登录
3. 如图，在∠ABC内有一点P.能否在边BA，BC上各找一点M，N，使△PMN的周长最短？若能，请作图确定点M，N的位置(不需证明，不写作法，保留作图痕迹)；若不能，请说明理由.
答案
3. 提示:作点 P 关于AB,BC 的对称点$P_1,P_2$,连接$P_1P_2$,与AB,BC的交点即为M,N
解析
【分析】
要使△PMN的周长最短，即需让PM+MN+NP的和最小。我们可利用轴对称的性质转化线段长度：对称轴上任意一点到两个对称点的距离相等，因此我们可分别作点P关于BA、BC的对称点，将PM、PN分别替换为对称点到M、N的距离，此时△PMN的周长就等于两个对称点之间的折线段长度，再根据“两点之间线段最短”的原理，当折线段变为直线段时长度最短，即可确定M、N的位置。
【解析】
能找到符合要求的点M、N，作图方法如下：
1. 分别作点P关于直线AB的对称点$P_1$，关于直线BC的对称点$P_2$；
2. 连接$P_1P_2$，线段$P_1P_2$与AB的交点即为点M，与BC的交点即为点N。
作图时保留作对称点、连线的辅助线痕迹即可。
【答案】
能，作点P关于AB、BC的对称点$P_1、P_2$，连接$P_1P_2$，与AB、BC的交点即为M、N，保留作图痕迹。
【知识点】
轴对称的性质，最短路径作图，两点之间线段最短
【点评】
本题是轴对称应用的典型题型，核心是通过轴对称变换将折线段的和转化为两点之间的线段长度，结合线段的基本性质求解，熟练掌握该方法可解决同类多条线段和最小的作图问题。
【难度系数】
0.7
要使△PMN的周长最短，即需让PM+MN+NP的和最小。我们可利用轴对称的性质转化线段长度：对称轴上任意一点到两个对称点的距离相等，因此我们可分别作点P关于BA、BC的对称点，将PM、PN分别替换为对称点到M、N的距离，此时△PMN的周长就等于两个对称点之间的折线段长度，再根据“两点之间线段最短”的原理，当折线段变为直线段时长度最短，即可确定M、N的位置。
【解析】
能找到符合要求的点M、N，作图方法如下：
1. 分别作点P关于直线AB的对称点$P_1$，关于直线BC的对称点$P_2$；
2. 连接$P_1P_2$，线段$P_1P_2$与AB的交点即为点M，与BC的交点即为点N。
作图时保留作对称点、连线的辅助线痕迹即可。
【答案】
能，作点P关于AB、BC的对称点$P_1、P_2$，连接$P_1P_2$，与AB、BC的交点即为M、N，保留作图痕迹。
【知识点】
轴对称的性质，最短路径作图，两点之间线段最短
【点评】
本题是轴对称应用的典型题型，核心是通过轴对称变换将折线段的和转化为两点之间的线段长度，结合线段的基本性质求解，熟练掌握该方法可解决同类多条线段和最小的作图问题。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在$△ ABC$中,$AB=BC=AC=12\ \mathrm{cm}$,现有两动点$M,N$分别从点$A,B$同时出发,沿三角形的边运动,已知点$M$的速度为$1\ \mathrm{cm/s}$,点$N$的速度为$2\ \mathrm{cm/s}$.当点$N$第一次到达点$B$时,点$M,N$同时停止运动.
(1) 点$M,N$运动几秒后,$M,N$两点重合?
(2) 点$M,N$运动几秒后,以点$A,M,N$为顶点的三角形是等边三角形?
(3) 当点$M,N$在边$BC$上运动时,连接$AM,AN$,能否得到以$MN$为底边的等腰三角形$AMN$?若能,请求出此时点$M,N$运动的时间.
(1) 点$M,N$运动几秒后,$M,N$两点重合?
(2) 点$M,N$运动几秒后,以点$A,M,N$为顶点的三角形是等边三角形?
(3) 当点$M,N$在边$BC$上运动时,连接$AM,AN$,能否得到以$MN$为底边的等腰三角形$AMN$?若能,请求出此时点$M,N$运动的时间.
答案
4. (1) 12 s
(2) 点$M,N$运动 4 s 后,可得到等边三角形$AMN$
(3) 当点$M,N$在边$BC$上运动时,能得到以$MN$为底边的等腰三角形$AMN$,此时点$M,N$运动的时间为 16 s
(2) 点$M,N$运动 4 s 后,可得到等边三角形$AMN$
(3) 当点$M,N$在边$BC$上运动时,能得到以$MN$为底边的等腰三角形$AMN$,此时点$M,N$运动的时间为 16 s
解析
【分析】
本题是等边三角形背景下的动点问题，可分三问逐步分析：
(1) 两点重合属于追及问题，点N初始在点B，点M在点A，N的速度比M快，路程差为AB的长度12cm，根据路程差列方程即可求解。
(2) 要得到等边△AMN，已知∠MAN=60°，只需满足AM=AN即可，分别用含t的式子表示AM、AN的长度，列方程求解，注意验证动点位置是否符合要求。
(3) 当M、N在BC边上时，要得到以MN为底边的等腰△AMN，需满足AM=AN，可通过证明△ABN≌△ACM，得到BN=CM，再用含t的式子表示BN、CM的长度，列方程求解，先确定两点在BC边上的时间范围，验证解是否符合范围。
【解析】
设点M、N的运动时间为$t\ \mathrm{s}$，由题意得，点N第一次到达B点的总路程为$3×12=36\ \mathrm{cm}$，所以$t$的取值范围为$0≤ t≤18$。
(1) 当M、N两点重合时，点N比点M多走了AB的长度12cm，可列方程：
$2t = t + 12$
解得$t=12$，符合$t≤18$的要求。
(2) 当△AMN为等边三角形时，$∠ MAN=60°$，只需满足$AM=AN$即可：
$AM$的长度为$1× t = t\ \mathrm{cm}$，
$BN$的长度为$2× t = 2t\ \mathrm{cm}$，所以$AN=AB-BN=12-2t\ \mathrm{cm}$，
列方程：$t = 12-2t$
解得$t=4$，此时M在AC上，N在AB上，符合要求。
(3) 能得到以MN为底边的等腰△AMN，理由如下：
首先确定M、N在BC边上的时间范围：
点M到达C点的时间为$12÷1=12\ \mathrm{s}$，点N到达C点的时间为$(12+12)÷2=12\ \mathrm{s}$，所以当$12≤ t≤18$时，两点都在BC边上。
若△AMN是以MN为底边的等腰三角形，则$AM=AN$，所以$∠ AMN=∠ ANM$，可得$∠ AMB=∠ ANC$。
∵△ABC是等边三角形，
∴$AB=AC$，$∠ B=∠ C=60°$，
在△ABN和△ACM中：
$\{\begin{array}{l}∠ B=∠ C\\ AB=AC\\ ∠ ANB=∠ AMC\end{array} $
∴△ABN≌△ACM（AAS），
∴$BN=CM$。
$CM$的长度为M走过的路程减去AC的长度：$CM = t - 12\ \mathrm{cm}$，
$BN$的长度为总周长减去N走过的路程：$BN = 36 - 2t\ \mathrm{cm}$，
列方程：$t - 12 = 36 - 2t$
解得$3t=48$，$t=16$，符合$12≤ t≤18$的要求。
【答案】
(1) $\boldsymbol{12\ \mathrm{s}}$
(2) $\boldsymbol{4\ \mathrm{s}}$
(3) 能，$\boldsymbol{16\ \mathrm{s}}$
【知识点】
等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，动点问题的应用
【点评】
本题以等边三角形为载体，结合动点运动考查了几何性质与一元一次方程的综合应用，需要结合动点的运动阶段分析位置关系，根据几何性质找等量关系列方程，能有效考查数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
本题是等边三角形背景下的动点问题，可分三问逐步分析：
(1) 两点重合属于追及问题，点N初始在点B，点M在点A，N的速度比M快，路程差为AB的长度12cm，根据路程差列方程即可求解。
(2) 要得到等边△AMN，已知∠MAN=60°，只需满足AM=AN即可，分别用含t的式子表示AM、AN的长度，列方程求解，注意验证动点位置是否符合要求。
(3) 当M、N在BC边上时，要得到以MN为底边的等腰△AMN，需满足AM=AN，可通过证明△ABN≌△ACM，得到BN=CM，再用含t的式子表示BN、CM的长度，列方程求解，先确定两点在BC边上的时间范围，验证解是否符合范围。
【解析】
设点M、N的运动时间为$t\ \mathrm{s}$，由题意得，点N第一次到达B点的总路程为$3×12=36\ \mathrm{cm}$，所以$t$的取值范围为$0≤ t≤18$。
(1) 当M、N两点重合时，点N比点M多走了AB的长度12cm，可列方程：
$2t = t + 12$
解得$t=12$，符合$t≤18$的要求。
(2) 当△AMN为等边三角形时，$∠ MAN=60°$，只需满足$AM=AN$即可：
$AM$的长度为$1× t = t\ \mathrm{cm}$，
$BN$的长度为$2× t = 2t\ \mathrm{cm}$，所以$AN=AB-BN=12-2t\ \mathrm{cm}$，
列方程：$t = 12-2t$
解得$t=4$，此时M在AC上，N在AB上，符合要求。
(3) 能得到以MN为底边的等腰△AMN，理由如下：
首先确定M、N在BC边上的时间范围：
点M到达C点的时间为$12÷1=12\ \mathrm{s}$，点N到达C点的时间为$(12+12)÷2=12\ \mathrm{s}$，所以当$12≤ t≤18$时，两点都在BC边上。
若△AMN是以MN为底边的等腰三角形，则$AM=AN$，所以$∠ AMN=∠ ANM$，可得$∠ AMB=∠ ANC$。
∵△ABC是等边三角形，
∴$AB=AC$，$∠ B=∠ C=60°$，
在△ABN和△ACM中：
$\{\begin{array}{l}∠ B=∠ C\\ AB=AC\\ ∠ ANB=∠ AMC\end{array} $
∴△ABN≌△ACM（AAS），
∴$BN=CM$。
$CM$的长度为M走过的路程减去AC的长度：$CM = t - 12\ \mathrm{cm}$，
$BN$的长度为总周长减去N走过的路程：$BN = 36 - 2t\ \mathrm{cm}$，
列方程：$t - 12 = 36 - 2t$
解得$3t=48$，$t=16$，符合$12≤ t≤18$的要求。
【答案】
(1) $\boldsymbol{12\ \mathrm{s}}$
(2) $\boldsymbol{4\ \mathrm{s}}$
(3) 能，$\boldsymbol{16\ \mathrm{s}}$
【知识点】
等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，动点问题的应用
【点评】
本题以等边三角形为载体，结合动点运动考查了几何性质与一元一次方程的综合应用，需要结合动点的运动阶段分析位置关系，根据几何性质找等量关系列方程，能有效考查数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
