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活动一:想一想 说一说
1. 棱长为1的正方体体积如何计算？体积为2的正方体的棱长是多少？
1. 棱长为1的正方体体积如何计算？体积为2的正方体的棱长是多少？
答案
$1^3=1,x^3=2$
解析
【分析】
解题时先明确正方体体积和棱长的关系：正方体体积等于棱长的立方。第一问是已知棱长求体积，属于正向运用体积公式，直接代入棱长计算即可；第二问是已知体积反求棱长，属于公式的逆向运用，我们可以设棱长为未知数，根据体积公式列等式就能得到对应关系。
【解析】
正方体体积计算公式为$V=a^3$（其中$V$代表体积，$a$代表棱长）。
1. 计算棱长为1的正方体体积：将$a=1$代入公式，可得体积$V=1^3=1$；
2. 求体积为2的正方体的棱长：设该正方体棱长为$x$，代入体积公式可得$x^3=2$，即棱长为满足$x^3=2$的数。
【答案】
$1^3=1,x^3=2$
【知识点】
正方体体积公式、立方运算、立方根初步
【点评】
本题是基础引入类题目，借助熟悉的正方体体积计算场景，帮助学生理解立方运算的逆运算，为后续立方根的学习打下基础。
【难度系数】
0.9
解题时先明确正方体体积和棱长的关系：正方体体积等于棱长的立方。第一问是已知棱长求体积，属于正向运用体积公式，直接代入棱长计算即可；第二问是已知体积反求棱长，属于公式的逆向运用，我们可以设棱长为未知数，根据体积公式列等式就能得到对应关系。
【解析】
正方体体积计算公式为$V=a^3$（其中$V$代表体积，$a$代表棱长）。
1. 计算棱长为1的正方体体积：将$a=1$代入公式，可得体积$V=1^3=1$；
2. 求体积为2的正方体的棱长：设该正方体棱长为$x$，代入体积公式可得$x^3=2$，即棱长为满足$x^3=2$的数。
【答案】
$1^3=1,x^3=2$
【知识点】
正方体体积公式、立方运算、立方根初步
【点评】
本题是基础引入类题目，借助熟悉的正方体体积计算场景，帮助学生理解立方运算的逆运算，为后续立方根的学习打下基础。
【难度系数】
0.9
2. (
$2$
)³=8，($-\dfrac{4}{5}$
)³=$-\dfrac{64}{125}$，($0$
)³=0.答案
$2,-\dfrac{4}{5},0$
解析
【分析】
本题考查立方根的求解，解题思路是依据立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根，结合有理数乘方运算分别计算各数的立方根即可，计算时注意符号规律：正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根是0。
【解析】
我们分别计算三个数对应的立方根：
1. 求立方等于8的数：因为$2^3=2×2×2=8$，所以第一个空填2；
2. 求立方等于$-\frac{64}{125}$的数：因为$(-\frac{4}{5})^3=(-\frac{4}{5})×(-\frac{4}{5})×(-\frac{4}{5})=-\frac{64}{125}$，所以第二个空填$-\frac{4}{5}$；
3. 求立方等于0的数：因为$0^3=0×0×0=0$，所以第三个空填0。
【答案】
$2,-\dfrac{4}{5},0$
【知识点】
立方根的定义，有理数乘方运算，立方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查立方根相关概念的应用，解题时要注意立方根的符号特性，负数也有唯一的负立方根，避免和平方根的符号规律混淆，计算细心即可得分。
【难度系数】
0.9
本题考查立方根的求解，解题思路是依据立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根，结合有理数乘方运算分别计算各数的立方根即可，计算时注意符号规律：正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根是0。
【解析】
我们分别计算三个数对应的立方根：
1. 求立方等于8的数：因为$2^3=2×2×2=8$，所以第一个空填2；
2. 求立方等于$-\frac{64}{125}$的数：因为$(-\frac{4}{5})^3=(-\frac{4}{5})×(-\frac{4}{5})×(-\frac{4}{5})=-\frac{64}{125}$，所以第二个空填$-\frac{4}{5}$；
3. 求立方等于0的数：因为$0^3=0×0×0=0$，所以第三个空填0。
【答案】
$2,-\dfrac{4}{5},0$
【知识点】
立方根的定义，有理数乘方运算，立方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查立方根相关概念的应用，解题时要注意立方根的符号特性，负数也有唯一的负立方根，避免和平方根的符号规律混淆，计算细心即可得分。
【难度系数】
0.9
3. 与同学交流立方根的定义.
4. 观察第1题中的式子,说一说$8,-\dfrac{64}{125},0$的立方根分别是多少. 任何数都有立方根吗?
5. 开立方运算与立方运算有什么关系？立方根和平方根有何区别与联系？
4. 观察第1题中的式子,说一说$8,-\dfrac{64}{125},0$的立方根分别是多少. 任何数都有立方根吗?
5. 开立方运算与立方运算有什么关系？立方根和平方根有何区别与联系？
答案
3. 一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫作a的立方根
4. $2,-\dfrac{4}{5},0$ 任何数都有立方根
5. 互为逆运算 略
4. $2,-\dfrac{4}{5},0$ 任何数都有立方根
5. 互为逆运算 略
解析
【分析】
第3题考查立方根的基础定义，可结合立方运算的逆运算思路理解：若一个数的三次方等于另一个数，前者就是后者的立方根。
第4题求指定数的立方根，可逆向推导：找满足三次方结果等于对应数值的数即可；再结合正数、负数、0的立方根特征，就能判断是否任何数都有立方根。
第5题先类比乘方和开方的通用关系，就能得到开立方和立方运算的关系；从定义、被开方数要求、根的个数等维度对比平方根和立方根，就能梳理出二者的区别与联系。
【解析】
3. 从立方运算的逆运算角度定义立方根：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫作a的立方根，也叫三次方根。
4. 结合立方运算推导：
① 因为$2^3=8$，因此8的立方根是2；
② 因为$(-\dfrac{4}{5})^3=-\dfrac{64}{125}$，因此$-\dfrac{64}{125}$的立方根是$-\dfrac{4}{5}$；
③ 因为$0^3=0$，因此0的立方根是0。
结合结果可知：正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根是0，因此任何数都有立方根。
5. 开立方运算与立方运算互为逆运算，即通过立方运算得到的结果，开立方后可得到原数，反之亦然。
立方根与平方根的区别：① 被开方数要求不同：平方根的被开方数必须是非负数，立方根的被开方数可以是任意实数；② 根的个数不同：正数有2个互为相反数的平方根，仅1个正的立方根；负数没有平方根，但有1个负的立方根。二者联系：① 都属于开方运算，分别和平方、立方运算互为逆运算；② 0的平方根和立方根都是0。
【答案】
3. 一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫作a的立方根
4. $2,-\dfrac{4}{5},0$ 任何数都有立方根
5. 互为逆运算 略
【知识点】
立方根的定义，立方根的性质，乘方与开方的逆运算
【点评】
这组题目是立方根的基础概念考查题，核心是理解立方根的定义与性质，能准确辨析立方根和平方根的异同，熟练掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
第3题考查立方根的基础定义，可结合立方运算的逆运算思路理解：若一个数的三次方等于另一个数，前者就是后者的立方根。
第4题求指定数的立方根，可逆向推导：找满足三次方结果等于对应数值的数即可；再结合正数、负数、0的立方根特征，就能判断是否任何数都有立方根。
第5题先类比乘方和开方的通用关系，就能得到开立方和立方运算的关系；从定义、被开方数要求、根的个数等维度对比平方根和立方根，就能梳理出二者的区别与联系。
【解析】
3. 从立方运算的逆运算角度定义立方根：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫作a的立方根，也叫三次方根。
4. 结合立方运算推导：
① 因为$2^3=8$，因此8的立方根是2；
② 因为$(-\dfrac{4}{5})^3=-\dfrac{64}{125}$，因此$-\dfrac{64}{125}$的立方根是$-\dfrac{4}{5}$；
③ 因为$0^3=0$，因此0的立方根是0。
结合结果可知：正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根是0，因此任何数都有立方根。
5. 开立方运算与立方运算互为逆运算，即通过立方运算得到的结果，开立方后可得到原数，反之亦然。
立方根与平方根的区别：① 被开方数要求不同：平方根的被开方数必须是非负数，立方根的被开方数可以是任意实数；② 根的个数不同：正数有2个互为相反数的平方根，仅1个正的立方根；负数没有平方根，但有1个负的立方根。二者联系：① 都属于开方运算，分别和平方、立方运算互为逆运算；② 0的平方根和立方根都是0。
【答案】
3. 一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫作a的立方根
4. $2,-\dfrac{4}{5},0$ 任何数都有立方根
5. 互为逆运算 略
【知识点】
立方根的定义，立方根的性质，乘方与开方的逆运算
【点评】
这组题目是立方根的基础概念考查题，核心是理解立方根的定义与性质，能准确辨析立方根和平方根的异同，熟练掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
1. 求下列各数的立方根：
(1) 64；
(2) −64；
(3) 9；
(4) $-\dfrac{8}{125}$；
(5) 8.
(1) 64；
(2) −64；
(3) 9；
(4) $-\dfrac{8}{125}$；
(5) 8.
答案
(1) 4
(2) −4
(3) $\sqrt[3]{9}$
(4) $-\dfrac{2}{5}$
(5) 2
(2) −4
(3) $\sqrt[3]{9}$
(4) $-\dfrac{2}{5}$
(5) 2
解析
【分析】
解题的核心依据是立方根的定义：若一个数x的立方等于a，即$x^3=a$，那么这个数x就叫做a的立方根。解题时先判断原数的正负性（正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0），再寻找满足$x^3$等于该数的x即可，若不存在有理数的立方等于该数，则直接用立方根符号表示结果。
【解析】
(1) 因为$4^3=4×4×4=64$，根据立方根的定义，可得64的立方根是4，即$\sqrt[3]{64}=4$。
(2) 因为$(-4)^3=(-4)×(-4)×(-4)=-64$，根据立方根的定义，可得-64的立方根是-4，即$\sqrt[3]{-64}=-4$。
(3) 没有有理数的立方等于9，因此9的立方根直接表示为$\sqrt[3]{9}$。
(4) 因为$(-\dfrac{2}{5})^3=(-\dfrac{2}{5})×(-\dfrac{2}{5})×(-\dfrac{2}{5})=-\dfrac{8}{125}$，根据立方根的定义，可得$-\dfrac{8}{125}$的立方根是$-\dfrac{2}{5}$，即$\sqrt[3]{-\dfrac{8}{125}}=-\dfrac{2}{5}$。
(5) 因为$2^3=2×2×2=8$，根据立方根的定义，可得8的立方根是2，即$\sqrt[3]{8}=2$。
【答案】
(1) 4
(2) −4
(3) $\sqrt[3]{9}$
(4) $-\dfrac{2}{5}$
(5) 2
【知识点】
立方根的定义，开立方运算，立方根的性质
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对立方根相关概念的掌握程度，解题时要注意区分立方根与平方根的性质差异，避免符号出错，开方开不尽的结果保留最简根式即可。
【难度系数】
0.9
解题的核心依据是立方根的定义：若一个数x的立方等于a，即$x^3=a$，那么这个数x就叫做a的立方根。解题时先判断原数的正负性（正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0），再寻找满足$x^3$等于该数的x即可，若不存在有理数的立方等于该数，则直接用立方根符号表示结果。
【解析】
(1) 因为$4^3=4×4×4=64$，根据立方根的定义，可得64的立方根是4，即$\sqrt[3]{64}=4$。
(2) 因为$(-4)^3=(-4)×(-4)×(-4)=-64$，根据立方根的定义，可得-64的立方根是-4，即$\sqrt[3]{-64}=-4$。
(3) 没有有理数的立方等于9，因此9的立方根直接表示为$\sqrt[3]{9}$。
(4) 因为$(-\dfrac{2}{5})^3=(-\dfrac{2}{5})×(-\dfrac{2}{5})×(-\dfrac{2}{5})=-\dfrac{8}{125}$，根据立方根的定义，可得$-\dfrac{8}{125}$的立方根是$-\dfrac{2}{5}$，即$\sqrt[3]{-\dfrac{8}{125}}=-\dfrac{2}{5}$。
(5) 因为$2^3=2×2×2=8$，根据立方根的定义，可得8的立方根是2，即$\sqrt[3]{8}=2$。
【答案】
(1) 4
(2) −4
(3) $\sqrt[3]{9}$
(4) $-\dfrac{2}{5}$
(5) 2
【知识点】
立方根的定义，开立方运算，立方根的性质
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对立方根相关概念的掌握程度，解题时要注意区分立方根与平方根的性质差异，避免符号出错，开方开不尽的结果保留最简根式即可。
【难度系数】
0.9
2. 求下列各式中 $ x $ 的值：
(1) $ x^3 + 729 = 0 $;
(2) $ -27x^3 = 64 $;
(3) $ (x - 1)^3 = 125 $;
(4) $ (x - 3)^3 = -1 $.
(1) $ x^3 + 729 = 0 $;
(2) $ -27x^3 = 64 $;
(3) $ (x - 1)^3 = 125 $;
(4) $ (x - 3)^3 = -1 $.
答案
(1) −9
(2) $-\dfrac{4}{3}$
(3) 6
(4) 2
(2) $-\dfrac{4}{3}$
(3) 6
(4) 2
解析
【分析】
这4道题均为利用立方根定义求解含未知数三次方程的基础题型，解题思路清晰：首先通过移项、系数化为1等操作，将原式整理为「含x的整式的三次方等于常数」的标准形式；再根据立方根的定义（若$a^3=b$，则$a$是$b$的立方根），对等式两边同时开立方，将三次方程降为一元一次方程；最后解一元一次方程即可得到$x$的值。解题时注意区分立方根与平方根的性质，负数也存在唯一的负立方根，不要混淆。
【解析】
(1) 移项得：$x^3 = -729$，
对等式两边开立方得：$x = \sqrt[3]{-729}$，
$\because (-9)^3=-729$，$\therefore x=-9$。
(2) 系数化为1得：$x^3 = -\dfrac{64}{27}$，
对等式两边开立方得：$x = \sqrt[3]{-\dfrac{64}{27}}$，
$\because (-\dfrac{4}{3})^3 = -\dfrac{64}{27}$，$\therefore x=-\dfrac{4}{3}$。
(3) 对等式两边开立方得：$x-1 = \sqrt[3]{125}$，
$\because 5^3=125$，$\therefore x-1=5$，
移项计算得：$x=5+1=6$。
(4) 对等式两边开立方得：$x-3 = \sqrt[3]{-1}$，
$\because (-1)^3=-1$，$\therefore x-3=-1$，
移项计算得：$x=-1+3=2$。
【答案】
(1) $-9$；(2) $-\dfrac{4}{3}$；(3) $6$；(4) $2$
【知识点】
立方根的定义；开立方运算；一元一次方程求解
【点评】
本题是立方根应用的基础题型，重点考查对立方根定义的理解和开立方运算的掌握，解题时需注意负数的立方根仍为负数，不要和平方根的性质混淆，熟练记忆常见整数、分数的立方值可提升解题效率。
【难度系数】
0.8
这4道题均为利用立方根定义求解含未知数三次方程的基础题型，解题思路清晰：首先通过移项、系数化为1等操作，将原式整理为「含x的整式的三次方等于常数」的标准形式；再根据立方根的定义（若$a^3=b$，则$a$是$b$的立方根），对等式两边同时开立方，将三次方程降为一元一次方程；最后解一元一次方程即可得到$x$的值。解题时注意区分立方根与平方根的性质，负数也存在唯一的负立方根，不要混淆。
【解析】
(1) 移项得：$x^3 = -729$，
对等式两边开立方得：$x = \sqrt[3]{-729}$，
$\because (-9)^3=-729$，$\therefore x=-9$。
(2) 系数化为1得：$x^3 = -\dfrac{64}{27}$，
对等式两边开立方得：$x = \sqrt[3]{-\dfrac{64}{27}}$，
$\because (-\dfrac{4}{3})^3 = -\dfrac{64}{27}$，$\therefore x=-\dfrac{4}{3}$。
(3) 对等式两边开立方得：$x-1 = \sqrt[3]{125}$，
$\because 5^3=125$，$\therefore x-1=5$，
移项计算得：$x=5+1=6$。
(4) 对等式两边开立方得：$x-3 = \sqrt[3]{-1}$，
$\because (-1)^3=-1$，$\therefore x-3=-1$，
移项计算得：$x=-1+3=2$。
【答案】
(1) $-9$；(2) $-\dfrac{4}{3}$；(3) $6$；(4) $2$
【知识点】
立方根的定义；开立方运算；一元一次方程求解
【点评】
本题是立方根应用的基础题型，重点考查对立方根定义的理解和开立方运算的掌握，解题时需注意负数的立方根仍为负数，不要和平方根的性质混淆，熟练记忆常见整数、分数的立方值可提升解题效率。
【难度系数】
0.8
