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3. (1) $(\sqrt{3})^2, (\sqrt{-2})^2, \sqrt{(-5)^2}$有意义吗？为什么？
(2) 计算:$(\sqrt{0.01})^2=\_\_\_\_\_\_, (\sqrt{5})^2=\_\_\_\_\_\_, \sqrt{16^2}=\_\_\_\_\_\_, \sqrt{(-16)^2}=\_\_\_\_\_\_.$
(3) 观察第(2)题中等式，你能得出什么结论？
(2) 计算:$(\sqrt{0.01})^2=\_\_\_\_\_\_, (\sqrt{5})^2=\_\_\_\_\_\_, \sqrt{16^2}=\_\_\_\_\_\_, \sqrt{(-16)^2}=\_\_\_\_\_\_.$
(3) 观察第(2)题中等式，你能得出什么结论？
答案
(1) 略
(2) 0.01，5，16，16
(3) 结论：$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，$\sqrt{a^2}=|a|$
(2) 0.01，5，16，16
(3) 结论：$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，$\sqrt{a^2}=|a|$
解析
【分析】
解题思路如下：(1) 解决第一问首先要明确二次根式有意义的判定规则：只有被开方数为非负数时，二次根式才有意义，我们只需分别提取三个式子的被开方数，判断是否非负即可。(2) 第二问计算可直接运用二次根式的基础性质：非负数的算术平方根的平方等于它本身；一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，代入对应数值计算即可。(3) 第三问通过观察第二问的计算结果，分别归纳$(\sqrt{a})^2$和$\sqrt{a^2}$的运算规律，注意标注对应式子的取值范围。
【解析】
(1) 二次根式有意义的条件是被开方数为非负数：
① $(\sqrt{3})^2$的被开方数是3，$3≥0$，因此该式子有意义；
② $(\sqrt{-2})^2$的被开方数是-2，$-2＜0$，$\sqrt{-2}$本身无意义，因此该式子无意义；
③ $\sqrt{(-5)^2}$的被开方数是$(-5)^2=25$，$25≥0$，因此该式子有意义。
(2) 根据二次根式性质计算：
$(\sqrt{0.01})^2=0.01$（$0.01≥0$，满足非负数的算术平方根的平方等于它本身）；
$(\sqrt{5})^2=5$（$5≥0$，满足非负数的算术平方根的平方等于它本身）；
$\sqrt{16^2}=|16|=16$；
$\sqrt{(-16)^2}=|-16|=16$。
(3) 观察计算结果可归纳得到通用结论：非负数的算术平方根的平方等于它本身，任意实数的平方的算术平方根等于它的绝对值。
【答案】
(1) $(\sqrt{3})^2$有意义，被开方数3为非负数；$(\sqrt{-2})^2$无意义，被开方数-2为负数；$\sqrt{(-5)^2}$有意义，被开方数$(-5)^2=25$为非负数。
(2) 0.01，5，16，16
(3) $(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，$\sqrt{a^2}=|a|$
【知识点】
二次根式有意义的判定，二次根式的性质，算术平方根计算
【点评】
本题是平方根章节的基础题型，重点考查对二次根式核心性质的理解与运用，区分$(\sqrt{a})^2$和$\sqrt{a^2}$的运算规则是解题关键，掌握该知识点可为后续二次根式的化简、运算打好基础。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：(1) 解决第一问首先要明确二次根式有意义的判定规则：只有被开方数为非负数时，二次根式才有意义，我们只需分别提取三个式子的被开方数，判断是否非负即可。(2) 第二问计算可直接运用二次根式的基础性质：非负数的算术平方根的平方等于它本身；一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，代入对应数值计算即可。(3) 第三问通过观察第二问的计算结果，分别归纳$(\sqrt{a})^2$和$\sqrt{a^2}$的运算规律，注意标注对应式子的取值范围。
【解析】
(1) 二次根式有意义的条件是被开方数为非负数：
① $(\sqrt{3})^2$的被开方数是3，$3≥0$，因此该式子有意义；
② $(\sqrt{-2})^2$的被开方数是-2，$-2＜0$，$\sqrt{-2}$本身无意义，因此该式子无意义；
③ $\sqrt{(-5)^2}$的被开方数是$(-5)^2=25$，$25≥0$，因此该式子有意义。
(2) 根据二次根式性质计算：
$(\sqrt{0.01})^2=0.01$（$0.01≥0$，满足非负数的算术平方根的平方等于它本身）；
$(\sqrt{5})^2=5$（$5≥0$，满足非负数的算术平方根的平方等于它本身）；
$\sqrt{16^2}=|16|=16$；
$\sqrt{(-16)^2}=|-16|=16$。
(3) 观察计算结果可归纳得到通用结论：非负数的算术平方根的平方等于它本身，任意实数的平方的算术平方根等于它的绝对值。
【答案】
(1) $(\sqrt{3})^2$有意义，被开方数3为非负数；$(\sqrt{-2})^2$无意义，被开方数-2为负数；$\sqrt{(-5)^2}$有意义，被开方数$(-5)^2=25$为非负数。
(2) 0.01，5，16，16
(3) $(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，$\sqrt{a^2}=|a|$
【知识点】
二次根式有意义的判定，二次根式的性质，算术平方根计算
【点评】
本题是平方根章节的基础题型，重点考查对二次根式核心性质的理解与运用，区分$(\sqrt{a})^2$和$\sqrt{a^2}$的运算规则是解题关键，掌握该知识点可为后续二次根式的化简、运算打好基础。
【难度系数】
0.8
4. 一块面积为$19.6\ \mathrm{m}^2$的长方形菜地，恰好可以分割成10块大小相同的小正方形菜地。
求每一块小正方形菜地的边长。
求每一块小正方形菜地的边长。
答案
1.4 m
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：①已知长方形总面积和分割成的相同小正方形的数量，先通过“总面积÷块数”求出单个小正方形的面积；②正方形的面积等于边长的平方，由于边长为正数，因此只需计算单块正方形面积的算术平方根，即可得到小正方形的边长。
【解析】
设每块小正方形菜地的边长为$x\ \mathrm{m}$，则每块小正方形的面积为$x^2\ \mathrm{m}^2$。
根据题意，10块小正方形的总面积等于长方形菜地的面积，可列方程：
$10x^2 = 19.6$
整理得：$x^2 = 19.6÷10 = 1.96$
因为边长为正数，所以$x = \sqrt{1.96} = 1.4$
【答案】
1.4 m
【知识点】
算术平方根的应用；正方形面积计算
【点评】
本题属于平方根的基础应用题型，解题核心是先求出单个小正方形的面积，再结合算术平方根的非负性求解边长，需要注意实际问题中长度取正值。
【难度系数】
0.8
解题时可按以下思路推导：①已知长方形总面积和分割成的相同小正方形的数量，先通过“总面积÷块数”求出单个小正方形的面积；②正方形的面积等于边长的平方，由于边长为正数，因此只需计算单块正方形面积的算术平方根，即可得到小正方形的边长。
【解析】
设每块小正方形菜地的边长为$x\ \mathrm{m}$，则每块小正方形的面积为$x^2\ \mathrm{m}^2$。
根据题意，10块小正方形的总面积等于长方形菜地的面积，可列方程：
$10x^2 = 19.6$
整理得：$x^2 = 19.6÷10 = 1.96$
因为边长为正数，所以$x = \sqrt{1.96} = 1.4$
【答案】
1.4 m
【知识点】
算术平方根的应用；正方形面积计算
【点评】
本题属于平方根的基础应用题型，解题核心是先求出单个小正方形的面积，再结合算术平方根的非负性求解边长，需要注意实际问题中长度取正值。
【难度系数】
0.8
1. 一个数的算术平方根只要存在，这个数的算术平方根 （
A.只有一个，并且是正数
B.不可能等于零
C.一定小于这个数
D.必定是非负数
D
）A.只有一个，并且是正数
B.不可能等于零
C.一定小于这个数
D.必定是非负数
答案
D
解析
【分析】
解题首先要明确算术平方根的定义与性质：若一个非负数x的平方等于a（$x^2=a$），则x叫做a的算术平方根，其中0的算术平方根为0。我们可以通过结合定义、举反例的方式逐一验证每个选项，排除错误表述后得到正确答案。
【解析】
根据算术平方根的定义：正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，据此逐一分析选项：
选项A：0的算术平方根是0，不属于正数，因此算术平方根不一定是正数，A错误；
选项B：0的算术平方根等于0，因此算术平方根可能为0，B错误；
选项C：举反例：1的算术平方根是1，等于原数；0.01的算术平方根是0.1，大于原数0.01，因此算术平方根不一定小于原数，C错误；
选项D：正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，正数和0统称非负数，因此算术平方根必定是非负数，D正确。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的定义、算术平方根的非负性
【点评】
本题主要考查对算术平方根相关概念的理解，解题时可借助特殊值（如0、1、小于1的正小数）举反例的方式快速排除错误选项，注意不要忽略0的算术平方根的特殊情况，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确算术平方根的定义与性质：若一个非负数x的平方等于a（$x^2=a$），则x叫做a的算术平方根，其中0的算术平方根为0。我们可以通过结合定义、举反例的方式逐一验证每个选项，排除错误表述后得到正确答案。
【解析】
根据算术平方根的定义：正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，据此逐一分析选项：
选项A：0的算术平方根是0，不属于正数，因此算术平方根不一定是正数，A错误；
选项B：0的算术平方根等于0，因此算术平方根可能为0，B错误；
选项C：举反例：1的算术平方根是1，等于原数；0.01的算术平方根是0.1，大于原数0.01，因此算术平方根不一定小于原数，C错误；
选项D：正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，正数和0统称非负数，因此算术平方根必定是非负数，D正确。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的定义、算术平方根的非负性
【点评】
本题主要考查对算术平方根相关概念的理解，解题时可借助特殊值（如0、1、小于1的正小数）举反例的方式快速排除错误选项，注意不要忽略0的算术平方根的特殊情况，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
2. 填空题：
（1）若$\sqrt{a}=1.2$，则$a=$
（2）$\sqrt{16}$的算术平方根是
（1）若$\sqrt{a}=1.2$，则$a=$
1.44
；若$\sqrt{m^2}=2$，则$m=$±2
。（2）$\sqrt{16}$的算术平方根是
2
，$(-4)^2$的算术平方根是4
。答案
(1) 1.44，$\pm2$
(2) 2，4
(2) 2，4
解析
【分析】
解题时紧扣算术平方根的定义、二次根式的性质逐步推导：
1. 第一小问：已知$\sqrt{a}=1.2$，根据算术平方根的定义，被开方数$a$等于算术平方根的平方，直接计算即可；对于$\sqrt{m^2}=2$，根据二次根式性质$\sqrt{x^2}=|x|$，先得到$|m|=2$，再根据绝对值的意义求$m$的取值。
2. 第二小问：求算术平方根时需先化简原式：先算出$\sqrt{16}$的结果为4，再求4的算术平方根；先算出$(-4)^2$的结果为16，再求16的算术平方根，注意算术平方根的结果为非负数。
【解析】
(1) ① 由算术平方根的定义可知，若$\sqrt{a} = x$（$x≥0$），则$a=x^2$，代入$x=1.2$得：$a=1.2^2=1.44$；
② 由二次根式的性质可得$\sqrt{m^2}=|m|=2$，根据绝对值的意义，绝对值为2的数是$\pm2$，即$m=\pm2$；
(2) ① 先化简$\sqrt{16}=4$，再求4的算术平方根：
∵$2^2=4$且$2＞0$，
∴4的算术平方根是2，即$\sqrt{16}$的算术平方根是2；
② 先计算乘方得$(-4)^2=16$，
∵$4^2=16$且$4＞0$，
∴16的算术平方根是4，即$(-4)^2$的算术平方根是4。
【答案】
(1) $1.44$，$\pm2$
(2) $2$，$4$
【知识点】
算术平方根定义，二次根式性质，乘方运算
【点评】
本题属于平方根章节的基础常考题，重点考查对算术平方根非负性的理解，易错点为未先化简原式直接求算术平方根、忽略$\sqrt{m^2}$的结果为绝对值从而漏写$m$的负值，牢记定义和运算顺序即可避免出错。
【难度系数】
0.7
解题时紧扣算术平方根的定义、二次根式的性质逐步推导：
1. 第一小问：已知$\sqrt{a}=1.2$，根据算术平方根的定义，被开方数$a$等于算术平方根的平方，直接计算即可；对于$\sqrt{m^2}=2$，根据二次根式性质$\sqrt{x^2}=|x|$，先得到$|m|=2$，再根据绝对值的意义求$m$的取值。
2. 第二小问：求算术平方根时需先化简原式：先算出$\sqrt{16}$的结果为4，再求4的算术平方根；先算出$(-4)^2$的结果为16，再求16的算术平方根，注意算术平方根的结果为非负数。
【解析】
(1) ① 由算术平方根的定义可知，若$\sqrt{a} = x$（$x≥0$），则$a=x^2$，代入$x=1.2$得：$a=1.2^2=1.44$；
② 由二次根式的性质可得$\sqrt{m^2}=|m|=2$，根据绝对值的意义，绝对值为2的数是$\pm2$，即$m=\pm2$；
(2) ① 先化简$\sqrt{16}=4$，再求4的算术平方根：
∵$2^2=4$且$2＞0$，
∴4的算术平方根是2，即$\sqrt{16}$的算术平方根是2；
② 先计算乘方得$(-4)^2=16$，
∵$4^2=16$且$4＞0$，
∴16的算术平方根是4，即$(-4)^2$的算术平方根是4。
【答案】
(1) $1.44$，$\pm2$
(2) $2$，$4$
【知识点】
算术平方根定义，二次根式性质，乘方运算
【点评】
本题属于平方根章节的基础常考题，重点考查对算术平方根非负性的理解，易错点为未先化简原式直接求算术平方根、忽略$\sqrt{m^2}$的结果为绝对值从而漏写$m$的负值，牢记定义和运算顺序即可避免出错。
【难度系数】
0.7
3. 求下列各数的算术平方根：
(1) 49；
(2) 0；
(3) $\frac{169}{9}$；
(4) $(-3)^2$。
(1) 49；
(2) 0；
(3) $\frac{169}{9}$；
(4) $(-3)^2$。
答案
(1) 7
(2) 0
(3) $\frac{13}{3}$
(4) 3
(2) 0
(3) $\frac{13}{3}$
(4) 3
解析
【分析】
解题前先回忆算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么这个非负数$x$就叫做$a$的算术平方根，特别规定0的算术平方根是0。解题时按两步走：第一步如果所求的数带运算，先计算出它的最简结果；第二步找到满足平方等于该数的非负数，这个数就是对应的算术平方根，注意算术平方根一定是非负的，比如第(4)题不能直接取底数$-3$作为结果。
【解析】
(1) 因为$7^2=49$，结合算术平方根的定义，可得49的算术平方根是7；
(2) 根据算术平方根的特殊规定，0的算术平方根是0；
(3) 因为$(\frac{13}{3})^2=\frac{169}{9}$，结合算术平方根的定义，可得$\frac{169}{9}$的算术平方根是$\frac{13}{3}$；
(4) 先计算$(-3)^2=9$，又因为$3^2=9$，结合算术平方根的定义，可得$(-3)^2$的算术平方根是3。
【答案】
(1) 7；(2) 0；(3) $\frac{13}{3}$；(4) 3
【知识点】
算术平方根的概念；有理数乘方运算；开平方运算
【点评】
本题考查算术平方根的基础应用，解题关键是牢记算术平方根的非负性，遇到含运算的数时要先化简再求算术平方根，避免直接取负数底数的典型错误。
【难度系数】
0.85
解题前先回忆算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么这个非负数$x$就叫做$a$的算术平方根，特别规定0的算术平方根是0。解题时按两步走：第一步如果所求的数带运算，先计算出它的最简结果；第二步找到满足平方等于该数的非负数，这个数就是对应的算术平方根，注意算术平方根一定是非负的，比如第(4)题不能直接取底数$-3$作为结果。
【解析】
(1) 因为$7^2=49$，结合算术平方根的定义，可得49的算术平方根是7；
(2) 根据算术平方根的特殊规定，0的算术平方根是0；
(3) 因为$(\frac{13}{3})^2=\frac{169}{9}$，结合算术平方根的定义，可得$\frac{169}{9}$的算术平方根是$\frac{13}{3}$；
(4) 先计算$(-3)^2=9$，又因为$3^2=9$，结合算术平方根的定义，可得$(-3)^2$的算术平方根是3。
【答案】
(1) 7；(2) 0；(3) $\frac{13}{3}$；(4) 3
【知识点】
算术平方根的概念；有理数乘方运算；开平方运算
【点评】
本题考查算术平方根的基础应用，解题关键是牢记算术平方根的非负性，遇到含运算的数时要先化简再求算术平方根，避免直接取负数底数的典型错误。
【难度系数】
0.85
4. 计算：
(1) $\pm\sqrt{400}$；
(2) $-\sqrt{2.25}$；
(3) $\pm\sqrt{1\dfrac{9}{16}}$；
(4) $\sqrt{10^{-2}}$。
(1) $\pm\sqrt{400}$；
(2) $-\sqrt{2.25}$；
(3) $\pm\sqrt{1\dfrac{9}{16}}$；
(4) $\sqrt{10^{-2}}$。
答案
(1) $\pm20$
(2) $-1.5$
(3) $\pm\frac{5}{4}$
(4) $\frac{1}{10}$
(2) $-1.5$
(3) $\pm\frac{5}{4}$
(4) $\frac{1}{10}$
解析
【分析】
本题考查平方根与算术平方根的运算，解题思路如下：1. 先明确各式的意义：$\pm\sqrt{a}$表示求$a$的平方根（即正负两个平方根），$-\sqrt{a}$表示求$a$的算术平方根的相反数，$\sqrt{a}$表示求$a$的算术平方根（结果为非负数）；2. 把被开方数整理为最简形式（带分数化假分数、负指数幂化为正分数）；3. 根据平方运算找到平方等于被开方数的数，即可得到对应结果。
【解析】
(1) 因为$20^2=400$，根据平方根的定义，400的平方根为$\pm20$，所以$\pm\sqrt{400}=\pm20$；
(2) 因为$1.5^2=2.25$，所以2.25的算术平方根为$1.5$，因此$-\sqrt{2.25}=-1.5$；
(3) 先将带分数化为假分数：$1\dfrac{9}{16}=\dfrac{16+9}{16}=\dfrac{25}{16}$，又因为$(\dfrac{5}{4})^2=\dfrac{25}{16}$，所以$\dfrac{25}{16}$的平方根为$\pm\dfrac{5}{4}$，即$\pm\sqrt{1\dfrac{9}{16}}=\pm\dfrac{5}{4}$；
(4) 先化简被开方数：$10^{-2}=\dfrac{1}{10^2}=\dfrac{1}{100}$，因为$(\dfrac{1}{10})^2=\dfrac{1}{100}$，所以$\dfrac{1}{100}$的算术平方根为$\dfrac{1}{10}$，即$\sqrt{10^{-2}}=\dfrac{1}{10}$。
【答案】
(1) $\pm20$；(2) $-1.5$；(3) $\pm\dfrac{5}{4}$；(4) $\dfrac{1}{10}$
【知识点】
平方根的概念，算术平方根的概念，开平方运算
【点评】
本题是平方根的基础运算题，核心是区分平方根和算术平方根的符号表示与意义，解题时注意先将被开方数转化为便于开方的形式，避免因符号判断或被开方数化简错误失分。
【难度系数】
0.9
本题考查平方根与算术平方根的运算，解题思路如下：1. 先明确各式的意义：$\pm\sqrt{a}$表示求$a$的平方根（即正负两个平方根），$-\sqrt{a}$表示求$a$的算术平方根的相反数，$\sqrt{a}$表示求$a$的算术平方根（结果为非负数）；2. 把被开方数整理为最简形式（带分数化假分数、负指数幂化为正分数）；3. 根据平方运算找到平方等于被开方数的数，即可得到对应结果。
【解析】
(1) 因为$20^2=400$，根据平方根的定义，400的平方根为$\pm20$，所以$\pm\sqrt{400}=\pm20$；
(2) 因为$1.5^2=2.25$，所以2.25的算术平方根为$1.5$，因此$-\sqrt{2.25}=-1.5$；
(3) 先将带分数化为假分数：$1\dfrac{9}{16}=\dfrac{16+9}{16}=\dfrac{25}{16}$，又因为$(\dfrac{5}{4})^2=\dfrac{25}{16}$，所以$\dfrac{25}{16}$的平方根为$\pm\dfrac{5}{4}$，即$\pm\sqrt{1\dfrac{9}{16}}=\pm\dfrac{5}{4}$；
(4) 先化简被开方数：$10^{-2}=\dfrac{1}{10^2}=\dfrac{1}{100}$，因为$(\dfrac{1}{10})^2=\dfrac{1}{100}$，所以$\dfrac{1}{100}$的算术平方根为$\dfrac{1}{10}$，即$\sqrt{10^{-2}}=\dfrac{1}{10}$。
【答案】
(1) $\pm20$；(2) $-1.5$；(3) $\pm\dfrac{5}{4}$；(4) $\dfrac{1}{10}$
【知识点】
平方根的概念，算术平方根的概念，开平方运算
【点评】
本题是平方根的基础运算题，核心是区分平方根和算术平方根的符号表示与意义，解题时注意先将被开方数转化为便于开方的形式，避免因符号判断或被开方数化简错误失分。
【难度系数】
0.9
