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活动一:画一画 算一算
1.（1）阅读《数学实验手册》“实验16 画‘螺旋图’——构造长度为无理数的线段”，完成实验过程1，过程2.与同学交流你的做法.
（2）完成实验16中实验过程3，想一想：数$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,···$是怎样的数？有什么特点？
2. 说说半径为1的圆的面积和周长各是多少.
3. 说说什么是无理数.
1.（1）阅读《数学实验手册》“实验16 画‘螺旋图’——构造长度为无理数的线段”，完成实验过程1，过程2.与同学交流你的做法.
（2）完成实验16中实验过程3，想一想：数$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,···$是怎样的数？有什么特点？
2. 说说半径为1的圆的面积和周长各是多少.
3. 说说什么是无理数.
答案
1. 略
2. 圆的面积等于半径的平方乘π 圆的周长等于直径乘π
3. 无限不循环小数称为无理数
2. 圆的面积等于半径的平方乘π 圆的周长等于直径乘π
3. 无限不循环小数称为无理数
解析
【分析】
本题包含动手实践与基础概念考查两部分内容：1. 第1题属于实践操作类题目，只需按照《数学实验手册》给出的实验步骤，依次完成螺旋图绘制、观察数列特征的操作，再和同学交流做法即可；2. 第2题考查圆的周长、面积计算公式的应用，回忆对应公式，代入半径为1的条件就能推导出结果；3. 第3题是基础概念题，直接回忆无理数的定义作答即可。
【解析】
1. 按照实验手册要求逐步完成“螺旋图”绘制，观察数列$a_1,a_2,a_3···$的特征，和同学交流操作思路即可，过程略。
2. 已知圆的半径$r=1$：
圆的面积公式为$S=π r^2$，代入$r=1$得$S=π×1^2=π$，即圆的面积等于半径的平方乘$π$；
圆的周长公式为$C=2π r=π d$（$d$为直径，$d=2r=2$），代入$r=1$得$C=2π×1=2π$，即圆的周长等于直径乘$π$。
3. 根据无理数的定义，无限不循环小数称为无理数。
【答案】
1. 略
2. 圆的面积等于半径的平方乘π 圆的周长等于直径乘π
3. 无限不循环小数称为无理数
【知识点】
圆的周长与面积计算；无理数的定义
【点评】
本题兼顾实践操作与基础知识点考查，形式灵活，既可以帮助学生通过动手操作直观认识无理数，也能巩固课内基础概念与公式，知识指向性强。
【难度系数】
0.85
本题包含动手实践与基础概念考查两部分内容：1. 第1题属于实践操作类题目，只需按照《数学实验手册》给出的实验步骤，依次完成螺旋图绘制、观察数列特征的操作，再和同学交流做法即可；2. 第2题考查圆的周长、面积计算公式的应用，回忆对应公式，代入半径为1的条件就能推导出结果；3. 第3题是基础概念题，直接回忆无理数的定义作答即可。
【解析】
1. 按照实验手册要求逐步完成“螺旋图”绘制，观察数列$a_1,a_2,a_3···$的特征，和同学交流操作思路即可，过程略。
2. 已知圆的半径$r=1$：
圆的面积公式为$S=π r^2$，代入$r=1$得$S=π×1^2=π$，即圆的面积等于半径的平方乘$π$；
圆的周长公式为$C=2π r=π d$（$d$为直径，$d=2r=2$），代入$r=1$得$C=2π×1=2π$，即圆的周长等于直径乘$π$。
3. 根据无理数的定义，无限不循环小数称为无理数。
【答案】
1. 略
2. 圆的面积等于半径的平方乘π 圆的周长等于直径乘π
3. 无限不循环小数称为无理数
【知识点】
圆的周长与面积计算；无理数的定义
【点评】
本题兼顾实践操作与基础知识点考查，形式灵活，既可以帮助学生通过动手操作直观认识无理数，也能巩固课内基础概念与公式，知识指向性强。
【难度系数】
0.85
活动二:想一想 议一议
1. 阅读课本第70页,尝试用书上的方法估计$\sqrt{3}$的范围(保留小数点后3位数).
2. 判断下列哪个无理数大于2小于3:
$\sqrt{3},\sqrt{6},\sqrt{11}$.
3. $π+1,2\sqrt{3}$是否为无理数?
1. 阅读课本第70页,尝试用书上的方法估计$\sqrt{3}$的范围(保留小数点后3位数).
2. 判断下列哪个无理数大于2小于3:
$\sqrt{3},\sqrt{6},\sqrt{11}$.
3. $π+1,2\sqrt{3}$是否为无理数?
答案
1. 1.732
2. $\sqrt{6}$
3. 是
2. $\sqrt{6}$
3. 是
解析
【分析】
1. 估算$\sqrt{3}$的范围可采用夹逼法：先确定整数部分，再逐步缩小范围到小数点后三位，比较相邻三位小数的平方与3的大小，最终得到保留三位小数的结果；
2. 判断介于2和3之间的无理数，可利用平方的性质：若正数a满足2＜a＜3，则4＜a²＜9，只需计算各选项的平方，判断是否在4到9之间即可；
3. 判断是否为无理数，依据无理数的定义：无限不循环小数是无理数，已知π、$\sqrt{3}$均为无理数，无理数与有理数进行加、乘运算后仍为无理数，即可判断。
【解析】
1. 用夹逼法估算$\sqrt{3}$：
① 因为$1^2=1＜3＜4=2^2$，所以$1＜\sqrt{3}＜2$；
② 因为$1.7^2=2.89＜3＜3.24=1.8^2$，所以$1.7＜\sqrt{3}＜1.8$；
③ 因为$1.73^2=2.9929＜3＜3.0276=1.74^2$，所以$1.73＜\sqrt{3}＜1.74$；
④ 因为$1.732^2=2.999824＜3＜3.003289=1.733^2$，所以保留三位小数得$\sqrt{3}\approx1.732$。
2. 先计算2和3的平方：$2^2=4$，$3^2=9$，若无理数x满足$2＜x＜3$，则$4＜x^2＜9$。
分别计算三个数的平方：
$(\sqrt{3})^2=3＜4$，不符合要求；$(\sqrt{6})^2=6$，满足$4＜6＜9$；$(\sqrt{11})^2=11＞9$，不符合要求，因此符合条件的是$\sqrt{6}$。
3. 根据无理数定义：无限不循环小数是无理数。π是无限不循环小数，因此π+1仍为无限不循环小数，属于无理数；$\sqrt{3}$是无限不循环小数，因此$2\sqrt{3}$仍为无限不循环小数，属于无理数，因此两个数都是无理数。
【答案】
1. 1.732
2. $\sqrt{6}$
3. 是
【知识点】
无理数的估算，无理数的定义，实数大小比较
【点评】
本题围绕无理数的基础知识点展开，考查了夹逼法估算算术平方根、利用平方比较实数大小、无理数的判定，都是实数章节的基础考点，掌握核心概念和估算方法即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
1. 估算$\sqrt{3}$的范围可采用夹逼法：先确定整数部分，再逐步缩小范围到小数点后三位，比较相邻三位小数的平方与3的大小，最终得到保留三位小数的结果；
2. 判断介于2和3之间的无理数，可利用平方的性质：若正数a满足2＜a＜3，则4＜a²＜9，只需计算各选项的平方，判断是否在4到9之间即可；
3. 判断是否为无理数，依据无理数的定义：无限不循环小数是无理数，已知π、$\sqrt{3}$均为无理数，无理数与有理数进行加、乘运算后仍为无理数，即可判断。
【解析】
1. 用夹逼法估算$\sqrt{3}$：
① 因为$1^2=1＜3＜4=2^2$，所以$1＜\sqrt{3}＜2$；
② 因为$1.7^2=2.89＜3＜3.24=1.8^2$，所以$1.7＜\sqrt{3}＜1.8$；
③ 因为$1.73^2=2.9929＜3＜3.0276=1.74^2$，所以$1.73＜\sqrt{3}＜1.74$；
④ 因为$1.732^2=2.999824＜3＜3.003289=1.733^2$，所以保留三位小数得$\sqrt{3}\approx1.732$。
2. 先计算2和3的平方：$2^2=4$，$3^2=9$，若无理数x满足$2＜x＜3$，则$4＜x^2＜9$。
分别计算三个数的平方：
$(\sqrt{3})^2=3＜4$，不符合要求；$(\sqrt{6})^2=6$，满足$4＜6＜9$；$(\sqrt{11})^2=11＞9$，不符合要求，因此符合条件的是$\sqrt{6}$。
3. 根据无理数定义：无限不循环小数是无理数。π是无限不循环小数，因此π+1仍为无限不循环小数，属于无理数；$\sqrt{3}$是无限不循环小数，因此$2\sqrt{3}$仍为无限不循环小数，属于无理数，因此两个数都是无理数。
【答案】
1. 1.732
2. $\sqrt{6}$
3. 是
【知识点】
无理数的估算，无理数的定义，实数大小比较
【点评】
本题围绕无理数的基础知识点展开，考查了夹逼法估算算术平方根、利用平方比较实数大小、无理数的判定，都是实数章节的基础考点，掌握核心概念和估算方法即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
