10. [2025 广州越秀区期中] 如果 $a$,$b$ 是定值,且关于 $x$ 的方程 $\frac{2kx + a}{3}= 2+\frac{x + bk}{6}$ 无论 $k$ 为何值时,它的解总是 $x = 1$,那么 $2a + b$ 的值是( )

A.$15$
B.$16$
C.$17$
D.$18$

C 【点拨】将$x=1$代入$\frac{2kx+a}{3}=2+\frac{x+bk}{6}$,得$\frac{2k+a}{3}=2+\frac{1+bk}{6}$,所以$4k+2a=12+1+bk$,所以$4k-bk=13-2a$,所以$k(4-b)=13-2a$,由题意可知$b-4=0$,$13-2a=0$,所以$a=\frac{13}{2}$,$b=4$,所以$2a+b=13+4=17$.

11. [2025 自贡月考] 已知关于 $x$ 的方程 $x-\frac{5 - ax}{6}= \frac{x + 4}{6}-1$ 的解是正整数,则符合条件的所有整数 $a$ 的积是______.

8 【点拨】$x-\frac{5-ax}{6}=\frac{x+4}{6}-1$,方程两边同时乘6,得$6x-(5-ax)=(x+4)-6$,去小括号,得$6x-5+ax=x+4-6$,移项,合并同类项,得$(5+a)x=3$,因为该方程有解,所以$5+a\neq0$,所以$x=\frac{3}{5+a}$,因为该方程的解为正整数且$a$为整数,所以$x=1$或$x=3$,所以$5+a=1$或$5+a=3$,解得$a=-4$或$a=-2$,所以符合条件的所有整数$a$的积为$(-4)×(-2)=8$.

12. [2025 聊城月考] 已知方程 $(m + 2)x^{|m| - 1}-m = 0$ ①是关于 $x$ 的一元一次方程.
(1)求 $m$ 的值；
(2)若上述方程①的解与关于 $x$ 的方程 $x+\frac{6x - a}{3}= \frac{a}{6}-3x$ ②的解互为相反数,求 $a$ 的值.

【解】
(1)因为方程$(m+2)x^{|m|-1}-m=0$是关于$x$的一元一次方程,所以$|m|-1=1$,$m+2\neq0$,所以$m=2$.
(2)当$m=2$时,方程①为$4x-2=0$,解得$x=\frac{1}{2}$.因为方程①的解与关于$x$的方程$x+\frac{6x-a}{3}=\frac{a}{6}-3x$②的解互为相反数,所以方程②的解为$x=-\frac{1}{2}$.解方程②,得$x=\frac{a}{12}$,所以$\frac{a}{12}=-\frac{1}{2}$,所以$a=-6$.

13. [2025 太原校级月考] 七(1)班数学老师在批改小颖的作业时,发现小颖在解方程 $\frac{x + 2}{2}-1= a+\frac{3 - x}{4}$ 时,把“$3 - x$”抄成了“$x - 3$”,解得 $x = 9$,而且“$a$”处的数也模糊不清了.
(1)请你求出“$a$”处的数；
(2)请你求出原方程正确的解.

【解】
(1)把$x=9$代入$\frac{x+2}{2}-1=a+\frac{x-3}{4}$,得$\frac{9+2}{2}-1=a+\frac{9-3}{4}$.整理,得$\frac{11}{2}-1=a+\frac{3}{2}$.去分母,得$11-2=2a+3$.移项,得$-2a=3+2-11$.合并同类项,得$-2a=-6$.系数化为1,得$a=3$.
(2)由
(1)得$a=3$,则原方程为$\frac{x+2}{2}-1=3+\frac{3-x}{4}$.去分母,得$2(x+2)-4=12+3-x$.去括号,得$2x+4-4=12+3-x$.移项,得$2x+x=12+3-4+4$.合并同类项,得$3x=15$.系数化为1,得$x=5$.

14. 新视角 新定义题 定义：如果两个一元一次方程的解之和为 $1$,我们就称这两个方程为“美好方程”.例如：方程 $4x = 8$ 和 $x + 1 = 0$ 为“美好方程”.
(1)若关于 $x$ 的方程 $3x + m = 0$ 与方程 $4x - 2= x + 10$ 是“美好方程”,求 $m$ 的值；
(2)若两个方程为“美好方程”,其中一个方程的解为 $n$,且两个方程的解的差为 $8$,求 $n$ 的值；
(3)若关于 $x$ 的一元一次方程 $\frac{1}{2025}x + 3 = 2x + k$ 和 $\frac{1}{2025}x + 1 = 0$ 是“美好方程”,求关于 $y$ 的一元一次方程 $\frac{1}{2025}(y + 1)+3 = 2y + k + 2$ 的解.

【解】
(1)解方程$3x+m=0$,得$x=-\frac{m}{3}$.解方程$4x-2=x+10$,得$x=4$.因为关于$x$的方程$3x+m=0$与方程$4x-2=x+10$是"美好方程",所以$-\frac{m}{3}+4=1$,所以$m=9$.
(2)因为两个方程为"美好方程",其中一个方程的解为$n$,所以另一个方程的解为$1-n$.又因为两个方程的解的差为8,所以$1-n-n=8$或$n-(1-n)=8$.所以$n=-\frac{7}{2}$或$n=\frac{9}{2}$.
(3)解方程$\frac{1}{2025}x+1=0$,得$x=-2025$.因为关于$x$的一元一次方程$\frac{1}{2025}x+3=2x+k$和$\frac{1}{2025}x+1=0$是"美好方程",所以关于$x$的一元一次方程$\frac{1}{2025}x+3=2x+k$的解为$x=1-(-2025)=2026$.关于$y$的一元一次方程$\frac{1}{2025}(y+1)+3=2y+k+2$可化为$\frac{1}{2025}(y+1)+3=2(y+1)+k$,所以$y+1=2026$,所以$y=2025$.即所求方程的解为$y=2025$.