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1. [2025 福州校级期末] 在解方程 $\frac{x}{3}= 1-\frac{x - 1}{5}$ 时,去分母后正确的是( )
A.$5x = 3 - 3(x - 1)$
B.$x = 1 - (x - 1)$
C.$5x = 5 - 3(x - 1)$
D.$5x = 15 - 3(x - 1)$
A.$5x = 3 - 3(x - 1)$
B.$x = 1 - (x - 1)$
C.$5x = 5 - 3(x - 1)$
D.$5x = 15 - 3(x - 1)$
答案
D
解析
方程两边同乘15，得$5x=15-3(x-1)$，故选D。
2. [2025 邢台月考] 小组活动中,淇淇所在小组采用接力的方式求一元一次方程的解,规则是每人只能看前面一人给的式子,并进行一步计算,再将结果传递给下一人,最后求出方程的解.过程如下：
接力过程中,自己负责的一步出现错误的是( )
A.淇淇
B.嘉嘉
C.珍珍
D.乐乐
接力过程中,自己负责的一步出现错误的是( )
A.淇淇
B.嘉嘉
C.珍珍
D.乐乐
答案
A
解析
解：方程$\frac{2x - 1}{3}=1-\frac{x + 2}{4}$，
去分母，两边同乘12，得$4(2x - 1)=12 - 3(x + 2)$，
淇淇的步骤为$4(2x - 1)=1 - 3(x + 2)$，常数项漏乘12，错误。
答案：A
去分母，两边同乘12，得$4(2x - 1)=12 - 3(x + 2)$，
淇淇的步骤为$4(2x - 1)=1 - 3(x + 2)$，常数项漏乘12，错误。
答案：A
3. 若 $x = 1$ 是关于 $x$ 的方程 $\frac{3m + x}{2}= m + 3 - x$ 的解,则 $m$ 的值是( )
A.$-\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{5}{3}$
D.$3$
A.$-\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{5}{3}$
D.$3$
答案
D
解析
将$x = 1$代入方程$\frac{3m + x}{2}= m + 3 - x$，得$\frac{3m + 1}{2}= m + 3 - 1$，化简得$\frac{3m + 1}{2}= m + 2$，两边同乘2得$3m + 1 = 2m + 4$，移项得$3m - 2m = 4 - 1$，解得$m = 3$。D
4. 新视角 结论开放题 请你写出一个一元一次方程,且符合下面的要求：①方程的解是 $x = - 4$；②含分母,且去分母时会出现括号.你写的方程是______.
答案
$-\frac{x+1}{2}=\frac{3}{2}$(答案不唯一)
5. (1)若式子 $\frac{2x - 1}{3}$ 与 $3 - 2x$ 的和为 $4$,则 $x = $______；
(2)若式子 $\frac{18 + a}{3}$ 的值比 $a - 1$ 的值大 $1$,则 $a$ 的值为______；
(2)若式子 $\frac{18 + a}{3}$ 的值比 $a - 1$ 的值大 $1$,则 $a$ 的值为______；
答案
(1)-1
(2)9
6. 解下列方程：
(1)$\frac{x - 1}{4}= \frac{2x - 1}{3}-2$；(2)$1-\frac{5 - 3x}{3}= x-\frac{3 - 2x}{9}$.
(1)$\frac{x - 1}{4}= \frac{2x - 1}{3}-2$；(2)$1-\frac{5 - 3x}{3}= x-\frac{3 - 2x}{9}$.
答案
【解】
(1)去分母,得$3(x-1)=4(2x-1)-24$.去括号,得$3x-3=8x-4-24$.移项、合并同类项,得$-5x=-25$.系数化为1,得$x=5$.
(2)去分母,得$9-3(5-3x)=9x-(3-2x)$.去括号,得$9-15+9x=9x-3+2x$.移项、合并同类项,得$-2x=3$.系数化为1,得$x=-\frac{3}{2}$.
(1)去分母,得$3(x-1)=4(2x-1)-24$.去括号,得$3x-3=8x-4-24$.移项、合并同类项,得$-5x=-25$.系数化为1,得$x=5$.
(2)去分母,得$9-3(5-3x)=9x-(3-2x)$.去括号,得$9-15+9x=9x-3+2x$.移项、合并同类项,得$-2x=3$.系数化为1,得$x=-\frac{3}{2}$.
7. [2024 陕西] 星期天,妈妈做饭,小峰和爸爸进行家庭卫生大扫除.根据这次大扫除的任务量,若小峰单独完成,需 $4$ h；若爸爸单独完成,需 $2$ h.当天,小峰先单独打扫了一段时间后,去参加篮球训练,接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务,小峰和爸爸这次一共打扫了 $3$ h,求这次小峰打扫了多长时间.
答案
【解】设这次小峰打扫了$x\ h$,则爸爸打扫了$(3-x)h$,根据题意得$\frac{x}{4}+\frac{3-x}{2}=1$,解得$x=2$.答:这次小峰打扫了2h.
8. 小马同学在将关于 $x$ 的方程 $\frac{x - 1}{3}= \frac{x + 2m}{2}-1$ 去分母时,方程右边的“$-1$”没有乘 $6$,最后他求得方程的解为 $x = 3$,则方程正确的解为( )
A.$x = 3$
B.$x = 8$
C.$x= \frac{3}{4}$
D.$x = 6$
A.$x = 3$
B.$x = 8$
C.$x= \frac{3}{4}$
D.$x = 6$
答案
B
解析
小马去分母时的方程：$2(x - 1) = 3(x + 2m) - 1$
将$x = 3$代入得：$2(3 - 1) = 3(3 + 2m) - 1$
$4 = 9 + 6m - 1$
$4 = 8 + 6m$
$6m = -4$
$m = -\frac{2}{3}$
原方程：$\frac{x - 1}{3} = \frac{x + 2×(-\frac{2}{3})}{2} - 1$
去分母：$2(x - 1) = 3(x - \frac{4}{3}) - 6$
$2x - 2 = 3x - 4 - 6$
$2x - 2 = 3x - 10$
$-x = -8$
$x = 8$
B
将$x = 3$代入得：$2(3 - 1) = 3(3 + 2m) - 1$
$4 = 9 + 6m - 1$
$4 = 8 + 6m$
$6m = -4$
$m = -\frac{2}{3}$
原方程：$\frac{x - 1}{3} = \frac{x + 2×(-\frac{2}{3})}{2} - 1$
去分母：$2(x - 1) = 3(x - \frac{4}{3}) - 6$
$2x - 2 = 3x - 4 - 6$
$2x - 2 = 3x - 10$
$-x = -8$
$x = 8$
B
9. 新考法 换元法 已知关于 $x$ 的方程 $2024x - a= \frac{1}{2025}x + 2026$ 的解为 $x = 3$,那么关于 $y$ 的方程 $2024(y + 1)-a= \frac{1}{2025}(y + 1)+2026$ 的解为( )
A.$-1$
B.$1$
C.$2$
D.$-2$
A.$-1$
B.$1$
C.$2$
D.$-2$
答案
C 【点拨】令$y+1=z$,则关于$y$的方程$2024(y+1)-a=\frac{1}{2025}(y+1)+2026$可转化为关于$z$的方程$2024z-a=\frac{1}{2025}z+2026$.因为关于$x$的方程$2024x-a=\frac{1}{2025}x+2026$的解为$x=3$,所以关于$z$的方程$2024z-a=\frac{1}{2025}z+2026$的解为$z=3$,所以$y+1=3$,解得$y=2$.
