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活动一:读一读 说一说
1. 面积为2的正方形的边长为多少? 面积为a的正方形的边长为多少?
2. 完成课本第62页的表格填空.
3. 说说算术平方根的定义和算术平方根的性质.
4. 求$\sqrt{(-16)^2}$的值,你的方法是什么?
1. 面积为2的正方形的边长为多少? 面积为a的正方形的边长为多少?
2. 完成课本第62页的表格填空.
3. 说说算术平方根的定义和算术平方根的性质.
4. 求$\sqrt{(-16)^2}$的值,你的方法是什么?
答案
1. $\sqrt{2}$，$\sqrt{a}(a＞0)$
2. 略
3. 略
4. 16
2. 略
3. 略
4. 16
解析
【分析】
1. 解决第1题可结合正方形面积公式推导：正方形面积等于边长的平方，已知面积求边长时，因边长为正数，实际就是求面积的算术平方根，注意面积a必须为正数才有意义。
2. 第2题是课本基础填空，结合课本对应内容完成即可。
3. 第3题可结合课本算术平方根相关概念梳理定义和性质。
4. 第4题解题有两种思路：一是先计算被开方数的结果，再求该结果的算术平方根；二是直接利用算术平方根的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，化简后计算绝对值即可，需注意算术平方根的结果一定是非负数。
【解析】
1. 设正方形边长为$x(x＞0)$，由正方形面积公式$S=x^2$可得：
当$S=2$时，$x^2=2$，解得$x=\sqrt{2}$（边长为正，舍去负根）；
当$S=a$时，$x^2=a$，因$x＞0$，故$a＞0$，解得$x=\sqrt{a}(a＞0)$。
2. 略（对应课本第62页内容完成即可）
3. 略（可参考课本算术平方根相关章节梳理定义和性质）
4. 方法1：先计算被开方数：$(-16)^2=256$，再求256的算术平方根，因$16^2=256$，算术平方根为非负，故$\sqrt{256}=16$。
方法2：根据算术平方根性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得$\sqrt{(-16)^2}=|-16|=16$。
【答案】
1. $\sqrt{2}$，$\sqrt{a}(a＞0)$
2. 略
3. 略
4. 16
【知识点】
算术平方根定义，算术平方根性质，正方形面积计算
【点评】
本题是平方根章节的基础巩固习题，侧重考查对算术平方根核心概念和性质的理解，题目难度较低，掌握基础定义和性质即可顺利解答，是后续学习二次根式、实数相关内容的基础。
【难度系数】
0.85
1. 解决第1题可结合正方形面积公式推导：正方形面积等于边长的平方，已知面积求边长时，因边长为正数，实际就是求面积的算术平方根，注意面积a必须为正数才有意义。
2. 第2题是课本基础填空，结合课本对应内容完成即可。
3. 第3题可结合课本算术平方根相关概念梳理定义和性质。
4. 第4题解题有两种思路：一是先计算被开方数的结果，再求该结果的算术平方根；二是直接利用算术平方根的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，化简后计算绝对值即可，需注意算术平方根的结果一定是非负数。
【解析】
1. 设正方形边长为$x(x＞0)$，由正方形面积公式$S=x^2$可得：
当$S=2$时，$x^2=2$，解得$x=\sqrt{2}$（边长为正，舍去负根）；
当$S=a$时，$x^2=a$，因$x＞0$，故$a＞0$，解得$x=\sqrt{a}(a＞0)$。
2. 略（对应课本第62页内容完成即可）
3. 略（可参考课本算术平方根相关章节梳理定义和性质）
4. 方法1：先计算被开方数：$(-16)^2=256$，再求256的算术平方根，因$16^2=256$，算术平方根为非负，故$\sqrt{256}=16$。
方法2：根据算术平方根性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得$\sqrt{(-16)^2}=|-16|=16$。
【答案】
1. $\sqrt{2}$，$\sqrt{a}(a＞0)$
2. 略
3. 略
4. 16
【知识点】
算术平方根定义，算术平方根性质，正方形面积计算
【点评】
本题是平方根章节的基础巩固习题，侧重考查对算术平方根核心概念和性质的理解，题目难度较低，掌握基础定义和性质即可顺利解答，是后续学习二次根式、实数相关内容的基础。
【难度系数】
0.85
1. 求下列各数的算术平方根：
(1) $0.0081$；
(2) $2\frac{1}{4}$；
(3) $(-6)^2$；
(4) $3$。
(1) $0.0081$；
(2) $2\frac{1}{4}$；
(3) $(-6)^2$；
(4) $3$。
答案
(1) 0.09
(2) $\frac{3}{2}$
(3) 6
(4) $\sqrt{3}$
(2) $\frac{3}{2}$
(3) 6
(4) $\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题核心依据是算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a(a≥0)$，则这个非负数$x$叫做$a$的算术平方根，记为$\sqrt{a}$，规定0的算术平方根为0。解题思路如下：
1. 对于小数形式的被开方数，直接寻找平方后等于该数的正数，注意核对小数点位数；
2. 带分数形式的被开方数，先转化为假分数，再求算术平方根；
3. 含乘方运算的被开方数，先计算出乘方的结果，再求解，注意算术平方根一定是非负数；
4. 若被开方数不是完全平方数，直接用二次根式表示其算术平方根即可。
【解析】
(1) 因为$0.09^2=0.0081$，且0.09是正数，所以0.0081的算术平方根是0.09，即$\sqrt{0.0081}=0.09$；
(2) 先将带分数化为假分数：$2\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$，因为$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，且$\frac{3}{2}$是正数，所以$2\frac{1}{4}$的算术平方根是$\frac{3}{2}$，即$\sqrt{2\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}$；
(3) 先计算乘方：$(-6)^2=36$，因为$6^2=36$，且6是正数，所以$(-6)^2$的算术平方根是6，即$\sqrt{(-6)^2}=6$；
(4) 3不是完全平方数，不存在有理数的平方等于3，所以3的算术平方根是$\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $0.09$；(2) $\frac{3}{2}$；(3) $6$；(4) $\sqrt{3}$
【知识点】
1. 算术平方根的概念
2. 有理数乘方运算
3. 带分数化简
【点评】
本题是算术平方根的基础考查题，解题时要注意算术平方根的非负性，遇到带分数、含乘方的被开方数要先化简再求解，避免出现直接对负数开方、带分数整数部分和分数部分分别开方的错误。
【难度系数】
0.8
解题核心依据是算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a(a≥0)$，则这个非负数$x$叫做$a$的算术平方根，记为$\sqrt{a}$，规定0的算术平方根为0。解题思路如下：
1. 对于小数形式的被开方数，直接寻找平方后等于该数的正数，注意核对小数点位数；
2. 带分数形式的被开方数，先转化为假分数，再求算术平方根；
3. 含乘方运算的被开方数，先计算出乘方的结果，再求解，注意算术平方根一定是非负数；
4. 若被开方数不是完全平方数，直接用二次根式表示其算术平方根即可。
【解析】
(1) 因为$0.09^2=0.0081$，且0.09是正数，所以0.0081的算术平方根是0.09，即$\sqrt{0.0081}=0.09$；
(2) 先将带分数化为假分数：$2\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$，因为$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，且$\frac{3}{2}$是正数，所以$2\frac{1}{4}$的算术平方根是$\frac{3}{2}$，即$\sqrt{2\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}$；
(3) 先计算乘方：$(-6)^2=36$，因为$6^2=36$，且6是正数，所以$(-6)^2$的算术平方根是6，即$\sqrt{(-6)^2}=6$；
(4) 3不是完全平方数，不存在有理数的平方等于3，所以3的算术平方根是$\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $0.09$；(2) $\frac{3}{2}$；(3) $6$；(4) $\sqrt{3}$
【知识点】
1. 算术平方根的概念
2. 有理数乘方运算
3. 带分数化简
【点评】
本题是算术平方根的基础考查题，解题时要注意算术平方根的非负性，遇到带分数、含乘方的被开方数要先化简再求解，避免出现直接对负数开方、带分数整数部分和分数部分分别开方的错误。
【难度系数】
0.8
2. 填空：
(1) 4 的算术平方根是________，3 是________的算术平方根；
(2) 算术平方根等于它本身的数是________；
(3) $\sqrt{25} = \_\_\_\_\_\_$，表示________；
(4) 16 的算术平方根是________，$\sqrt{16}$的算术平方根是________。
(1) 4 的算术平方根是________，3 是________的算术平方根；
(2) 算术平方根等于它本身的数是________；
(3) $\sqrt{25} = \_\_\_\_\_\_$，表示________；
(4) 16 的算术平方根是________，$\sqrt{16}$的算术平方根是________。
答案
(1) 2，9
(2) 0，1
(3) 5，25的算术平方根
(4) 4，2
(2) 0，1
(3) 5，25的算术平方根
(4) 4，2
解析
【分析】
本题全部围绕算术平方根的核心定义展开，解题时先明确算术平方根的概念：若一个非负数x的平方等于a，即x²=a，则这个非负数x叫做a的算术平方根，规定0的算术平方根是0。解题思路如下：
(1) 求4的算术平方根，即找平方等于4的非负数；求3是谁的算术平方根，即计算3的平方即可。
(2) 设该数为x，根据“算术平方根等于本身”列关系√x=x，代入特殊值验证或者解方程即可得到结果。
(3) √a是a的算术平方根的符号表示，计算√25就是求25的算术平方根，符号的含义直接对应定义即可。
(4) 第一空直接求16的算术平方根；第二空注意先计算√16的结果，再对结果求算术平方根，不要直接把16的算术平方根当成答案。
【解析】
首先明确算术平方根定义：对于非负数a，若存在非负数x满足x²=a，则x叫做a的算术平方根，记作√a，0的算术平方根为0。
(1)
∵2²=4，
∴4的算术平方根是2；
∵3²=9，
∴3是9的算术平方根。
(2) 设算术平方根等于本身的数为x，则√x=x，两边平方得x=x²，整理得x(x-1)=0，解得x=0或x=1，经验证均符合要求，故符合条件的数是0和1。
(3)
∵5²=25，
∴√25=5，其中√25表示的是25的算术平方根。
(4)
∵4²=16，
∴16的算术平方根是4；先计算√16=4，再求4的算术平方根：
∵2²=4，
∴√16的算术平方根是2。
【答案】
(1) 2，9
(2) 0，1
(3) 5，25的算术平方根
(4) 4，2
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 算术平方根的运算
3. 算术平方根的性质
【点评】
本题属于平方根章节的基础训练题，侧重考查对算术平方根概念的理解和基础运算能力，易错点为第(4)小问，容易忽略先化简√16，直接求16的算术平方根导致出错，解题时要注意审清题干表述，区分“某数的算术平方根”和“某数的算术平方根的算术平方根”的差异。
【难度系数】
0.8
本题全部围绕算术平方根的核心定义展开，解题时先明确算术平方根的概念：若一个非负数x的平方等于a，即x²=a，则这个非负数x叫做a的算术平方根，规定0的算术平方根是0。解题思路如下：
(1) 求4的算术平方根，即找平方等于4的非负数；求3是谁的算术平方根，即计算3的平方即可。
(2) 设该数为x，根据“算术平方根等于本身”列关系√x=x，代入特殊值验证或者解方程即可得到结果。
(3) √a是a的算术平方根的符号表示，计算√25就是求25的算术平方根，符号的含义直接对应定义即可。
(4) 第一空直接求16的算术平方根；第二空注意先计算√16的结果，再对结果求算术平方根，不要直接把16的算术平方根当成答案。
【解析】
首先明确算术平方根定义：对于非负数a，若存在非负数x满足x²=a，则x叫做a的算术平方根，记作√a，0的算术平方根为0。
(1)
∵2²=4，
∴4的算术平方根是2；
∵3²=9，
∴3是9的算术平方根。
(2) 设算术平方根等于本身的数为x，则√x=x，两边平方得x=x²，整理得x(x-1)=0，解得x=0或x=1，经验证均符合要求，故符合条件的数是0和1。
(3)
∵5²=25，
∴√25=5，其中√25表示的是25的算术平方根。
(4)
∵4²=16，
∴16的算术平方根是4；先计算√16=4，再求4的算术平方根：
∵2²=4，
∴√16的算术平方根是2。
【答案】
(1) 2，9
(2) 0，1
(3) 5，25的算术平方根
(4) 4，2
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 算术平方根的运算
3. 算术平方根的性质
【点评】
本题属于平方根章节的基础训练题，侧重考查对算术平方根概念的理解和基础运算能力，易错点为第(4)小问，容易忽略先化简√16，直接求16的算术平方根导致出错，解题时要注意审清题干表述，区分“某数的算术平方根”和“某数的算术平方根的算术平方根”的差异。
【难度系数】
0.8
