(1) 一个数与它的立方根相等，这个数是 （）

A.$\pm1$
B.$1,0$
C.$\pm1,0$
D.以上都不对

C

【分析】
这道题考查立方根的相关性质，解题思路为：先明确立方根的定义，即如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。要找到立方根等于自身的数，我们可以通过验证0、1、-1这几个特殊数的立方根是否等于本身来求解，注意不要遗漏负数和0的情况。
【解析】
设这个数为x，根据题意得$\sqrt[3]{x}=x$，分别验证特殊数：
1. 当x=0时，$\sqrt[3]{0}=0$，满足$\sqrt[3]{x}=x$；
2. 当x=1时，$\sqrt[3]{1}=1$，满足$\sqrt[3]{x}=x$；
3. 当x=-1时，$\sqrt[3]{-1}=-1$，满足$\sqrt[3]{x}=x$。
因此满足条件的数为$\pm1,0$。
【答案】
C
【知识点】
立方根的性质；立方根的定义
【点评】
本题是基础题，解题的关键是牢记特殊数的立方根特征，避免因漏考虑0或负数的情况选错答案。
【难度系数】
0.8

(2) 一个数的算术平方根等于这个数的立方根，这个数是 （）

A.$\pm1$
B.$\pm1,0$
C.$0$
D.$0,1$

D

【分析】
解题时首先回忆算术平方根的性质：只有非负数（0和正数）才有算术平方根，因此负数不可能满足“算术平方根等于立方根”的条件，可先排除含-1的错误选项；再分别验证0和1的算术平方根、立方根是否相等，即可选出正确答案。
【解析】
解：①根据算术平方根的定义可知，负数没有算术平方根，因此-1不符合要求，排除选项A、B；
②计算0的算术平方根和立方根：$\sqrt{0}=0$，$\sqrt[3]{0}=0$，二者相等，0符合条件；
③计算1的算术平方根和立方根：$\sqrt{1}=1$，$\sqrt[3]{1}=1$，二者相等，1符合条件；
因此满足条件的数是0和1，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的性质、立方根的性质
【点评】
本题考查算术平方根和立方根的概念辨析，易错点是忽略算术平方根的非负性，误将-1计入符合条件的数中。解题时先利用算术平方根的取值范围排除错误选项，再验证剩余数的方法可以简化计算，降低出错率。
【难度系数】
0.8

2. 填空题：
(1) －5是的立方根；(2) $\sqrt[3]{-216}$是的立方根。

(1) −125
(2) −216

【分析】
解题的核心依据是立方根的定义：如果一个数x的立方等于a，即$x^3=a$，那么x叫做a的立方根。反过来，已知一个数的立方根，求这个数时，只需将立方根进行三次乘方运算即可。第(1)问已知立方根为-5，直接计算-5的三次方就能得到对应的数；第(2)问既可以先求出$\sqrt[3]{-216}$的值，再计算其三次方得到结果，也可以利用立方根的性质直接推导。
【解析】
(1) 根据立方根的定义，若-5是某个数的立方根，则这个数为$(-5)^3$，计算得：$(-5)^3=(-5)×(-5)×(-5)=-125$，因此-5是-125的立方根。
(2) 方法一：先计算$\sqrt[3]{-216}$，因为$(-6)^3=-216$，所以$\sqrt[3]{-216}=-6$；再求-6对应的立方数：$(-6)^3=-216$，因此$\sqrt[3]{-216}$是-216的立方根。
方法二：根据立方根的性质，$\sqrt[3]{a}$本身就是a的立方根，可直接得出$\sqrt[3]{-216}$是-216的立方根。
【答案】
(1) $-125$
(2) $-216$
【知识点】
立方根的定义、有理数乘方运算、立方根的性质
【点评】
本题是立方根相关的基础题型，重点考查对立方根概念的理解和逆用，明确立方运算与开立方运算互为逆运算是解题的关键，熟练记忆常见整数的立方可以提升解题效率。
【难度系数】
0.9

3. 求下列各数的立方根：
(1) 0.001；
(2) −0.027；
(3) −1；
(4) −8.

(1) 0.1
(2) −0.3
(3) −1
(4) −2

【分析】
解题需先明确立方根的核心定义：如果一个数x的立方等于a，即x³=a，那么x就叫做a的立方根，同时牢记立方根的性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。解题时对每个给定的数，逆向推导哪一个数的立方等于该数，即可求出对应立方根，计算时注意负数的立方根符号不要出错。
【解析】
(1) 因为$0.1^3 = 0.1 × 0.1 × 0.1 = 0.001$，根据立方根的定义，可得0.001的立方根是0.1，即$\sqrt[3]{0.001}=0.1$；
(2) 因为$(-0.3)^3 = (-0.3) × (-0.3) × (-0.3) = -0.027$，根据立方根的定义，可得-0.027的立方根是-0.3，即$\sqrt[3]{-0.027}=-0.3$；
(3) 因为$(-1)^3 = -1$，根据立方根的定义，可得-1的立方根是-1，即$\sqrt[3]{-1}=-1$；
(4) 因为$(-2)^3 = -8$，根据立方根的定义，可得-8的立方根是-2，即$\sqrt[3]{-8}=-2$。
【答案】
(1) 0.1；(2) −0.3；(3) −1；(4) −2
【知识点】
1. 立方根的定义；2. 立方根的性质
【点评】
本题是立方根的基础考查题，主要检验对立方根概念的掌握程度，解题时要注意和平方根的性质区分，负数同样存在立方根，且符号与原数一致，避免出现符号类错误。
【难度系数】
0.9

4. 求下列各式中 $x$ 的值：
(1) $x^3=3$；
(2) $(x-1)^3=64$。

(1) $\sqrt[3]{3}$
(2) 5

【分析】
解决此类含未知数的三次方程问题，核心是利用立方根的定义降次求解：① 若式子是$x^3=a$的形式，可直接根据立方根定义写出$x=\sqrt[3]{a}$；② 若式子是带括号的$(mx+n)^3=a$的形式，先把括号内的整式看作一个整体，先求这个整体的立方根，再解一元一次方程即可得到未知数的值。
【解析】
(1) 根据立方根的定义：如果一个数的立方等于$b$，那么这个数叫做$b$的立方根。
已知$x^3=3$，因此$x$是3的立方根，即$x=\sqrt[3]{3}$。
(2) 先将$x-1$看作一个整体，已知$(x-1)^3=64$，结合$4^3=64$，可得$x-1$是64的立方根，即：
$x-1=\sqrt[3]{64}=4$
移项计算得：$x=4+1=5$
【答案】
(1) $\sqrt[3]{3}$
(2) $5$
【知识点】
立方根的定义；利用立方根解方程
【点评】
本题是立方根相关的基础题型，重点考查对立方根定义的理解与应用，解题时可灵活运用整体思想，将含未知数的三次项整体先求立方根，转化为熟悉的一元一次方程后求解即可，平时可熟记常用整数的立方值，能有效提升解题速度。
【难度系数】
0.85

5. 求下列各式的值：
(1) $(\sqrt[3]{1.2})^3$；
(2) $\sqrt[3]{(-5)^3}$；
(3) $(-\sqrt[3]{5})^3$；
(4) $\sqrt[3]{1.2^3}$。

(1) 1.2
(2) −5
(3) −5
(4) 1.2

【分析】
本题可利用立方运算和开立方运算互为逆运算的关系求解，核心用到立方根的两个通用性质：对于任意实数$a$，都有$(\sqrt[3]{a})^3=a$、$\sqrt[3]{a^3}=a$。解题时先判断每个式子符合哪条性质，直接代入性质计算即可，遇到带负号的式子注意先处理符号再计算。
【解析】
(1) 依据性质$(\sqrt[3]{a})^3=a$，取$a=1.2$，可得：$(\sqrt[3]{1.2})^3=1.2$；
(2) 依据性质$\sqrt[3]{a^3}=a$，取$a=-5$，可得：$\sqrt[3]{(-5)^3}=-5$；
(3) 先拆分符号：$(-\sqrt[3]{5})^3=(-1)^3×(\sqrt[3]{5})^3$，再结合性质$(\sqrt[3]{a})^3=a$计算，可得：原式$=-1×5=-5$；
(4) 依据性质$\sqrt[3]{a^3}=a$，取$a=1.2$，可得：$\sqrt[3]{1.2^3}=1.2$。
【答案】
(1) 1.2
(2) −5
(3) −5
(4) 1.2
【知识点】
立方根的性质；乘方与开方的逆运算
【点评】
本题属于立方根运算的基础题，主要考查对立方根基本运算性质的掌握程度，只要熟记相关性质、注意符号处理就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9

1. 下列说法中，正确的是 （）

A.任意数a的平方根有2个，它们互为相反数
B.非负数才有立方根
C.－3是27的负的立方根
D.－1的立方根是－1

D

【分析】
本题考查平方根与立方根的性质辨析，解题时需先回忆平方根、立方根的相关性质，再逐一核对每个选项的表述是否符合性质即可。首先明确核心性质：①平方根的性质：只有非负数才有平方根，正数的平方根有2个且互为相反数，0的平方根只有1个是0，负数没有平方根；②立方根的性质：任意实数都有唯一的立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
【解析】
我们逐一分析选项：
A选项：负数没有平方根，且0的平方根只有1个，并非任意数的平方根都有2个，因此A错误；
B选项：任意实数都有立方根，负数也存在立方根，并非只有非负数才有立方根，因此B错误；
C选项：因为$3^3=27$，所以27的立方根只有3这一个正数，-3不是27的立方根，因此C错误；
D选项：因为$(-1)^3=-1$，符合立方根的定义，所以-1的立方根是-1，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
平方根的性质；立方根的性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心是区分平方根和立方根的性质差异，要特别注意负数没有平方根但有唯一的负立方根，正数有两个互为相反数的平方根但只有唯一的正立方根，熟练掌握两类根式的基本性质就能快速判断正误。
【难度系数】
0.85

2. 下列判断中，正确的是 （）

A.64 的立方根是 4
B.－1 的立方根是 1
C.2 的立方根是 2
D.若 $a^3 = a$，则 $a = 0$

A

【分析】
本题考查立方根的相关知识，解题思路是先明确立方根的定义：若一个数x的立方等于a，即x³=a，那么x叫做a的立方根，再结合立方根的性质（正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0），逐个分析每个选项的正确性即可。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
A选项：因为4³=4×4×4=64，根据立方根的定义，64的立方根是4，该选项正确；
B选项：因为(-1)³=-1，所以-1的立方根是-1，不是1，该选项错误；
C选项：2的立方根是$\sqrt[3]{2}$，而2³=8≠2，故2不是2的立方根，该选项错误；
D选项：若$a^3=a$，除了$a=0$外，$1^3=1$，$(-1)^3=-1$，即$a$还可以是1或-1，并非只有$a=0$，该选项错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
1. 立方根的定义
2. 有理数的乘方
3. 特殊数的立方根
【点评】
本题是基础概念考查题，解题时要注意区分立方根与平方根的性质差异，牢记常见数字的立方结果，遇到含参数的等式时要注意不要漏解，就能顺利解题。
【难度系数】
0.85