2. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=8$，$AD$是底边上的高，$E$是$AC$的中点，则$DE=$.
（第2题）

2. 4

【分析】
首先根据已知条件AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，AD是底边上的高，结合等腰三角形“三线合一”的性质可得AD⊥BC，即△ADC是直角三角形。已知E是AC的中点，结合直角三角形斜边中线的性质即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD是△ABC底边上的高，
∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，△ADC为直角三角形。
∵E是Rt△ADC斜边AC的中点，
∴根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$DE=\frac{1}{2}AC$。
又
∵AC=8，
∴$DE=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
4
【知识点】
等腰三角形三线合一，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是等腰三角形与直角三角形性质的综合基础题，解题的关键是利用等腰三角形三线合一的性质得到直角三角形，再结合直角三角形斜边中线的性质计算，熟练掌握相关基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8

3. 如图，等边三角形ABC的边长为3，点D在边BC上，且BD=1，AD与BE相交于点P，若∠APE=60°，则CE的长为。

3. 1

【分析】
解题时先从等边三角形的性质入手，明确等边三角形三边相等、三个内角均为60°；再利用三角形外角的性质，结合已知∠APE=60°，推导出两组相等的角；最后通过角边角判定三角形全等，利用全等三角形对应边相等即可求出CE的长度。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠C=∠ABC=60°，
∵∠APE是△ABP的外角，
∴∠APE=∠BAD + ∠ABP=60°，
又
∵∠ABP + ∠CBE=∠ABC=60°，
∴∠BAD=∠CBE，
在△ABD和△BCE中：
$\{\begin{array}{l}∠BAD=∠CBE \\AB=BC \\∠ABD=∠C\end{array} $
∴△ABD≌△BCE（ASA），
∴CE=BD，
∵BD=1，
∴CE=1。
【答案】
1
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是通过外角性质建立角的等量关系，进而证明三角形全等，掌握等边三角形性质和全等三角形的判定定理是解题的前提。
【难度系数】
0.7

4. 如图,点 D,E 在△ABC 的边 BC 上,AD=AE,BD=CE. 试说明△ABC是等腰三角形.

证明：
∵ AD=AE，
∴ ∠ADE=∠AED，
∴ 180°-∠ADE = 180°-∠AED，
即 ∠ADB=∠AEC。
在△ABD和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}AD=AE \\∠ADB=∠AEC \\BD=CE\end{array} $
∴ △ABD ≌ △ACE（SAS），
∴ AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形。

【分析】
要说明△ABC是等腰三角形，需证明其两边AB=AC，可通过证明△ABD≌△ACE得到对应边相等。首先由已知AD=AE，利用等腰三角形等边对等角的性质可得∠ADE=∠AED，进而推出二者的邻补角∠ADB=∠AEC，再结合已知的BD=CE、AD=AE，即可利用SAS判定定理证明△ABD和△ACE全等，从而得到AB=AC，即可判定△ABC为等腰三角形。
【解析】
证明：
∵ AD=AE，
∴ ∠ADE=∠AED，
∴ 180°-∠ADE = 180°-∠AED，
即 ∠ADB=∠AEC。
在△ABD和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}AD=AE \\∠ADB=∠AEC \\BD=CE\end{array} $
∴ △ABD ≌ △ACE（SAS），
∴ AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形。
【答案】
△ABC是等腰三角形
【知识点】
1.等腰三角形的性质与判定
2.全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是先利用等腰三角形的性质得到等角，再结合已知条件构造全等三角形，通过全等三角形的性质得到对应边相等，进而完成等腰三角形的判定，对学生的逻辑推理能力有基础的考查。
【难度系数】
0.8

5. 如图，$BD=DC$，$DE⊥ BC$，交$∠ BAC$的平分线于点$E$，$EM⊥ AB$，$EN⊥ AC$，垂足分别为$M$，$N$. 求证:$BM=CN$. （第5题）

5. 如图,连接BE和CE,先根据$△BDE≌△CDE$,可得$BE=CE$,再根据$△MAE≌△NAE$,得到$ME=NE$,根据“HL”,得到$△BEM≌△CEN$

【分析】
要证明$BM=CN$，观察可知两条线段分别在$\mathrm{Rt}△ BEM$和$\mathrm{Rt}△ CEN$中，因此可通过证明这两个直角三角形全等来推导结论。首先凑齐全等的条件：1. 由$AE$是$∠ BAC$的平分线，结合$EM⊥ AB$、$EN⊥ AC$，根据角平分线的性质可得到$EM=EN$；2. 结合$BD=DC$、$DE⊥ BC$，利用垂直平分线的性质可推导得到斜边$BE=CE$。两组边对应相等后，即可用HL证明两个直角三角形全等，得到对应边相等。
【解析】
证明：连接$BE$、$CE$，
1. 推导$BE=CE$：
$\because BD=DC$，$DE⊥ BC$，
$\therefore DE$是线段$BC$的垂直平分线，
$\therefore BE=CE$（也可通过$△ BDE≌△ CDE(\mathrm{SAS})$推导：$BD=CD$，$∠ BDE=∠ CDE=90°$，$DE=DE$，证全等得$BE=CE$）。
2. 推导$EM=EN$：
$\because AE$平分$∠ BAC$，$EM⊥ AB$，$EN⊥ AC$，
$\therefore EM=EN$（角平分线上的点到角两边的距离相等），且$∠ EMB=∠ ENC=90°$。
3. 证明直角三角形全等：
在$\mathrm{Rt}△ BEM$和$\mathrm{Rt}△ CEN$中，
$\begin{cases}BE=CE \\EM=EN\end{cases}$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ BEM≌\mathrm{Rt}△ CEN(\mathrm{HL})$，
$\therefore BM=CN$（全等三角形对应边相等）。
【答案】

【知识点】
角平分线的性质；垂直平分线的性质；直角三角形全等判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心是通过构造辅助线得到全等三角形，解题时要熟练掌握角平分线、垂直平分线的性质，结合待证结论逆向推导所需条件即可快速找到解题思路。
【难度系数】
0.7

1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AD$平分$∠ BAC$，交$BC$于点$D$，若$CD=4$，则点$D$到$AB$的距离是________.

1. 4

【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。题目中已知AD平分∠BAC，点D在角平分线AD上，∠C=90°说明CD是点D到AC边的距离，要求点D到AB的距离，直接利用角平分线的性质即可得到两段距离相等，代入已知CD的长度就能得到结果。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E，DE的长度即为点D到AB的距离。
∵ AD平分∠BAC，∠C=90°（即DC⊥AC），
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ DE = CD，
又
∵ CD=4，
∴ DE=4，即点D到AB的距离为4。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题是基础类考题，核心考查角平分线性质的直接应用，只要熟练掌握角平分线的性质，找准对应点到角两边的距离，即可快速得出答案，解题时注意明确“距离”是垂线段的长度。
【难度系数】
0.9

2. 如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，则∠ADC=°。

2. 60

【分析】
解题思路如下：1. 首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质，结合已知的顶角度数，先求出底角∠B的度数；2. 再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得到AD=BD，进而推出∠BAD=∠B；3. 最后利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，计算出∠ADC的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=(180°−∠BAC)÷2=(180°−120°)÷2=30°，
∵点D在AB的垂直平分线上，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠B=30°，
又
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=30°+30°=60°。
【答案】
60
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，综合考查了多个基础几何性质的应用，解题的关键是熟练掌握相关性质并灵活应用，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7