5 [2025 山西]如图，AB为$\odot O$的直径，C，D是$\odot O$上位于AB异侧的两点，连结AD，CD。若$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，则$∠ D$的度数为（）

A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$

5. B

6 [2025 长沙]如图，AC，BC为$\odot O$的弦，连结OA，OB，OC。若$∠ AOB = 40°$，$∠ OCA = 30°$，则$∠ BCO$的度数为（）

A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$55°$

6. C

7 [2025 广西]如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上，$∠ ABC=65°$，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$。
（1）求证：$△ BOC ≌ △ DOC$；
（2）求$∠ ABD$的度数。

7. (1) 因为$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$,所以$∠BOC=∠DOC$. 在$△BOC$和$△DOC$中,$\begin{cases} OB=OD, \\ ∠BOC=∠DOC, \\ OC=OC, \end{cases}$所以$△BOC≌△DOC$
(2) 因为$OC=OB$,所以$∠ABC=∠OCB=65°$. 所以$∠COB=180°-∠ABC-∠OCB=180°-65°-65°=50°$. 所以$∠DOC=∠BOC=50°$. 所以$∠AOD=180°-∠DOC-∠BOC=180°-50°-50°=80°$. 所以$∠ABD=\frac{1}{2}∠AOD=40°$

8 如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，AC平分∠DAB，与BD交于点E，连结OC，交BD于点F。
（1）求证：OC//AD；
（2）若OC＝18，E为AC的中点，求OF的长。

8. (1) 因为AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，所以$∠D=90°$. 因为AC平分$∠DAB$，所以$∠CAB=∠DAC$. 所以$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$. 所以$OC⊥BD$. 所以$∠EFC=∠D=90°$. 所以$OC// AD$
(2) 由(1)，得$OC⊥BD$，$∠EFC=∠D=90°$,所以$FD=FB$. 因为$OA=OB$，所以OF是$△ABD$的中位线. 所以$OF=\frac{1}{2}AD$. 因为E为AC的中点，所以$CE=AE$. 在$△CEF$和$△AED$中,$\begin{cases} ∠CEF=∠AED, \\ ∠EFC=∠D, \\ CE=AE, \end{cases}$ 所以$△CEF≌△AED$. 所以$CF=AD$. 所以$OF=\frac{1}{2}CF$. 所以$CF=2OF$. 因为$OC=CF+OF=2OF+OF=3OF=18$,所以$OF=6$

9 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，连结OB，OC。若$∠ BOC=100°$，$∠ A=110°$，则$∠ OCD$的度数为°。

9. 30

10 如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,分别延长BC,AD,使它们相交于点E,$AB=8$,且$DC=DE$.
(1) 求证:$∠ BAE=∠ E$;
(2) 若$∠ B=90°$,C为BE的中点,求CD的长.

10. (1) 因为四边形ABCD内接于$\odot O$，所以$∠BAE+∠BCD=180°$. 因为$∠DCE+∠BCD=180°$,所以$∠BAE=∠DCE$. 因为$DC=DE$,所以$∠DCE=∠E$. 所以$∠BAE=∠E$
(2) 由(1)知,$∠BAE=∠E$,因为$AB=8$,所以$BE=AB=8$. 因为C是BE的中点,所以$BC=EC=\frac{1}{2}BE=4$. 因为四边形ABCD内接于$\odot O$,$∠B=90°$,所以$∠ADC=180°-∠B=90°$. 所以$∠EDC=180°-∠ADC=90°$. 所以在$\mathrm{Rt}△CDE$中,$CD^2+DE^2=CE^2=16$. 因为$DC=DE$,所以$2CD^2=16$. 所以$CD=2\sqrt{2}$