最大正方形的面积，因此无需单独计算每个小正方形的面积，整体转化即可求出四个正方形的面积之和。
【解析】
根据勾股定理可得：
① 对于以正方形A、B的边长为直角边的直角三角形，其斜边为正方形F的边长，因此$\boldsymbol{S_A + S_B = S_F}$；
② 对于以正方形C、D的边长为直角边的直角三角形，其斜边为正方形G的边长，因此$\boldsymbol{S_C + S_D = S_G}$；
③ 对于以正方形F、G的边长为直角边的直角三角形，其斜边为最大正方形的边长，因此$\boldsymbol{S_F + S_G = S_{\mathrm{最大正方形}}}$。
将①②代入③可得：$S_A + S_B + S_C + S_D = S_{\mathrm{最大正方形}}$。
已知最大正方形边长为7cm，其面积为$7 × 7 = 49 \ \mathrm{cm^2}$，因此正方形A、B、C、D的面积之和为49 $\mathrm{cm^2}$。
【答案】
$49\ \mathrm{cm^2}$
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，将勾股定理中边长平方的关系与正方形面积相结合，通过整体转化的思想即可快速得到结果，避免了单独求解每个小正方形面积的繁琐，有助于理解勾股定理的几何意义。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合图形特征联想到勾股定理的几何意义：直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方，而正方形的面积等于边长的平方，因此可以将正方形面积和与勾股定理结合推导。首先观察到A、B的面积和等于正方形F的面积，C、D的面积和等于正方形G的面积，进一步F和G的面积和等于最大正方形的面积，因此无需单独计算每个小正方形的面积，整体转化即可求出四个正方形的面积之和。
【解析】
根据勾股定理可得：
① 对于以正方形A、B的边长为直角边的直角三角形，其斜边为正方形F的边长，因此$\boldsymbol{S_A + S_B = S_F}$；
② 对于以正方形C、D的边长为直角边的直角三角形，其斜边为正方形G的边长，因此$\boldsymbol{S_C + S_D = S_G}$；
③ 对于以正方形F、G的边长为直角边的直角三角形，其斜边为最大正方形的边长，因此$\boldsymbol{S_F + S_G = S_{\mathrm{最大正方形}}}$。
将①②代入③可得：$S_A + S_B + S_C + S_D = S_{\mathrm{最大正方形}}$。
已知最大正方形边长为7cm，其面积为$7 × 7 = 49 \ \mathrm{cm^2}$，因此正方形A、B、C、D的面积之和为49 $\mathrm{cm^2}$。
【答案】
$49\ \mathrm{cm^2}$
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，将勾股定理中边长平方的关系与正方形面积相结合，通过整体转化的思想即可快速得到结果，避免了单独求解每个小正方形面积的繁琐，有助于理解勾股定理的几何意义。
【难度系数】
0.7
3. 如图是由四个全等的直角三角形拼成的图形. 图①中大正方形的面积为24,小正方形的面积为4,现将这四个直角三角形拼成图②,图②中大正方形的面积为 （
A.24
B.36
C.40
D.44
D
）A.24
B.36
C.40
D.44
答案
3. D
解析
【分析】
我们可以通过数形结合的思路解题：首先设直角三角形的短直角边长为a、长直角边长为b，从图①的已知面积推导两个核心关系：一是小正方形边长对应两直角边的差，可得到$(b-a)^2$的数值；二是大正方形边长是直角三角形的斜边，结合勾股定理可得到$a^2+b^2$的数值。再观察图②，大正方形边长对应两直角边的和，面积为$(a+b)^2$，利用完全平方公式变形代入前面的已知量即可算出结果。
【解析】
设全等直角三角形的短直角边长为$a$，长直角边长为$b$：
1. 根据图①的条件：
小正方形面积为4，其边长为$b-a$，因此$(b-a)^2=4$，展开得：$a^2-2ab+b^2=4$ ①；
大正方形面积为24，其边长是直角三角形的斜边，由勾股定理可得斜边平方为$a^2+b^2$，因此$a^2+b^2=24$ ②。
2. 把②代入①，得：$24-2ab=4$，解得$2ab=20$。
3. 图②中大正方形的边长为$a+b$，其面积为$(a+b)^2$，展开得：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将$a^2+b^2=24$、$2ab=20$代入，得$24+20=44$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，正方形面积计算
【点评】
本题是数形结合的典型题型，需要结合图形特征找到边长的数量关系，再通过代数公式变形求解，能很好地考查对勾股定理和完全平方公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
我们可以通过数形结合的思路解题：首先设直角三角形的短直角边长为a、长直角边长为b，从图①的已知面积推导两个核心关系：一是小正方形边长对应两直角边的差，可得到$(b-a)^2$的数值；二是大正方形边长是直角三角形的斜边，结合勾股定理可得到$a^2+b^2$的数值。再观察图②，大正方形边长对应两直角边的和，面积为$(a+b)^2$，利用完全平方公式变形代入前面的已知量即可算出结果。
【解析】
设全等直角三角形的短直角边长为$a$，长直角边长为$b$：
1. 根据图①的条件：
小正方形面积为4，其边长为$b-a$，因此$(b-a)^2=4$，展开得：$a^2-2ab+b^2=4$ ①；
大正方形面积为24，其边长是直角三角形的斜边，由勾股定理可得斜边平方为$a^2+b^2$，因此$a^2+b^2=24$ ②。
2. 把②代入①，得：$24-2ab=4$，解得$2ab=20$。
3. 图②中大正方形的边长为$a+b$，其面积为$(a+b)^2$，展开得：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将$a^2+b^2=24$、$2ab=20$代入，得$24+20=44$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，正方形面积计算
【点评】
本题是数形结合的典型题型，需要结合图形特征找到边长的数量关系，再通过代数公式变形求解，能很好地考查对勾股定理和完全平方公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
1. 如图，小明用4个如图①所示的长方形组成图②，其中四边形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形. 求证：$a^2 + b^2 = c^2$. 
答案
1. $\because$ 四边形$ABCD,EFGH,MNPQ$都是正方形，$\therefore S_{\mathrm{正方形}ABCD}=(a+b)^2$，$S_{\mathrm{正方形}EFGH}=c^2$，$S_{△ BEF}=\frac{1}{2}× ab$。$\because S_{\mathrm{正方形}ABCD}=S_{\mathrm{正方形}EFGH}+4S_{△ BEF}$，$\therefore (a+b)^2 = c^2 + 4× \frac{1}{2}× ab$。$\therefore a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab$。$\therefore a^2 + b^2 = c^2$
解析
【分析】
要证明$a^2+b^2=c^2$，可采用面积法推导：首先观察图形，大正方形ABCD的边长为长方形的长与宽之和$a+b$，可直接计算其面积；同时大正方形的面积还可以拆分为中间正方形EFGH的面积加周围4个全等直角三角形的面积，将两种表示大正方形面积的式子列成等量关系，化简后即可得到要证明的结论。
【解析】
证明：
$\because$ 四边形$ABCD,EFGH,MNPQ$都是正方形，
$\therefore$ 正方形$ABCD$的边长为$a+b$，面积$S_{\mathrm{正方形}ABCD}=(a+b)^2$，
正方形$EFGH$的边长为$c$，面积$S_{\mathrm{正方形}EFGH}=c^2$，
每个直角三角形（如$△ BEF$）的面积$S_{△ BEF}=\frac{1}{2}ab$。
$\because$ 大正方形$ABCD$的面积等于正方形$EFGH$的面积与4个直角三角形的面积之和，即$S_{\mathrm{正方形}ABCD}=S_{\mathrm{正方形}EFGH}+4S_{△ BEF}$，
$\therefore (a+b)^2 = c^2 + 4× \frac{1}{2}ab$，
展开整理得：$a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab$，
等式两边同时减去$2ab$，可得：$a^2 + b^2 = c^2$。
【答案】
$a^2 + b^2 = c^2$
【知识点】
面积法证明、正方形面积计算、直角三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的经典证明题型，运用数形结合思想，通过对同一图形面积的两种不同表达建立等量关系，推导过程直观易懂，能帮助学生更好地理解勾股定理的推导逻辑。
【难度系数】
0.8
要证明$a^2+b^2=c^2$，可采用面积法推导：首先观察图形，大正方形ABCD的边长为长方形的长与宽之和$a+b$，可直接计算其面积；同时大正方形的面积还可以拆分为中间正方形EFGH的面积加周围4个全等直角三角形的面积，将两种表示大正方形面积的式子列成等量关系，化简后即可得到要证明的结论。
【解析】
证明：
$\because$ 四边形$ABCD,EFGH,MNPQ$都是正方形，
$\therefore$ 正方形$ABCD$的边长为$a+b$，面积$S_{\mathrm{正方形}ABCD}=(a+b)^2$，
正方形$EFGH$的边长为$c$，面积$S_{\mathrm{正方形}EFGH}=c^2$，
每个直角三角形（如$△ BEF$）的面积$S_{△ BEF}=\frac{1}{2}ab$。
$\because$ 大正方形$ABCD$的面积等于正方形$EFGH$的面积与4个直角三角形的面积之和，即$S_{\mathrm{正方形}ABCD}=S_{\mathrm{正方形}EFGH}+4S_{△ BEF}$，
$\therefore (a+b)^2 = c^2 + 4× \frac{1}{2}ab$，
展开整理得：$a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab$，
等式两边同时减去$2ab$，可得：$a^2 + b^2 = c^2$。
【答案】
$a^2 + b^2 = c^2$
【知识点】
面积法证明、正方形面积计算、直角三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的经典证明题型，运用数形结合思想，通过对同一图形面积的两种不同表达建立等量关系，推导过程直观易懂，能帮助学生更好地理解勾股定理的推导逻辑。
【难度系数】
0.8
2. 2002年8月，国际数学家大会在北京召开，其会标取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，此图是由4个的全等直角三角形和1个小正方形构成的大正方形。如图，若AB＝c，大正方形的面积为13，中间小正方形的面积为2，且直角三角形的两直角边分别为a，b，求$(a+b)^2$的值。
答案
2. 24
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，根据大正方形的边长为直角三角形的斜边c，结合大正方形面积得到c²的值，再利用勾股定理求出a²+b²的值；第二步，用大正方形面积减去小正方形面积得到4个全等直角三角形的总面积，结合直角三角形面积公式推出2ab的值；第三步，利用完全平方公式将$(a+b)^2$展开，把前两步得到的结果整体代入计算即可得到答案。
【解析】
解：
∵大正方形的边长为直角三角形的斜边c，且大正方形面积为13，
∴$c^2=13$，
根据勾股定理，直角三角形中$a^2+b^2=c^2$，
∴$a^2+b^2=13$。
∵4个全等直角三角形的面积和=大正方形面积-小正方形面积，小正方形面积为2，
∴4个直角三角形的面积和=$13-2=11$，
又
∵每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，
∴$4×\frac{1}{2}ab=2ab=11$。
根据完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，
将$a^2+b^2=13$，$2ab=11$代入得：
$(a+b)^2=13+11=24$。
【答案】
24
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，面积和差计算
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，考查数形结合思想的应用，解题的关键是灵活运用勾股定理和完全平方公式，通过面积和差关系求出中间量2ab的值，再整体代入求解，避免单独计算a、b的取值，简化计算过程。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，根据大正方形的边长为直角三角形的斜边c，结合大正方形面积得到c²的值，再利用勾股定理求出a²+b²的值；第二步，用大正方形面积减去小正方形面积得到4个全等直角三角形的总面积，结合直角三角形面积公式推出2ab的值；第三步，利用完全平方公式将$(a+b)^2$展开，把前两步得到的结果整体代入计算即可得到答案。
【解析】
解：
∵大正方形的边长为直角三角形的斜边c，且大正方形面积为13，
∴$c^2=13$，
根据勾股定理，直角三角形中$a^2+b^2=c^2$，
∴$a^2+b^2=13$。
∵4个全等直角三角形的面积和=大正方形面积-小正方形面积，小正方形面积为2，
∴4个直角三角形的面积和=$13-2=11$，
又
∵每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，
∴$4×\frac{1}{2}ab=2ab=11$。
根据完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，
将$a^2+b^2=13$，$2ab=11$代入得：
$(a+b)^2=13+11=24$。
【答案】
24
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，面积和差计算
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，考查数形结合思想的应用，解题的关键是灵活运用勾股定理和完全平方公式，通过面积和差关系求出中间量2ab的值，再整体代入求解，避免单独计算a、b的取值，简化计算过程。
【难度系数】
0.7
