12. 如图,用同样大小的棋子按以下规律摆放,若第$n个图中有27$枚棋子,则$n = $______。

8 【点拨】第1个图中有棋子3×(1+1)=6(枚),第2个图中有棋子3×(2+1)=9(枚),第3个图中有棋子3×(3+1)=12(枚),…,以此类推,第n个图中有3(n+1)枚棋子.因为第n个图中有27枚棋子,所以3(n+1)=27,解得n=8.

13. 巧用去括号法解下列一元一次方程：
(1)$\frac{1}{2}[x - \frac{1}{2}(x - 1)] = \frac{2}{3}(x - 1)$；
(2)$278(x - 3) - 463(6 - 2x) - 888(7x - 21) = 0$。

(1)原方程可化为1/2[(x-1)+1-1/2(x-1)]=2/3(x-1).去中括号,得1/2(x-1)+1/2-1/4(x-1)=2/3(x-1).移项、合并同类项,得-5/12(x-1)=-1/2.去小括号,得-5/12x+5/12=-1/2.移项、合并同类项,得-5/12x=-11/12.系数化为1,得x=11/5.
(2)原方程可化为278(x-3)+463×2(x-3)-888×7(x-3)=0.逆用分配律,得(278+463×2-888×7)(x-3)=0.因为278+463×2-888×7≠0,所以x-3=0.解得x=3.

14. 情境题工程应用某地政府准备修建一条高速公路,其中一段长为$146m$的山体隧道贯穿工程由甲、乙两个工程队负责施工,甲工程队独立工作$2$天后,乙工程队加入,两个工程队又联合工作了$1$天,这$3天共掘进26m$,已知甲工程队平均每天比乙工程队多掘进$2m$。
(1)甲、乙两个工程队平均每天分别掘进多少米？
(2)若甲、乙两个工程队按此施工速度进行隧道贯穿工程,剩余工程由这两个工程队联合施工完成,则完成这项隧道贯穿工程一共需要多少天？

(1)设乙工程队平均每天掘进xm,则甲工程队平均每天掘进(x+2)m,依题意,得2(x+2)+(x+x+2)×1=26,解得x=5.所以x+2=5+2=7.答:甲工程队平均每天掘进7m,乙工程队平均每天掘进5m.
(2)设完成这项隧道贯穿工程一共需要y天,依题意,得(7+5)(y-3)=146-26,解得y=13.答:完成这项隧道贯穿工程一共需要13天.

15. [2025德州期中]阅读下面材料：
我们都知道,$\vert 5 - (-2)\vert表示5与-2$之差的绝对值,实际上也可理解为$5与-2$两数在数轴上所对应的两点之间的距离。试探索：
【知识应用】
(1)$\vert 5 - (-2)\vert =$______；
(2)同样道理,$\vert x + 1008\vert = \vert x - 1005\vert表示数轴上有理数x所对应的点到-1008和1005$所对应的两点距离相等,则$x = $______；
(3)类似地,$\vert x + 5\vert + \vert x - 2\vert表示数轴上有理数x所对应的点到-5和2$所对应的两点距离之和,请你找出所有符合条件的正整数$x$,使得$\vert x + 5\vert + \vert x - 2\vert = 7$,这样的正整数$x$是______；
【拓展应用】
(4)由以上探索猜想对于任何有理数$x$,$\vert x - 3\vert + \vert x - 6\vert$是否有最小值？如果有,求出最小值；如果没有,说明理由。
(5)当$x$为何值时,$\vert x - 3\vert = 3\vert x + 5\vert$？请求出符合条件的$x$的值。
]

(1)7
(2)-3/2
(3)1,2
(4)有最小值.|x-3|+|x-6|表示数轴上有理数x所对应的点到3和6所对应的两点距离之和,结合数轴可知,当3≤x≤6时,|x-3|+|x-6|有最小值,最小值为6-3=3.
(5)根据绝对值的性质,将原方程分为三种情况讨论:①当x≥3时,方程变为x-3=3(x+5),解得x=-9,与条件矛盾,舍去.②当-5≤x＜3时,方程变为-(x-3)=3(x+5),解得x=-3,符合条件.③当x＜-5时,方程变为-(x-3)=-3(x+5),解得x=-9,符合条件.综上,x=-3或x=-9.