典例5(2024·泰州姜堰二模)如图,AB = 6,C为线段AB上的一个动点,在AB上方构造等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE,∠ACD = ∠BCE = 90°,点F,G分别在边AD和BE上,且满足$\frac{AF}{AD}$=$\frac{1}{3}$,$\frac{BG}{BE}$=$\frac{2}{3}$,则FG长的最小值为________.
　　　　　　　　　　　　　　　　

[思路点拨]可以构造与FG有关的直角三角形，过点F作FH⊥AB于点H,过点G作GK⊥AB于点K，再过点F作FL⊥GK于点L，可设BC = x，用含x的代数式分别表示出FL,GL的长，结合勾股定理与二次函数，即可求解.

如图，过点F作FH⊥AB于点H，过点G作GK⊥AB于点K，过点F作FL⊥GK于点L，则四边形FHKL为矩形.
∴FL=HK，FH=KL. ∵△ACD为等腰直角三角形，且∠ACD=90°，∴AC=DC，∠A=45°. ∵FH⊥AB，∴易知△AHF也为等腰直角三角形. ∴FH=AH. ∵∠FHA=∠ACD=90°，∴FH//CD. ∴△AHF∽△ACD. ∴$\frac{AH}{AC}=\frac{AF}{AD}=\frac{1}{3}$. ∴AH=FH=$\frac{1}{3}$AC. 同理，可得△BKG为等腰直角三角形，△BKG∽△BCE，∴$\frac{BK}{BC}=\frac{BG}{BE}=\frac{2}{3}$. ∴BK=GK=$\frac{2}{3}$BC. 设BC=x，则AC=AB - BC=6 - x. ∴AH=FH=$\frac{1}{3}$AC=$\frac{1}{3}(6 - x)$，BK=GK=$\frac{2}{3}$BC=$\frac{2x}{3}$. ∴FL=HK=AB - AH - BK=6 - $\frac{1}{3}(6 - x)$ - $\frac{2x}{3}$=4 - $\frac{x}{3}$，GL=|GK - KL|=|$\frac{2x}{3}-\frac{1}{3}(6 - x)$|=|x - 2|. 在Rt△FGL中，由勾股定理，得FG²=FL²+GL²，即FG²=(4 - $\frac{x}{3}$)²+|x - 2|²=$\frac{10}{9}x²-\frac{20}{3}x + 20$. 整理，得FG²=$\frac{10}{9}(x - 3)²+10$. ∴当x=3时，FG²的最小值为10. ∴FG长的最小值为$\sqrt{10}$.

5.(2024·淮安模拟)如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,E是平面内一点,AE = AB,将EB绕点E按顺时针方向旋转90°得到线段EF,连接AF.当AF的长最小时,tan∠CDE的值为________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

如图①，连接AC，BD交于点O，连接OE，BF.
∵四边形ABCD是正方形，∴AO=BO，∠ABO=45°，AC⊥BD. ∴易得AB=$\sqrt{2}$BO=2. ∴BO=AO=$\sqrt{2}$. ∵将EB绕点E按顺时针方向旋转90°得到线段EF，∴BE=EF，∠BEF=90°. ∴易得BF=$\sqrt{2}$BE，∠FBE=45°. ∴∠ABO=∠FBE.
∴∠ABO - ∠OBF=∠FBE - ∠OBF，即∠ABF=∠OBE. 又∵$\frac{AB}{OB}=\frac{BF}{BE}=\sqrt{2}$，∴△ABF∽△OBE. ∴$\frac{AF}{OE}=\sqrt{2}$. ∴AF=$\sqrt{2}$OE. ∵AB=AE=2，∴当点E在AC上(如图②)时，OE的长有最小值，为2 - $\sqrt{2}$. ∴AF长的最小值为2$\sqrt{2}$ - 2. 过点E作EH⊥CD于点H. ∵∠ACD=45°，∴△CEH是等腰直角三角形. 易知CE=2$\sqrt{2}$ - 2，∴易得EH=CH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE=2 - $\sqrt{2}$.
∴DH=CD - CH=$\sqrt{2}$. ∴tan∠CDE=$\frac{EH}{DH}=\sqrt{2}-1$.

典例6(2024·常州)对于平面内有公共点的两个图形,若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离d后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”.
　　　　　　　　　
(1)如图①,B,C,D是线段AE的四等分点.若AE = 4,则在图中,线段AC的“平移关联图形”是________,d = ________(写出符合条件的一种情况即可).
(2)如图②,等边三角形ABC的边长是2.用直尺和圆规作出△ABC的一个“平移关联图形”，且满足d = 2(保留作图痕迹,不要求写作法).
(3)如图③,在平面直角坐标系中,点D,E,G的坐标分别是(−1,0),(1,0),(0,4),以点G为圆心,r为半径画圆.若对⊙G上的任意点F,连接DE,EF,FD所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足d≥3,直接写出r的取值范围.

[思路点拨](1)结合题中的新定义和平移的性质求解即可.(2)在AB延长线上截取BA' = BA，再分别以点B和点A'为圆心,BA'的长为半径画弧交于点C',连接$BC^{'}$和A'C',则△BA'C'即为所求(作法不唯一).
　(3)根据题干可知,要在OG上找一点F,使DF≥3或EF≥3,分DE在圆外和DE在圆内两种情况讨论，即可求解.

(1) BD；1或CE；2(两种情况任填一种即可). (2) 如图①，△A'BC'即为所求(作法不唯一). (3) ∵点D，E，G的坐标分别是(-1，0)，(1，0)，(0，4)，∴OD=OE=1，OG=4.
∴DE=2，DG=EG=$\sqrt{1² + 4²}=\sqrt{17}$. 对⊙G上的任意点F，连接DE，EF，FD所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足d≥3，且DE=2＜3，∴DF≥3或EF≥3. 当DE在⊙G外时(如图②)，当DF长最小时，OF长最小，此时r最大. ∵DF长的最小值为3，此时OF=$\sqrt{DF² - OD²}=2\sqrt{2}$，∴GF≤OG - OF，即0＜r≤4 - 2$\sqrt{2}$. 当DE在⊙G内时(如图③)，当DF长最小时，OF长最小，此时r最小. ∵DF长的最小值为3，此时OF=$\sqrt{DF² - OD²}=2\sqrt{2}$，∴GF≥OG + OF，即r≥4 + 2$\sqrt{2}$.
综上所述，r的取值范围是0＜r≤4 - 2$\sqrt{2}$或r≥4 + 2$\sqrt{2}$.