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3. 已知$x^2=64$，则$\sqrt[3]{x}=$
$\pm2$
.答案
$\pm2$
解析
【分析】
解题时首先根据平方根的定义求出x的取值，因为正数的平方根有两个且互为相反数，所以x有两个可能的值，再分别对这两个值求立方根，结合立方根的性质（正数的立方根是正数，负数的立方根是负数）即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵ $x^2=64$，
∴ $x = \pm\sqrt{64} = \pm8$。
当$x=8$时，$\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{8}=2$；
当$x=-8$时，$\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{-8}=-2$。
综上，$\sqrt[3]{x}=\pm2$。
【答案】
$\pm2$
【知识点】
平方根的性质；立方根的运算
【点评】
本题属于基础易错题，解题时容易忽略正数的平方根有两个，只算出$x=8$对应的立方根2，漏掉$x=-8$对应的立方根-2，需要注意区分平方根和立方根的性质差异。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据平方根的定义求出x的取值，因为正数的平方根有两个且互为相反数，所以x有两个可能的值，再分别对这两个值求立方根，结合立方根的性质（正数的立方根是正数，负数的立方根是负数）即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵ $x^2=64$，
∴ $x = \pm\sqrt{64} = \pm8$。
当$x=8$时，$\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{8}=2$；
当$x=-8$时，$\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{-8}=-2$。
综上，$\sqrt[3]{x}=\pm2$。
【答案】
$\pm2$
【知识点】
平方根的性质；立方根的运算
【点评】
本题属于基础易错题，解题时容易忽略正数的平方根有两个，只算出$x=8$对应的立方根2，漏掉$x=-8$对应的立方根-2，需要注意区分平方根和立方根的性质差异。
【难度系数】
0.7
4. 在$\sqrt{a}(a≥0),|a|,a^2,\sqrt[3]{a}$中,必是非负数的有
$|a|,a^2,\sqrt{a}$
.答案
$|a|,a^2,\sqrt{a}$
解析
【分析】
要判断哪些代数式必是非负数，首先明确非负数是指大于或等于0的数，接下来逐个分析四个代数式的取值范围：先回忆每个代数式的相关性质，分别判断它们的取值是否恒大于等于0，排除不满足的即可得到结果。
【解析】
首先明确非负数的定义：大于或等于0的数为非负数，接下来逐个分析：
1. 对于$\sqrt{a}$：题目已给出$a≥0$，根据算术平方根的性质，算术平方根的结果一定是非负的，即$\sqrt{a}≥0$，满足要求；
2. 对于$|a|$：根据绝对值的性质，任意实数的绝对值都是非负数，即$|a|≥0$，满足要求；
3. 对于$a^2$：根据乘方的性质，任意实数的平方都是非负数，即$a^2≥0$，满足要求；
4. 对于$\sqrt[3]{a}$：根据立方根的性质，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根为0，当a取负数时$\sqrt[3]{a}$是负数，不满足“必是非负数”的要求。
综上，必是非负数的是$\sqrt{a}$、$|a|$、$a^2$。
【答案】
$|a|,a^2,\sqrt{a}$
【知识点】
绝对值的性质；平方的非负性；根式的性质
【点评】
本题考查常见非负代数式的判断，解题核心是准确掌握各类代数式的取值性质，尤其要注意区分算术平方根和立方根的符号差异，避免混淆两者的性质导致错选。
【难度系数】
0.8
要判断哪些代数式必是非负数，首先明确非负数是指大于或等于0的数，接下来逐个分析四个代数式的取值范围：先回忆每个代数式的相关性质，分别判断它们的取值是否恒大于等于0，排除不满足的即可得到结果。
【解析】
首先明确非负数的定义：大于或等于0的数为非负数，接下来逐个分析：
1. 对于$\sqrt{a}$：题目已给出$a≥0$，根据算术平方根的性质，算术平方根的结果一定是非负的，即$\sqrt{a}≥0$，满足要求；
2. 对于$|a|$：根据绝对值的性质，任意实数的绝对值都是非负数，即$|a|≥0$，满足要求；
3. 对于$a^2$：根据乘方的性质，任意实数的平方都是非负数，即$a^2≥0$，满足要求；
4. 对于$\sqrt[3]{a}$：根据立方根的性质，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根为0，当a取负数时$\sqrt[3]{a}$是负数，不满足“必是非负数”的要求。
综上，必是非负数的是$\sqrt{a}$、$|a|$、$a^2$。
【答案】
$|a|,a^2,\sqrt{a}$
【知识点】
绝对值的性质；平方的非负性；根式的性质
【点评】
本题考查常见非负代数式的判断，解题核心是准确掌握各类代数式的取值性质，尤其要注意区分算术平方根和立方根的符号差异，避免混淆两者的性质导致错选。
【难度系数】
0.8
5. 如图，填空：
答案
$1,\dfrac{1}{4},-5,8,-27,-64$
解析
【分析】首先明确题图的运算逻辑：左列数值为x，右列对应数值为x的立方（$x^3$），立方和开立方互为逆运算。解题分两类情况处理：①已知左列的x，直接计算x的立方得到右列对应结果；②已知右列的$x^3$，对其开立方得到左列对应的x，结合立方、立方根的运算性质计算即可。
【解析】逐行计算各空：
1. 当$x=+2$时，$x^3=2^3=8$，即右列第一空填8；
2. 当$x=-3$时，$x^3=(-3)^3=-27$，即右列第二空填-27；
3. 当$x^3=1$时，$x=\sqrt[3]{1}=1$，即左列第三空填1；
4. 当$x=-4$时，$x^3=(-4)^3=-64$，即右列第四空填-64；
5. 当$x^3=\dfrac{1}{64}$时，$x=\sqrt[3]{\dfrac{1}{64}}=\dfrac{1}{4}$，即左列第五空填$\dfrac{1}{4}$；
6. 当$x^3=-125$时，$x=\sqrt[3]{-125}=-5$，即左列第六空填-5。
按左列空白、右列空白的顺序整理结果为$1,\dfrac{1}{4},-5,8,-27,-64$。
【答案】
$1,\dfrac{1}{4},-5,8,-27,-64$
【知识点】
立方运算，立方根计算
【点评】
本题考查立方与开立方的逆运算关系，解题时需注意负数的立方仍为负数，负数的立方根也为负数，熟记常见整数、分数的立方可提升解题效率。
【难度系数】
0.85
【解析】逐行计算各空：
1. 当$x=+2$时，$x^3=2^3=8$，即右列第一空填8；
2. 当$x=-3$时，$x^3=(-3)^3=-27$，即右列第二空填-27；
3. 当$x^3=1$时，$x=\sqrt[3]{1}=1$，即左列第三空填1；
4. 当$x=-4$时，$x^3=(-4)^3=-64$，即右列第四空填-64；
5. 当$x^3=\dfrac{1}{64}$时，$x=\sqrt[3]{\dfrac{1}{64}}=\dfrac{1}{4}$，即左列第五空填$\dfrac{1}{4}$；
6. 当$x^3=-125$时，$x=\sqrt[3]{-125}=-5$，即左列第六空填-5。
按左列空白、右列空白的顺序整理结果为$1,\dfrac{1}{4},-5,8,-27,-64$。
【答案】
$1,\dfrac{1}{4},-5,8,-27,-64$
【知识点】
立方运算，立方根计算
【点评】
本题考查立方与开立方的逆运算关系，解题时需注意负数的立方仍为负数，负数的立方根也为负数，熟记常见整数、分数的立方可提升解题效率。
【难度系数】
0.85
6. 已知一个正数的平方根分别是$a+2$和$2a-5$，$b-3$的立方根为$-2$.
(1) 求$b$的值；
(2) 求这个正数；
(3) 求$4a-b$的平方根.
(1) 求$b$的值；
(2) 求这个正数；
(3) 求$4a-b$的平方根.
答案
(1) $b=-5$
(2) 这个正数为9
(3) $4a-b$的平方根为$\pm3$
(2) 这个正数为9
(3) $4a-b$的平方根为$\pm3$
解析
【分析】
本题可根据平方根和立方根的性质逐步求解：
1. 求b的值：利用立方根的定义，若一个数的立方根为x，则这个数等于x的立方，代入即可求出b；
2. 求这个正数：根据正数的两个平方根互为相反数，两个平方根相加和为0，先求出a的值，再将平方根平方即可得到这个正数；
3. 求4a-b的平方根：将前面求出的a、b的值代入代数式计算结果，再根据平方根的定义求出其平方根即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数。
【解析】
(1) 已知$b-3$的立方根为$-2$，根据立方根的定义可得：
$b-3=(-2)^3=-8$
移项计算得：$b=-8+3=-5$
(2) 因为正数的两个平方根互为相反数，所以两个平方根的和为0：
$(a+2)+(2a-5)=0$
合并同类项得：$3a-3=0$
解得：$a=1$
将$a=1$代入$a+2$得其中一个平方根为$1+2=3$，则这个正数为$3^2=9$
(3) 将$a=1$，$b=-5$代入$4a-b$得：
$4×1 - (-5)=4+5=9$
根据平方根的定义，9的平方根为$\pm\sqrt{9}=\pm3$
【答案】
(1) $b=-5$
(2) 这个正数为9
(3) $4a-b$的平方根为$\pm3$
【知识点】
正数平方根的性质；立方根的定义；平方根的计算
【点评】
本题属于平方根与立方根的基础应用题，解题核心是熟练掌握正数的两个平方根互为相反数、立方根与被开方数的对应关系，计算过程中注意符号处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
本题可根据平方根和立方根的性质逐步求解：
1. 求b的值：利用立方根的定义，若一个数的立方根为x，则这个数等于x的立方，代入即可求出b；
2. 求这个正数：根据正数的两个平方根互为相反数，两个平方根相加和为0，先求出a的值，再将平方根平方即可得到这个正数；
3. 求4a-b的平方根：将前面求出的a、b的值代入代数式计算结果，再根据平方根的定义求出其平方根即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数。
【解析】
(1) 已知$b-3$的立方根为$-2$，根据立方根的定义可得：
$b-3=(-2)^3=-8$
移项计算得：$b=-8+3=-5$
(2) 因为正数的两个平方根互为相反数，所以两个平方根的和为0：
$(a+2)+(2a-5)=0$
合并同类项得：$3a-3=0$
解得：$a=1$
将$a=1$代入$a+2$得其中一个平方根为$1+2=3$，则这个正数为$3^2=9$
(3) 将$a=1$，$b=-5$代入$4a-b$得：
$4×1 - (-5)=4+5=9$
根据平方根的定义，9的平方根为$\pm\sqrt{9}=\pm3$
【答案】
(1) $b=-5$
(2) 这个正数为9
(3) $4a-b$的平方根为$\pm3$
【知识点】
正数平方根的性质；立方根的定义；平方根的计算
【点评】
本题属于平方根与立方根的基础应用题，解题核心是熟练掌握正数的两个平方根互为相反数、立方根与被开方数的对应关系，计算过程中注意符号处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
7. 完成表格并回答问题.
（1）填表：
（2）根据上表的规律,猜想:若$b=1000a$,则$\sqrt[3]{b}=$
（3）根据你发现的规律填空:
① 已知$\sqrt[3]{3}\approx1.442$,则$\sqrt[3]{3000}\approx$
② 已知$\sqrt[3]{0.000456}\approx0.07697$,则$\sqrt[3]{456}\approx$
（1）填表：
（2）根据上表的规律,猜想:若$b=1000a$,则$\sqrt[3]{b}=$
$10\sqrt[3]{a}$
（用含$a$的代数式表示）.（3）根据你发现的规律填空:
① 已知$\sqrt[3]{3}\approx1.442$,则$\sqrt[3]{3000}\approx$
14.42
,$\sqrt[3]{0.003}\approx$0.1442
;② 已知$\sqrt[3]{0.000456}\approx0.07697$,则$\sqrt[3]{456}\approx$
7.697
.答案
(1) 从左至右依次为0.01,0.1,1,10,100
(2) $10\sqrt[3]{a}$
(3) ① 14.42 0.1442 ② 7.697
(2) $10\sqrt[3]{a}$
(3) ① 14.42 0.1442 ② 7.697
解析
【分析】
解题时先根据立方根的定义计算表格中各数的立方根完成填表，再观察表格中被开方数和对应立方根的变化规律，总结出被开方数每扩大1000倍，立方根对应扩大10倍的规律，最后应用该规律解决后续的计算问题。第一步填表：找立方等于对应a的数，即为a的立方根；第二步找规律：对比相邻两组a和$\sqrt[3]{a}$的变化倍数，总结规律；第三步应用规律：将所求的被开方数转化为已知立方根的数乘或除以1000的整数次幂，再根据规律计算结果。
【解析】
(1) 根据立方根的定义，若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根：
当$a=0.000001$时，$\because 0.01^3=0.000001$，$\therefore \sqrt[3]{0.000001}=0.01$
当$a=0.001$时，$\because 0.1^3=0.001$，$\therefore \sqrt[3]{0.001}=0.1$
当$a=1$时，$\because 1^3=1$，$\therefore \sqrt[3]{1}=1$
当$a=1000$时，$\because 10^3=1000$，$\therefore \sqrt[3]{1000}=10$
当$a=1000000$时，$\because 100^3=1000000$，$\therefore \sqrt[3]{1000000}=100$
(2) 观察表格规律：被开方数扩大为原来的1000倍时，立方根扩大为原来的10倍。
已知$b=1000a$，$\therefore \sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{1000a}=\sqrt[3]{1000}·\sqrt[3]{a}=10\sqrt[3]{a}$。
(3) 根据上述规律计算：
① 已知$\sqrt[3]{3}\approx1.442$，
$\sqrt[3]{3000}=\sqrt[3]{3×1000}=10×\sqrt[3]{3}\approx10×1.442=14.42$；
$\sqrt[3]{0.003}=\sqrt[3]{3÷1000}=\sqrt[3]{3}÷10\approx1.442÷10=0.1442$。
② 已知$\sqrt[3]{0.000456}\approx0.07697$，
$456=0.000456×1000000=0.000456×1000×1000$，
$\therefore \sqrt[3]{456}\approx0.07697×10×10=7.697$。
【答案】
(1) 从左至右依次为：0.01，0.1，1，10，100
(2) $10\sqrt[3]{a}$
(3) ① 14.42，0.1442；② 7.697
【知识点】
1. 立方根的计算
2. 立方根的变化规律
【点评】
本题是立方根相关的规律探究题，需先通过计算总结出“被开方数扩大（缩小）为原来的1000倍，其立方根对应扩大（缩小）为原来的10倍”的核心规律，再将规律应用到实际计算中，既考查了立方根的基础计算能力，也考查了规律总结与应用能力。
【难度系数】
0.75
解题时先根据立方根的定义计算表格中各数的立方根完成填表，再观察表格中被开方数和对应立方根的变化规律，总结出被开方数每扩大1000倍，立方根对应扩大10倍的规律，最后应用该规律解决后续的计算问题。第一步填表：找立方等于对应a的数，即为a的立方根；第二步找规律：对比相邻两组a和$\sqrt[3]{a}$的变化倍数，总结规律；第三步应用规律：将所求的被开方数转化为已知立方根的数乘或除以1000的整数次幂，再根据规律计算结果。
【解析】
(1) 根据立方根的定义，若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根：
当$a=0.000001$时，$\because 0.01^3=0.000001$，$\therefore \sqrt[3]{0.000001}=0.01$
当$a=0.001$时，$\because 0.1^3=0.001$，$\therefore \sqrt[3]{0.001}=0.1$
当$a=1$时，$\because 1^3=1$，$\therefore \sqrt[3]{1}=1$
当$a=1000$时，$\because 10^3=1000$，$\therefore \sqrt[3]{1000}=10$
当$a=1000000$时，$\because 100^3=1000000$，$\therefore \sqrt[3]{1000000}=100$
(2) 观察表格规律：被开方数扩大为原来的1000倍时，立方根扩大为原来的10倍。
已知$b=1000a$，$\therefore \sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{1000a}=\sqrt[3]{1000}·\sqrt[3]{a}=10\sqrt[3]{a}$。
(3) 根据上述规律计算：
① 已知$\sqrt[3]{3}\approx1.442$，
$\sqrt[3]{3000}=\sqrt[3]{3×1000}=10×\sqrt[3]{3}\approx10×1.442=14.42$；
$\sqrt[3]{0.003}=\sqrt[3]{3÷1000}=\sqrt[3]{3}÷10\approx1.442÷10=0.1442$。
② 已知$\sqrt[3]{0.000456}\approx0.07697$，
$456=0.000456×1000000=0.000456×1000×1000$，
$\therefore \sqrt[3]{456}\approx0.07697×10×10=7.697$。
【答案】
(1) 从左至右依次为：0.01，0.1，1，10，100
(2) $10\sqrt[3]{a}$
(3) ① 14.42，0.1442；② 7.697
【知识点】
1. 立方根的计算
2. 立方根的变化规律
【点评】
本题是立方根相关的规律探究题，需先通过计算总结出“被开方数扩大（缩小）为原来的1000倍，其立方根对应扩大（缩小）为原来的10倍”的核心规律，再将规律应用到实际计算中，既考查了立方根的基础计算能力，也考查了规律总结与应用能力。
【难度系数】
0.75
