1. (2024·连云港东海一模)函数$y = kx + b$的图像如图所示，下列说法正确的是( )

A. 当$x = - 2$时，$y = 1$
B. $k ＜ 0$
C. 若$y = kx + b$的图像与坐标轴围成的三角形的面积为2，则$b = 2$
D. 若点$( - 1,m)$和点$(1,n)$都在直线$y = kx + b$上，则$m ＞ n$

C

2. (2024·宿迁泗洪三模)已知关于$x$的一次函数为$y = mx + 4m + 3$，则这个函数的图像一定经过( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

B

3. (2023·无锡)请写出一组$k$，$b$的值，使一次函数$y = kx + b$的图像经过第一、三、四象限：______________。

答案不唯一，如$k = 1$，$b = -1$

4. 一次函数$y = ax + 2$的图像经过点$(1,0)$，则当$y ＞ 0$时，$x$的取值范围是________。

$x ＜ 1$

5. (2024·苏州吴江二模)如果将直线$y = - \frac{1}{2}x + 2$沿$x$轴向左平移4个单位长度，那么所得直线对应的函数表达式为______。

$y = -\frac{1}{2}x$

6. (2024·盐城三模)一次函数$y = kx + b$的图像如图所示，则关于$x$的不等式$2kx - b ＜ 0$的解集为________。

$x ＞ 2$

7. (2024·苏州改编)直线$l_1:y = x - 1$与$x$轴交于点$A$，将直线$l_1$绕点$A$按逆时针方向旋转15°，得到直线$l_2$，求直线$l_2$对应的函数表达式。

如图，对于$y = x - 1$，当$x = 0$时，$y = -1$；当$y = 0$时，$x = 1$，$\therefore$点$B$的坐标为$(0, -1)$，点$A$的坐标为$(1,0)$.$\therefore OA = OB = 1$.$\therefore \angle OBA = \angle OAB = 45^{\circ}$. 由题意，得$\angle BAC = 15^{\circ}$，$\therefore$易得$\angle OAC = 45^{\circ}+15^{\circ}=60^{\circ}$. 在$Rt\triangle AOC$中，$\tan\angle OAC=\frac{OC}{OA}$，$\therefore$易得$OC = \sqrt{3}$.$\therefore$点$C$的坐标为$(0, -\sqrt{3})$. 设直线$l_{2}$对应的函数表达式为$y = kx + b$，则$\begin{cases}k + b = 0,\\b = -\sqrt{3},\end{cases}$解得$\begin{cases}k = \sqrt{3},\\b = -\sqrt{3}.\end{cases}$ $\therefore$直线$l_{2}$对应的函数表达式为$y = \sqrt{3}x-\sqrt{3}$

8. 如图，直线$l:y = - \frac{1}{2}x + 4$与$x$轴、$y$轴分别交于$A$，$B$两点，点$C$的坐标为$(6,0)$，$P$是直线$l$上一点，连接$OP$，$CP$。
(1) 当点$P$的横坐标为2时，求$\triangle COP$的面积；
(2) 若$S_{\triangle COP}=\frac{3}{8}S_{\triangle AOB}$，求此时点$P$的坐标。

(1) 在$y = -\frac{1}{2}x + 4$中，令$x = 2$，得$y = 3$，$\therefore$点$P$的坐标为$(2,3)$.$\therefore S_{\triangle OCP}=\frac{1}{2}OC\cdot y_{P}=\frac{1}{2}\times6\times3 = 9$ (2) 在$y = -\frac{1}{2}x + 4$中，令$y = 0$，得$x = 8$；令$x = 0$，得$y = 4$.$\therefore$点$A$，$B$的坐标分别为$(8,0)$，$(0,4)$.$\therefore S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}OA\cdot OB=\frac{1}{2}\times8\times4 = 16$. 设点$P$的坐标为$(m,-\frac{1}{2}m + 4)$，则$S_{\triangle OCP}=\frac{1}{2}OC\cdot|y_{P}|=\frac{1}{2}\times6\times|-\frac{1}{2}m + 4|$.$\because S_{\triangle OCP}=\frac{3}{8}S_{\triangle AOB}$，$\therefore \frac{1}{2}\times6\times|-\frac{1}{2}m + 4|=\frac{3}{8}\times16$，解得$m = 4$或$m = 12$.$\therefore$点$P$的坐标为$(4,2)$或$(12, -2)$