1. 感受化归思想.
如图1-24,等边三角形ABC的边长为1,D,E分别是AB,AC上的点,将△ADE沿直线DE折叠,点A落在点$A'$处,且点$A'$在△ABC的外部,则阴影部分的周长为.

1. 3

【分析】
要计算阴影部分的周长，直接拆分求各段边长难度较大，可结合折叠性质转化线段：折叠前后对应边长度相等，即$AD=A'D$、$AE=A'E$，通过等量替换可将阴影部分周长转化为原等边三角形$ABC$的周长，进而快速求解。
【解析】
解：由折叠的性质可知，$△ ADE$与$△ A'DE$全等，因此$AD=A'D$，$AE=A'E$。
阴影部分的周长可表示为：
$C_{\mathrm{阴影}}=BD+A'D+BF+FC+CE+A'E$
将$A'D$替换为$AD$、$A'E$替换为$AE$，得：
$C_{\mathrm{阴影}}=BD+AD+BF+FC+CE+AE=(BD+AD)+(BF+FC)+(CE+AE)=AB+BC+AC$
已知等边$△ ABC$边长为1，即$AB=BC=AC=1$，因此：
$C_{\mathrm{阴影}}=1+1+1=3$
【答案】
$3$
【知识点】
折叠的性质；等边三角形的性质；周长的计算
【点评】
本题通过折叠的性质实现线段的等量转化，将不规则图形的周长转化为规则等边三角形的周长，体现了化归的数学思想，解题核心是准确识别折叠前后相等的对应线段。
【难度系数】
0.75

2. 感受分类思想.
（1）在等腰三角形ABC中，$∠ A=80°$，求$∠ B$的度数；
（2）等腰三角形ABC的周长为8，AB=3，求BC的长.

（1）50°或20°或80°
（2）2或2.5或3

【分析】
本题两小问均需结合等腰三角形的性质运用分类讨论思想求解：
（1）已知等腰三角形一个内角的度数，未明确该角是顶角还是底角，需分三类讨论：①∠A为顶角，②∠A为底角且∠B为底角，③∠A为底角且∠B为顶角，结合三角形内角和定理计算，同时验证结果是否符合内角和要求。
（2）已知等腰三角形的周长和一边长，未明确该边是腰还是底边，需分三类讨论：①AB为腰且BC为腰，②AB为腰且BC为底边，③AB为底边且BC为腰，结合周长公式计算边长后，用三角形三边关系验证是否能构成三角形即可。
【解析】
（1）根据等腰三角形两底角相等，三角形内角和为$180°$，分情况讨论：
①若∠A为等腰三角形的顶角，∠B、∠C为相等的底角：
$∠ B=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-80°}{2}=50°$
②若∠A为底角，且∠B也为底角，则$∠ B=∠ A=80°$
③若∠A为底角，且∠B为顶角，则$∠ B=180°-2∠ A=180°-2×80°=20°$
三种情况均符合三角形内角和定理，均成立。
（2）根据等腰三角形两腰相等，周长为三边之和，且三角形任意两边之和大于第三边，分情况讨论：
①若AB为腰，且BC也为腰，则$BC=AB=3$，此时底边长为$8-3-3=2$，三边长为3、3、2，满足$3+2＞3$，可构成三角形，符合要求；
②若AB为腰，BC为底边，则$BC=8-2× AB=8-2×3=2$，三边长为3、3、2，满足$3+2＞3$，可构成三角形，符合要求；
③若AB为底边，BC为腰，则腰长$BC=\frac{8-AB}{2}=\frac{8-3}{2}=2.5$，三边长为2.5、2.5、3，满足$2.5+2.5＞3$，可构成三角形，符合要求。
【答案】
（1）$50°$或$20°$或$80°$
（2）$2$或$2.5$或$3$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形三边关系
【点评】
本题核心考查分类讨论思想在等腰三角形问题中的应用，解题时需注意等腰三角形未明确顶角、底角或腰、底边时，均要分情况讨论，同时对计算结果要验证是否满足三角形的基本性质，避免出现漏解或不符合定义的错误。
【难度系数】
0.6

3. 感受方程思想.
如图1-25,在△ABC中,点D在边AC上,点E在边AB上,且AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB,求∠A的度数.

设∠EBD=x°,
∵ EB=DE,
∴ ∠BDE=∠EBD=x°.
∴ ∠AED=∠EBD+∠BDE=2x°.
∵ AD=DE,
∴ ∠A=∠AED=2x°.
∴ ∠BDC=∠A+∠ABD=3x°.
∵ BD=BC,
∴ ∠C=∠BDC=3x°.
∵ AB=AC,
∴ ∠ABC=∠C=3x°.
∵ ∠A+∠ABC+∠C=180°,即2x+3x+3x=180,解得x=22.5,
∴ ∠A=2x°=45°

【分析】
本题中存在多组相等的线段，对应多个等腰三角形，我们可以通过设最小的未知角为未知数，结合等腰三角形“等边对等角”的性质、三角形外角的性质，将△ABC的三个内角都用该未知数表示，最后利用三角形内角和为180°列方程求解，即可得到∠A的度数。
【解析】
设∠EBD=x°，
∵ EB=DE，
∴ ∠BDE=∠EBD=x°，
由三角形外角的性质可得：∠AED=∠EBD+∠BDE=2x°，
∵ AD=DE，
∴ ∠A=∠AED=2x°，
同理，∠BDC是△ABD的外角，故∠BDC=∠A+∠ABD=2x°+x°=3x°，
∵ BD=BC，
∴ ∠C=∠BDC=3x°，
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠C=3x°，
在△ABC中，由三角形内角和定理得：∠A+∠ABC+∠C=180°，
代入得：2x+3x+3x=180，
解得x=22.5，
∴ ∠A=2x°=45°。
【答案】
45°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质与三角形角度计算的综合题，解题的核心是合理设未知数，利用角的数量关系将所有相关内角用同一个未知数表示，通过建立方程求解，很好地体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6

1. 如图,在$△ ABC$和$△ ABD$中,$∠ C=∠ D=90°$,若利用“AAS”说明$△ ABC≌△ ABD$,则需要添加条件或;若利用“HL”说明$△ ABC≌△ ABD$,则需要添加条件或.

1. $∠CAB=∠DAB$ $∠CBA=∠DBA$ $AC=AD$ $BC=BD$

【分析】
首先梳理题中已知条件：△ABC和△ABD都是直角三角形，有公共斜边AB，已经存在两组相等的量：∠C=∠D=90°，AB=AB。接下来结合不同的全等判定定理推导需补充的条件：①用AAS判定全等时，需要两组角及其中一组角的对边对应相等，现在已有一组等角和一组对边（AB）相等，只需再补充一组对应角相等即可；②用HL判定直角三角形全等时，需要斜边和一条直角边对应相等，现在斜边AB已经相等，只需补充一组直角边对应相等即可。
【解析】
解：在△ABC和△ABD中，已知∠C=∠D=90°，AB=AB（公共边）。
1. 若利用“AAS”证明△ABC≌△ABD：
AAS判定要求两个角及其中一个角的对边对应相等，已有∠C=∠D，且AB是∠C、∠D的对边，已经相等，因此只需再添加一组对应角相等：
添加∠CAB=∠DAB时，满足$\begin{cases}∠C=∠D\\∠CAB=∠DAB\\AB=AB\end{cases}$，符合AAS判定条件；
添加∠CBA=∠DBA时，满足$\begin{cases}∠C=∠D\\∠CBA=∠DBA\\AB=AB\end{cases}$，符合AAS判定条件。
2. 若利用“HL”证明△ABC≌△ABD：
HL是直角三角形特有的判定定理，要求斜边和一条直角边对应相等，已知斜边AB公共相等，因此只需添加一组直角边对应相等：
添加AC=AD时，Rt△ABC和Rt△ABD满足$\begin{cases}AB=AB\\AC=AD\end{cases}$，符合HL判定条件；
添加BC=BD时，Rt△ABC和Rt△ABD满足$\begin{cases}AB=AB\\BC=BD\end{cases}$，符合HL判定条件。
【答案】
$∠CAB=∠DAB$；$∠CBA=∠DBA$；$AC=AD$；$BC=BD$
【知识点】
AAS判定全等；HL判定全等；公共边性质
【点评】
本题考查全等三角形判定定理的应用，解题核心是先明确已有的相等条件，再结合对应判定规则补充缺失的条件，要注意HL判定仅适用于直角三角形的全等证明。
【难度系数】
0.8