登录
9[教材 P94T11 变式][2025 成都武侯区月考]如果等腰三角形的两边长分别为 2 和 6，那么这个三角形的周长是(
A.10
B.13
C.14
D.10 或 14
C
)A.10
B.13
C.14
D.10 或 14
答案
9 C 若腰长为2,底边长为6,因为 $ 2 + 2 ＜ 6 $,不满足三角形的三边关系,所以该种情况不存在;若腰长为6,底边长为2,则 $ 6 + 2 ＞ 6 $,满足三角形的三边关系,此时三角形的周长为 $ 6 + 6 + 2 = 14 $。综上,该三角形的周长为14。
10[2025 宝鸡一中月考]已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，则$|a + b - c| + |b - a - c| - |c - a + b| =$(
A.$3a - b - c$
B.$a + b - 3c$
C.$-a + 3b - c$
D.$a - 3b + c$
A
)A.$3a - b - c$
B.$a + b - 3c$
C.$-a + 3b - c$
D.$a - 3b + c$
答案
10 A 因为a,b,c是 $ △ A B C $ 的三边长,所以 $ a + b - c ＞ 0 $, $ b - a - c ＜ 0 , c - a + b ＞ 0 $,所以 $ | a + b - c | + | b - a - c | - | c - a + b | = a + b - c - b + a + c - c + a - b = 3 a - b - c $。
名师点睛
解答本题的关键是先根据三角形的三边关系判断绝对值符号内式子的正负,再去掉绝对值符号,最后合并同类项。
名师点睛
解答本题的关键是先根据三角形的三边关系判断绝对值符号内式子的正负,再去掉绝对值符号,最后合并同类项。
11[2025 烟台期末]如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝之间的距离依次为 4，5，6，9，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝间的距离的最大整数值是(
A.7
B.10
C.11
D.14
C
)A.7
B.10
C.11
D.14
答案
11 C
12(1)已知一个等腰三角形的一边长等于 8 cm，一边长等于 9 cm，则其周长为
(2)已知一个等腰三角形的周长为 22 cm，其中一边长为 4 cm，则这个等腰三角形的腰长为
25cm或26cm
；(2)已知一个等腰三角形的周长为 22 cm，其中一边长为 4 cm，则这个等腰三角形的腰长为
9
cm。答案
12 (1)25cm或26cm;(2)9 (1)分两种情况:①当该等腰三角形的腰长为8cm、底边长为9cm时, $ 8 + 8 ＞ 9 $,满足三角形的三边关系,此时周长为 $ 8 + 8 + 9 = 25 ( \mathrm { cm } ) $;②当该等腰三角形的腰长为9cm、底边长为8cm时, $ 8 + 9 ＞ 9 $,满足三角形的三边关系,此时周长为 $ 8 + 9 + 9 = 26 ( \mathrm { cm } ) $。(2)分两种情况:①当该等腰三角形的腰长为4cm时,其底边长为 $ 22 - 4 - 4 = 14 ( \mathrm { cm } ) , 4 + 4 ＜ 14 $,不满足三角形的三边关系,此种情况不成立;②当该等腰三角形的底边长为4cm时,其腰长为 $ \frac { 1 } { 2 } × ( 22 - 4 ) = 9 ( \mathrm { cm } ) , 4 + 9 ＞ 9 $,满足三角形的三边关系,此种情况成立。
13[2025 泉州期中]若一个三角形的三边长 a，b，c 均不相等，且满足$a - b ＞ b - c$(a 为最长边，c 为最短边)，则称它为“不均衡三角形”。例如，一个三角形的三边长分别为 7，5，4，因为$7 - 5 ＞ 5 - 4$，所以这个三角形是“不均衡三角形”。以下 4 组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的是
① 4 cm，2 cm，1 cm；② 13 cm，18 cm，9 cm；③ 19 cm，20 cm，19 cm；④ 9 cm，8 cm，6 cm。
②
。(填序号)① 4 cm，2 cm，1 cm；② 13 cm，18 cm，9 cm；③ 19 cm，20 cm，19 cm；④ 9 cm，8 cm，6 cm。
答案
13 ② ①因为 $ 1 + 2 ＜ 4 $,所以4cm,2cm,1cm不能组成三角形;②因为 $ 18 - 13 ＞ 13 - 9 $,所以13cm,18cm,9cm能组成“不均衡三角形”;③因为 $ 19 = 19 $,不满足三边长均不相等,所以19cm,20cm,19cm不能组成“不均衡三角形”;④因为 $ 9 - 8 ＜ 8 - 6 $,所以9cm,8cm,6cm不能组成“不均衡三角形”。(注意:三条线段必须先满足三角形的三边关系,才能讨论是否能组成“不均衡三角形”)
14[2025 渭南月考]已知△ABC 的三边长均为整数，△ABC 的周长为奇数。
(1)若$AC = 8$，$BC = 2$，求 AB 的长；
(2)若$AC - BC = 5$，求 AB 的最小值。
(1)若$AC = 8$，$BC = 2$，求 AB 的长；
(2)若$AC - BC = 5$，求 AB 的最小值。
答案
14 解:(1)由三角形的三边关系,知 $ A C - B C ＜ A B ＜ A C + B C $,即 $ 8 - 2 ＜ A B ＜ 8 + 2 $,所以 $ 6 ＜ A B ＜ 10 $。
因为 $ △ A B C $ 的周长为奇数,AC,BC的长为偶数,
所以AB的长为奇数,
所以 $ A B = 7 $ 或 $ A B = 9 $。
(2)因为 $ A C - B C = 5 $,
所以AC,BC的长中一个是奇数、一个是偶数,
又因为 $ △ A B C $ 的周长为奇数,所以AB的长为偶数,
因为 $ A B ＞ A C - B C = 5 $,所以AB的最小值为6。
因为 $ △ A B C $ 的周长为奇数,AC,BC的长为偶数,
所以AB的长为奇数,
所以 $ A B = 7 $ 或 $ A B = 9 $。
(2)因为 $ A C - B C = 5 $,
所以AC,BC的长中一个是奇数、一个是偶数,
又因为 $ △ A B C $ 的周长为奇数,所以AB的长为偶数,
因为 $ A B ＞ A C - B C = 5 $,所以AB的最小值为6。
15[应用意识]如图，有 4 个村庄 A，B，C，D，现要建造一座水塔 P。问水塔 P 应建在什么位置，才能使它到 4 个村庄的距离之和最小。请你找出水塔 P 的位置，并说明理由。
答案
15 解:水塔P应建在AC和BD的交点处,这样能使它到4个村庄的距离之和最小。理由如下:
连接AC,BD交于点P,不妨任取一点 $ P ^ { \prime } $(不与点P重合),连接 $ A P ^ { \prime } , B P ^ { \prime } , C P ^ { \prime } , D P ^ { \prime } $。
在 $ △ A P ^ { \prime } C $ 中, $ A P ^ { \prime } + C P ^ { \prime } ＞ A C = A P + C P $,①
在 $ △ B P ^ { \prime } D $ 中, $ B P ^ { \prime } + D P ^ { \prime } ＞ B D = B P + D P $,②
① + ②,得 $ A P ^ { \prime } + B P ^ { \prime } + C P ^ { \prime } + D P ^ { \prime } ＞ A P + B P + C P + D P $,
所以AC和BD的交点到4个村庄的距离之和最小,所以水塔P应建在AC和BD的交点处。
连接AC,BD交于点P,不妨任取一点 $ P ^ { \prime } $(不与点P重合),连接 $ A P ^ { \prime } , B P ^ { \prime } , C P ^ { \prime } , D P ^ { \prime } $。
在 $ △ A P ^ { \prime } C $ 中, $ A P ^ { \prime } + C P ^ { \prime } ＞ A C = A P + C P $,①
在 $ △ B P ^ { \prime } D $ 中, $ B P ^ { \prime } + D P ^ { \prime } ＞ B D = B P + D P $,②
① + ②,得 $ A P ^ { \prime } + B P ^ { \prime } + C P ^ { \prime } + D P ^ { \prime } ＞ A P + B P + C P + D P $,
所以AC和BD的交点到4个村庄的距离之和最小,所以水塔P应建在AC和BD的交点处。
