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4. 如图,填空：
（第4题）
（第4题）答案
$-11,+\frac{17}{12},-\frac{17}{12},4,121$
解析
【分析】
首先明确题图的运算关系：左侧的数经过平方运算得到右侧对应位置的数，右侧的数经过开平方运算得到它的两个平方根（即左侧对应位置的数）。解题分两步走：①已知左侧的数求右侧结果：直接计算该数的平方即可；②已知右侧的数求左侧的数：就是求这个正数的平方根，正数有两个互为相反数的平方根，不要漏解。
【解析】
1. 计算右侧的两个空：
（1）左边的$+2$和$-2$平方：$(+2)^2=4$，$(-2)^2=4$，因此右侧第一个空填$4$；
（2）左边的$+11$平方：$(+11)^2=121$，因此右侧第二个空填$121$。
2. 计算左侧的三个空：
（1）右侧的121开平方：$\pm\sqrt{121}=\pm11$，已有$+11$，因此对应左侧空填$-11$；
（2）右侧的$\frac{289}{144}$开平方：$\pm\sqrt{\frac{289}{144}}=\pm\frac{17}{12}$，因此对应左侧两个空分别填$+\frac{17}{12}$、$-\frac{17}{12}$。
【答案】
$-11,+\frac{17}{12},-\frac{17}{12},4,121$
【知识点】
平方根的概念，平方与开平方互逆
【点评】
本题考查平方运算和开平方运算的逆运算关系，解题时要注意正数的平方根有两个，二者互为相反数，避免漏写负的平方根。
【难度系数】
0.8
首先明确题图的运算关系：左侧的数经过平方运算得到右侧对应位置的数，右侧的数经过开平方运算得到它的两个平方根（即左侧对应位置的数）。解题分两步走：①已知左侧的数求右侧结果：直接计算该数的平方即可；②已知右侧的数求左侧的数：就是求这个正数的平方根，正数有两个互为相反数的平方根，不要漏解。
【解析】
1. 计算右侧的两个空：
（1）左边的$+2$和$-2$平方：$(+2)^2=4$，$(-2)^2=4$，因此右侧第一个空填$4$；
（2）左边的$+11$平方：$(+11)^2=121$，因此右侧第二个空填$121$。
2. 计算左侧的三个空：
（1）右侧的121开平方：$\pm\sqrt{121}=\pm11$，已有$+11$，因此对应左侧空填$-11$；
（2）右侧的$\frac{289}{144}$开平方：$\pm\sqrt{\frac{289}{144}}=\pm\frac{17}{12}$，因此对应左侧两个空分别填$+\frac{17}{12}$、$-\frac{17}{12}$。
【答案】
$-11,+\frac{17}{12},-\frac{17}{12},4,121$
【知识点】
平方根的概念，平方与开平方互逆
【点评】
本题考查平方运算和开平方运算的逆运算关系，解题时要注意正数的平方根有两个，二者互为相反数，避免漏写负的平方根。
【难度系数】
0.8
5. 求下列各式中$x$的值：
(1) $x^2=196$；
(2) $5x^2 -10=0$。
(1) $x^2=196$；
(2) $5x^2 -10=0$。
答案
(1) $x=\pm14$ (2) $x=\pm\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题考查利用平方根的定义求解未知数的值，解题思路如下：对于形如$x^2=a$（$a＞0$）的式子，根据平方根的定义，$x$就是$a$的两个互为相反数的平方根。第(1)题等式已是$x^2$等于正数的形式，直接开平方即可；第(2)题需要先通过移项、系数化为1，将式子转化为$x^2=a$（$a＞0$）的标准形式，再开平方求解，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
(1) 因为$x^2=196$，根据平方根的定义，正数196的平方根为$\pm\sqrt{196}$，计算得$\sqrt{196}=14$，所以$x=\pm14$。
(2) 对$5x^2 -10=0$进行变形：
第一步，移项，得$5x^2=10$；
第二步，两边同时除以5，将$x^2$的系数化为1，得$x^2=2$；
第三步，根据平方根的定义开平方，得$x=\pm\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $x=\pm14$；(2) $x=\pm\sqrt{2}$
【知识点】
平方根的定义，直接开平方法解方程，等式的基本性质
【点评】
本题是平方根相关的基础常规题，重点考查对平方根概念的理解，解题时需注意正数有两个互为相反数的平方根，避免只写正根漏写负根的错误。
【难度系数】
0.9
本题考查利用平方根的定义求解未知数的值，解题思路如下：对于形如$x^2=a$（$a＞0$）的式子，根据平方根的定义，$x$就是$a$的两个互为相反数的平方根。第(1)题等式已是$x^2$等于正数的形式，直接开平方即可；第(2)题需要先通过移项、系数化为1，将式子转化为$x^2=a$（$a＞0$）的标准形式，再开平方求解，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
(1) 因为$x^2=196$，根据平方根的定义，正数196的平方根为$\pm\sqrt{196}$，计算得$\sqrt{196}=14$，所以$x=\pm14$。
(2) 对$5x^2 -10=0$进行变形：
第一步，移项，得$5x^2=10$；
第二步，两边同时除以5，将$x^2$的系数化为1，得$x^2=2$；
第三步，根据平方根的定义开平方，得$x=\pm\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $x=\pm14$；(2) $x=\pm\sqrt{2}$
【知识点】
平方根的定义，直接开平方法解方程，等式的基本性质
【点评】
本题是平方根相关的基础常规题，重点考查对平方根概念的理解，解题时需注意正数有两个互为相反数的平方根，避免只写正根漏写负根的错误。
【难度系数】
0.9
1. 填空题：
(1) 16 的平方根是
(2) $\pm\sqrt{36} =$
(3) 一个数的平方根等于它本身，这个数是
(4) 若$4a+1$的平方根是$\pm5$，则$a=$
(1) 16 的平方根是
±4
，$(-3)^2$的平方根是±3
。(2) $\pm\sqrt{36} =$
±6
，$(\pm\sqrt{5})^2 =$5
。(3) 一个数的平方根等于它本身，这个数是
0
。(4) 若$4a+1$的平方根是$\pm5$，则$a=$
6
；若$x-3$的平方根只有一个，则$x=$3
。答案
(1) $\pm4$ $\pm3$ (2) $\pm6$ $5$ (3) $0$ (4) $6$ $3$
解析
【分析】
解题时需紧扣平方根的定义与性质思考：① 若$x^2=a$（$a≥0$），则$x$叫做$a$的平方根，正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根；② 若已知一个数的平方根，可通过平方运算反求这个数；③ 只有0的平方根只有1个。按照每个小题的要求，对应上述性质逐步推导即可。
【解析】
(1) 因为$(±4)^2=16$，所以16的平方根是$±4$；先计算$(-3)^2=9$，又因为$(±3)^2=9$，所以$(-3)^2$的平方根是$±3$。
(2) $\sqrt{36}$表示36的算术平方根，值为6，因此$±\sqrt{36}=±6$；根据平方运算的性质，$(±\sqrt{5})^2=(\sqrt{5})^2=5$。
(3) 正数的平方根有2个且互为相反数，不可能等于本身；负数没有平方根；只有0的平方根是0，等于它本身，因此这个数是0。
(4) 因为$4a+1$的平方根是$±5$，所以$4a+1=(±5)^2=25$，解方程得$4a=24$，即$a=6$；只有0的平方根只有1个，因此$x-3=0$，解得$x=3$。
【答案】
(1) $\pm4$；$\pm3$ (2) $\pm6$；$5$ (3) $0$ (4) $6$；$3$
【知识点】
平方根的定义；平方根的性质；平方根的运算
【点评】
本题是平方根的基础考查题，核心是区分平方根与算术平方根的差异，牢记平方根的相关性质，解题时注意正数的平方根有两个，避免漏写负根。
【难度系数】
0.8
解题时需紧扣平方根的定义与性质思考：① 若$x^2=a$（$a≥0$），则$x$叫做$a$的平方根，正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根；② 若已知一个数的平方根，可通过平方运算反求这个数；③ 只有0的平方根只有1个。按照每个小题的要求，对应上述性质逐步推导即可。
【解析】
(1) 因为$(±4)^2=16$，所以16的平方根是$±4$；先计算$(-3)^2=9$，又因为$(±3)^2=9$，所以$(-3)^2$的平方根是$±3$。
(2) $\sqrt{36}$表示36的算术平方根，值为6，因此$±\sqrt{36}=±6$；根据平方运算的性质，$(±\sqrt{5})^2=(\sqrt{5})^2=5$。
(3) 正数的平方根有2个且互为相反数，不可能等于本身；负数没有平方根；只有0的平方根是0，等于它本身，因此这个数是0。
(4) 因为$4a+1$的平方根是$±5$，所以$4a+1=(±5)^2=25$，解方程得$4a=24$，即$a=6$；只有0的平方根只有1个，因此$x-3=0$，解得$x=3$。
【答案】
(1) $\pm4$；$\pm3$ (2) $\pm6$；$5$ (3) $0$ (4) $6$；$3$
【知识点】
平方根的定义；平方根的性质；平方根的运算
【点评】
本题是平方根的基础考查题，核心是区分平方根与算术平方根的差异，牢记平方根的相关性质，解题时注意正数的平方根有两个，避免漏写负根。
【难度系数】
0.8
2. 一个正数的两个平方根分别为$m+1$和$m-3$，求$m$和这个正数的值.
答案
$m=1$，这个正数是$4$
解析
【分析】
本题的解题突破口是牢记正数的两个平方根互为相反数这一核心性质。首先根据互为相反数的两个数之和为0，列出关于m的一元一次方程，求解得到m的取值；再将m代入任意一个平方根，对结果进行平方运算，即可求出这个正数的值。
【解析】
解：
∵ 正数的两个平方根互为相反数，互为相反数的两个数和为0
∴ 可列方程：$(m+1)+(m-3)=0$
合并同类项得：$2m-2=0$
移项计算得：$2m=2$，即$m=1$
将$m=1$代入$m+1$，可得其中一个平方根为$1+1=2$
则这个正数为$2^2=4$
【答案】
$m=1$，这个正数是$4$
【知识点】
1. 平方根的性质
2. 解一元一次方程
3. 乘方运算
【点评】
本题是平方根章节的基础题型，重点考查对平方根基本性质的理解与运用，只要熟练掌握“正数的两个平方根互为相反数”的结论，结合简单的方程运算即可快速求解，计算时注意避免符号错误。
【难度系数】
0.9
本题的解题突破口是牢记正数的两个平方根互为相反数这一核心性质。首先根据互为相反数的两个数之和为0，列出关于m的一元一次方程，求解得到m的取值；再将m代入任意一个平方根，对结果进行平方运算，即可求出这个正数的值。
【解析】
解：
∵ 正数的两个平方根互为相反数，互为相反数的两个数和为0
∴ 可列方程：$(m+1)+(m-3)=0$
合并同类项得：$2m-2=0$
移项计算得：$2m=2$，即$m=1$
将$m=1$代入$m+1$，可得其中一个平方根为$1+1=2$
则这个正数为$2^2=4$
【答案】
$m=1$，这个正数是$4$
【知识点】
1. 平方根的性质
2. 解一元一次方程
3. 乘方运算
【点评】
本题是平方根章节的基础题型，重点考查对平方根基本性质的理解与运用，只要熟练掌握“正数的两个平方根互为相反数”的结论，结合简单的方程运算即可快速求解，计算时注意避免符号错误。
【难度系数】
0.9
