4.【问题情境】
在一次数学兴趣小组活动中,小昕同学将一大一小两把三角尺按照如图①所示的方式摆放，其中∠ACB = ∠DEB = 90°,∠B = 30°,BE = AC = 3.
【问题探究】
小昕同学将三角尺DEB绕点B按顺时针方向旋转.
(1)如图②,当点E落在边AB上时,延长DE交BC于点F,求BF的长;
(2)若点C,E,D在同一条直线上,求点D到直线BC的距离;
(3)连接DC,取DC的中点G,三角尺DEB由初始位置(如图①)旋转到点C,B,D首次在同一条直线上(如图③),求点G经过的路径长;
(4)如图④,G为DC的中点,则在旋转过程中,点G到直线AB的距离的最大值是________.
　　　　　　

（1）根据题意，得$\angle BEF = \angle BED = 90^{\circ}$。在$Rt\triangle BEF$中，$\angle FBE = \angle ABC = 30^{\circ}$，$BE = 3$，∴$BF = \frac{BE}{\cos \angle FBE} = 2\sqrt{3}$。（2）①如图①，当点$E$在$BC$上方时，过点$D$作$DH \perp BC$于点$H$。在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ABC = 30^{\circ}$，$AC = 3$，
∴$BC = \frac{AC}{\tan \angle ABC} = 3\sqrt{3}$。在$Rt\triangle BED$中，$\angle EBD = \angle ABC = 30^{\circ}$，$BE = 3$，∴$DE = BE \cdot \tan \angle DBE = \sqrt{3}$。∵点$C$，$E$，$D$在同一条直线上，且$\angle DEB = 90^{\circ}$，∴$\angle CEB = 180^{\circ} - \angle DEB = 90^{\circ}$。
∴$CE = \sqrt{BC^{2} - BE^{2}} = 3\sqrt{2}$。∴$CD = CE + DE = 3\sqrt{2} + \sqrt{3}$。
∵$S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2}CD \cdot BE = \frac{1}{2}BC \cdot DH$，∴$DH = \frac{CD \cdot BE}{BC} = \sqrt{6} + 1$。②如图②，当点$E$在$BC$下方时，过点$D$作$DM \perp BC$于点$M$。在$Rt\triangle CEB$中，$BE = 3$，$BC = 3\sqrt{3}$，∴$CE = \sqrt{BC^{2} - BE^{2}} = 3\sqrt{2}$。∴$CD = CE - DE = 3\sqrt{2} - \sqrt{3}$。∴$S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2}BC \cdot DM = \frac{1}{2}CD \cdot BE$，∴$DM = \frac{CD \cdot BE}{BC} = \sqrt{6} - 1$。综上所述，点$D$到直线$BC$的距离为$\sqrt{6} \pm 1$。（3）如图③，取$BC$的中点$O$，连接$GO$。∵$G$是$DC$的中点，$O$是$BC$的中点，∴$OG = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \times \frac{BE}{\cos 30^{\circ}} = \sqrt{3}$，$OG // AB$。∴点$G$在以点$O$为圆心，$\sqrt{3}$为半径的圆上（如图④）。在图③中，∵$OG // AB$，$\angle B = 30^{\circ}$，
∴$\angle GOB = 180^{\circ} - \angle B = 150^{\circ}$。∴三角尺$DEB$绕点$B$按顺时针方向旋转，由初始位置，旋转到点$C$，$B$，$D$首次在同一条直线上时，点$G$的轨迹为一段圆心角为$150^{\circ}$的圆弧。∴点$G$经过的路径长为$\frac{150\pi \times \sqrt{3}}{180} = \frac{5\sqrt{3}\pi}{6}$。（4）如图⑤，取$BC$的中点$O$，过点$O$作$OK \perp AB$于点$K$。∵$O$为$BC$的中点，$BC = 3\sqrt{3}$，∴$OB = \frac{1}{2}BC = \frac{3\sqrt{3}}{2}$。在$Rt\triangle OKB$中，$\angle OBK = 30^{\circ}$，∴$OK = \frac{1}{2}OB = \frac{3\sqrt{3}}{4}$。由（3）知，点$G$在以点$O$为圆心，$\sqrt{3}$为半径的圆上，∴点$G$到直线$AB$的距离的最大值是$\sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{4} = \frac{7\sqrt{3}}{4}$。