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1. (1)写出下列各数的因数。
(2)写出下列各数的倍数。(各写5个)
我发现:一个非零自然数a的最小因数是()，最大因数是()，它的因数的个数是()(填“有限”或“无限”)的；一个非零自然数a的最小倍数是()，它的倍数的个数是()(填“有限”或“无限”)的。
(2)写出下列各数的倍数。(各写5个)
我发现:一个非零自然数a的最小因数是()，最大因数是()，它的因数的个数是()(填“有限”或“无限”)的；一个非零自然数a的最小倍数是()，它的倍数的个数是()(填“有限”或“无限”)的。
答案
(1)
45的因数：1，3，5，9，15，45
63的因数：1，3，7，9，21，63
(2)
8的倍数：8，16，24，32，40
15的倍数：15，30，45，60，75
我发现:一个非零自然数a的最小因数是(1)，最大因数是(a)，它的因数的个数是(有限)的；一个非零自然数a的最小倍数是(a)，它的倍数的个数是(无限)的。
45的因数：1，3，5，9，15，45
63的因数：1，3，7，9，21，63
(2)
8的倍数：8，16，24，32，40
15的倍数：15，30，45，60，75
我发现:一个非零自然数a的最小因数是(1)，最大因数是(a)，它的因数的个数是(有限)的；一个非零自然数a的最小倍数是(a)，它的倍数的个数是(无限)的。
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分步骤思考：
1. 找一个数的因数：从1开始，依次判断哪些数能整除这个数，一对一对地找（比如找45的因数，1和45是一对，3和15是一对，5和9是一对），直到两个因数重复或相邻，这样就能找出所有因数，因数的个数是有限的。
2. 找一个数的倍数：用这个数分别乘1、2、3、4、5……得到的数就是它的倍数，因为自然数的个数是无限的，所以一个数的倍数个数也是无限的，题目要求写5个，我们只需要计算到乘5的结果即可。
3. 最后通过前面找因数和倍数的过程，总结出非零自然数的因数和倍数的特征。
【解析】
(1) 找因数：
对于45：
1×45=45，3×15=45，5×9=45，能整除45的数有1、3、5、9、15、45，所以45的因数是1，3，5，9，15，45。
对于63：
1×63=63，3×21=63，7×9=63，能整除63的数有1、3、7、9、21、63，所以63的因数是1，3，7，9，21，63。
(2) 找倍数：
对于8：
8×1=8，8×2=16，8×3=24，8×4=32，8×5=40，所以8的倍数（写5个）是8，16，24，32，40。
对于15：
15×1=15，15×2=30，15×3=45，15×4=60，15×5=75，所以15的倍数（写5个）是15，30，45，60，75。
根据上述过程总结规律：
一个非零自然数a的最小因数是1，最大因数是a，它的因数的个数是有限的；一个非零自然数a的最小倍数是a，它的倍数的个数是无限的。
【答案】
(1)
45的因数：1，3，5，9，15，45
63的因数：1，3，7，9，21，63
(2)
8的倍数：8，16，24，32，40
15的倍数：15，30，45，60，75
我发现:一个非零自然数a的最小因数是(1)，最大因数是(a)，它的因数的个数是(有限)的；一个非零自然数a的最小倍数是(a)，它的倍数的个数是(无限)的。
【知识点】
1. 因数的找法及特征
2. 倍数的找法及特征
【点评】
本题是因数和倍数的基础题型，重点考查了找因数和倍数的方法，通过实际操作总结出非零自然数因数和倍数的基本性质，帮助学生夯实因数与倍数的核心概念，为后续学习数论相关知识奠定基础。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以分步骤思考：
1. 找一个数的因数：从1开始，依次判断哪些数能整除这个数，一对一对地找（比如找45的因数，1和45是一对，3和15是一对，5和9是一对），直到两个因数重复或相邻，这样就能找出所有因数，因数的个数是有限的。
2. 找一个数的倍数：用这个数分别乘1、2、3、4、5……得到的数就是它的倍数，因为自然数的个数是无限的，所以一个数的倍数个数也是无限的，题目要求写5个，我们只需要计算到乘5的结果即可。
3. 最后通过前面找因数和倍数的过程，总结出非零自然数的因数和倍数的特征。
【解析】
(1) 找因数：
对于45：
1×45=45，3×15=45，5×9=45，能整除45的数有1、3、5、9、15、45，所以45的因数是1，3，5，9，15，45。
对于63：
1×63=63，3×21=63，7×9=63，能整除63的数有1、3、7、9、21、63，所以63的因数是1，3，7，9，21，63。
(2) 找倍数：
对于8：
8×1=8，8×2=16，8×3=24，8×4=32，8×5=40，所以8的倍数（写5个）是8，16，24，32，40。
对于15：
15×1=15，15×2=30，15×3=45，15×4=60，15×5=75，所以15的倍数（写5个）是15，30，45，60，75。
根据上述过程总结规律：
一个非零自然数a的最小因数是1，最大因数是a，它的因数的个数是有限的；一个非零自然数a的最小倍数是a，它的倍数的个数是无限的。
【答案】
(1)
45的因数：1，3，5，9，15，45
63的因数：1，3，7，9，21，63
(2)
8的倍数：8，16，24，32，40
15的倍数：15，30，45，60，75
我发现:一个非零自然数a的最小因数是(1)，最大因数是(a)，它的因数的个数是(有限)的；一个非零自然数a的最小倍数是(a)，它的倍数的个数是(无限)的。
【知识点】
1. 因数的找法及特征
2. 倍数的找法及特征
【点评】
本题是因数和倍数的基础题型，重点考查了找因数和倍数的方法，通过实际操作总结出非零自然数因数和倍数的基本性质，帮助学生夯实因数与倍数的核心概念，为后续学习数论相关知识奠定基础。
【难度系数】
0.8
2. 智能工厂里，机械臂可以通过输入设定值，将相同个数的零件装箱打包。一批零件有24个，如果不能每次单个打包，也不能一次全部打包，且最后正好打包完成，那么一共可以有()种不同的设定值。
A. 8
B. 7
C. 6
D. 5
A. 8
B. 7
C. 6
D. 5
答案
24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24
8-2=6（种）
答：一共可以有6种不同的设定值，选C。
8-2=6（种）
答：一共可以有6种不同的设定值，选C。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确：每次打包相同个数且正好完成，说明设定值是24的因数。题目要求不能每次单个打包（排除因数1），也不能一次全部打包（排除因数24），所以解题思路是先找出24的所有因数，再去掉不符合要求的1和24，剩下的因数个数就是不同设定值的数量。
【解析】
1. 找出24的所有因数：通过列举法，可得24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，共8个。
2. 排除不符合条件的因数：去掉不能单个打包的1和不能一次全部打包的24，剩余符合要求的因数为2、3、4、6、8、12，共6个。
3. 结论：符合要求的不同设定值有6种。
【答案】
C
【知识点】
因数的概念、因数的应用
【点评】
本题主要考查对因数概念的理解与应用，解题关键是准确找出24的所有因数，并根据题目要求排除不符合条件的因数，需注意审题仔细，避免遗漏排除项。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先明确：每次打包相同个数且正好完成，说明设定值是24的因数。题目要求不能每次单个打包（排除因数1），也不能一次全部打包（排除因数24），所以解题思路是先找出24的所有因数，再去掉不符合要求的1和24，剩下的因数个数就是不同设定值的数量。
【解析】
1. 找出24的所有因数：通过列举法，可得24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，共8个。
2. 排除不符合条件的因数：去掉不能单个打包的1和不能一次全部打包的24，剩余符合要求的因数为2、3、4、6、8、12，共6个。
3. 结论：符合要求的不同设定值有6种。
【答案】
C
【知识点】
因数的概念、因数的应用
【点评】
本题主要考查对因数概念的理解与应用，解题关键是准确找出24的所有因数，并根据题目要求排除不符合条件的因数，需注意审题仔细，避免遗漏排除项。
【难度系数】
0.8
3. 猜一猜，写一写。
答案
1
40
17
40
17
解析
【分析】
1. 第一个空：思考所有非零自然数共有的因数，由于任何非零自然数除以1都能整除，所以1是所有非零自然数的因数。
2. 第二个空：根据因数和倍数的核心性质，一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，因此当最大因数和最小倍数均为40时，这个数就是40。
3. 第三个空：先分别找出34和17的因数，再筛选出它们的公因数，排除1后即可得到答案。
【解析】
1. 因为所有非零自然数都能被1整除，所以所有非零自然数的因数是1，第一个空填1。
2. 依据“一个数的最大因数和最小倍数都是它本身”的性质，已知最大因数和最小倍数都是40，所以这个数是40，第二个空填40。
3. 列举因数：34的因数为1、2、17、34；17的因数为1、17。两者的公因数是1和17，题目要求不是1，因此第三个空填17。
【答案】
1；40；17
【知识点】
因数的定义；因数倍数性质；公因数求解
【点评】
本题围绕因数、倍数的基础概念展开，重点考查对“一个数的最大因数和最小倍数是其本身”这一性质的理解，以及公因数的筛选方法，属于基础概念应用类题目，理清概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
1. 第一个空：思考所有非零自然数共有的因数，由于任何非零自然数除以1都能整除，所以1是所有非零自然数的因数。
2. 第二个空：根据因数和倍数的核心性质，一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，因此当最大因数和最小倍数均为40时，这个数就是40。
3. 第三个空：先分别找出34和17的因数，再筛选出它们的公因数，排除1后即可得到答案。
【解析】
1. 因为所有非零自然数都能被1整除，所以所有非零自然数的因数是1，第一个空填1。
2. 依据“一个数的最大因数和最小倍数都是它本身”的性质，已知最大因数和最小倍数都是40，所以这个数是40，第二个空填40。
3. 列举因数：34的因数为1、2、17、34；17的因数为1、17。两者的公因数是1和17，题目要求不是1，因此第三个空填17。
【答案】
1；40；17
【知识点】
因数的定义；因数倍数性质；公因数求解
【点评】
本题围绕因数、倍数的基础概念展开，重点考查对“一个数的最大因数和最小倍数是其本身”这一性质的理解，以及公因数的筛选方法，属于基础概念应用类题目，理清概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
4. 规律探索 想一想，填一填。
(1)42和56都是7的倍数，42与56的和()(填“是”或“不是”)7的倍数。
(2)72和45都是9的倍数，72与45的和()(填“是”或“不是”)9的倍数。
(3)如果$ m = a + b + c $，其中a，b，c都是8的倍数，那么m()(填“是”或“不是”)8的倍数。
(4)通过以上三个题，你发现了什么? 。
(1)42和56都是7的倍数，42与56的和()(填“是”或“不是”)7的倍数。
(2)72和45都是9的倍数，72与45的和()(填“是”或“不是”)9的倍数。
(3)如果$ m = a + b + c $，其中a，b，c都是8的倍数，那么m()(填“是”或“不是”)8的倍数。
(4)通过以上三个题，你发现了什么? 。
答案
(1)
42+56=98
98÷7=14
是
(2)
72+45=117
117÷9=13
是
(3)
是
(4)
如果几个数都是同一个数的倍数，那么它们的和也是这个数的倍数。
42+56=98
98÷7=14
是
(2)
72+45=117
117÷9=13
是
(3)
是
(4)
如果几个数都是同一个数的倍数，那么它们的和也是这个数的倍数。
解析
【分析】
对于这道规律探索题，我们可以分步骤思考：
1. 第(1)(2)小题：先计算两个数的和，再用和除以给定的数，判断是否能整除，若能整除则和是这个数的倍数，反之则不是。
2. 第(3)小题：根据倍数的定义，若a、b、c都是8的倍数，可将它们表示为8与整数的乘积，再对$m=a+b+c$进行变形，看是否能写成8与某个整数的乘积，从而判断m是否为8的倍数。
3. 第(4)小题：结合前三个小题的结果，归纳总结出共性规律。
【解析】
(1) 先计算42与56的和：$42 + 56 = 98$，再计算$98 ÷ 7 = 14$，98能被7整除，所以42与56的和是7的倍数。
(2) 计算72与45的和：$72 + 45 = 117$，再计算$117 ÷ 9 = 13$，117能被9整除，所以72与45的和是9的倍数。
(3) 因为a、b、c都是8的倍数，设$a=8x$，$b=8y$，$c=8z$（x、y、z均为整数），则$m = a + b + c = 8x + 8y + 8z = 8(x+y+z)$，由于$x+y+z$是整数，所以m是8的倍数。
(4) 结合前三个小题的结论，可总结规律：如果几个数都是同一个数的倍数，那么它们的和也是这个数的倍数。
【答案】
(1) 是
(2) 是
(3) 是
(4) 如果几个数都是同一个数的倍数，那么它们的和也是这个数的倍数。
【知识点】
倍数的性质、归纳推理、整除判断
【点评】
本题通过具体的数字计算和代数推理，引导学生探索并总结倍数的性质，既考查了对倍数、整除概念的理解，又培养了学生的归纳总结能力和逻辑推理能力，属于基础规律探索题，有助于学生加深对倍数相关知识的掌握。
【难度系数】
0.8
对于这道规律探索题，我们可以分步骤思考：
1. 第(1)(2)小题：先计算两个数的和，再用和除以给定的数，判断是否能整除，若能整除则和是这个数的倍数，反之则不是。
2. 第(3)小题：根据倍数的定义，若a、b、c都是8的倍数，可将它们表示为8与整数的乘积，再对$m=a+b+c$进行变形，看是否能写成8与某个整数的乘积，从而判断m是否为8的倍数。
3. 第(4)小题：结合前三个小题的结果，归纳总结出共性规律。
【解析】
(1) 先计算42与56的和：$42 + 56 = 98$，再计算$98 ÷ 7 = 14$，98能被7整除，所以42与56的和是7的倍数。
(2) 计算72与45的和：$72 + 45 = 117$，再计算$117 ÷ 9 = 13$，117能被9整除，所以72与45的和是9的倍数。
(3) 因为a、b、c都是8的倍数，设$a=8x$，$b=8y$，$c=8z$（x、y、z均为整数），则$m = a + b + c = 8x + 8y + 8z = 8(x+y+z)$，由于$x+y+z$是整数，所以m是8的倍数。
(4) 结合前三个小题的结论，可总结规律：如果几个数都是同一个数的倍数，那么它们的和也是这个数的倍数。
【答案】
(1) 是
(2) 是
(3) 是
(4) 如果几个数都是同一个数的倍数，那么它们的和也是这个数的倍数。
【知识点】
倍数的性质、归纳推理、整除判断
【点评】
本题通过具体的数字计算和代数推理，引导学生探索并总结倍数的性质，既考查了对倍数、整除概念的理解，又培养了学生的归纳总结能力和逻辑推理能力，属于基础规律探索题，有助于学生加深对倍数相关知识的掌握。
【难度系数】
0.8
5. 小天今年的年龄是2和7的共同的倍数中最小的一个，爸爸今年的年龄既是小天年龄的倍数，也是42的因数。爸爸和小天今年各多少岁?
答案
2×7=14（岁）
14×3=42（岁）
答：爸爸今年42岁，小天今年14岁。
14×3=42（岁）
答：爸爸今年42岁，小天今年14岁。
解析
【分析】
首先，我们需要确定小天的年龄：题目要求是2和7共同的倍数中最小的一个，也就是求2和7的最小公倍数。因为2和7是互质数，互质数的最小公倍数就是它们的乘积，所以可以直接计算得出小天的年龄。
接着，确定爸爸的年龄：爸爸的年龄既是小天年龄的倍数，又是42的因数。我们先找出42的所有因数，再从这些因数中筛选出是小天年龄倍数的数，同时结合实际生活中爸爸和孩子的年龄差，排除不符合逻辑的选项，就能得到爸爸的年龄。
【解析】
1. 计算小天的年龄：
因为2和7是互质数，它们的最小公倍数为两者的乘积，即：
$2×7 = 14$（岁）
所以小天今年14岁。
2. 确定爸爸的年龄：
先找出42的所有因数：1、2、3、6、7、14、21、42。
其中是14的倍数的数有14和42，结合实际年龄关系，爸爸的年龄不可能和小天相同，所以爸爸的年龄是42岁。
答：爸爸今年42岁，小天今年14岁。
【答案】
爸爸今年42岁，小天今年14岁。
【知识点】
最小公倍数求解，因数的应用，实际年龄分析
【点评】
本题综合考查了最小公倍数和因数的相关知识，同时需要结合生活实际判断年龄的合理性，既考察了数学概念的掌握，也培养了学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
首先，我们需要确定小天的年龄：题目要求是2和7共同的倍数中最小的一个，也就是求2和7的最小公倍数。因为2和7是互质数，互质数的最小公倍数就是它们的乘积，所以可以直接计算得出小天的年龄。
接着，确定爸爸的年龄：爸爸的年龄既是小天年龄的倍数，又是42的因数。我们先找出42的所有因数，再从这些因数中筛选出是小天年龄倍数的数，同时结合实际生活中爸爸和孩子的年龄差，排除不符合逻辑的选项，就能得到爸爸的年龄。
【解析】
1. 计算小天的年龄：
因为2和7是互质数，它们的最小公倍数为两者的乘积，即：
$2×7 = 14$（岁）
所以小天今年14岁。
2. 确定爸爸的年龄：
先找出42的所有因数：1、2、3、6、7、14、21、42。
其中是14的倍数的数有14和42，结合实际年龄关系，爸爸的年龄不可能和小天相同，所以爸爸的年龄是42岁。
答：爸爸今年42岁，小天今年14岁。
【答案】
爸爸今年42岁，小天今年14岁。
【知识点】
最小公倍数求解，因数的应用，实际年龄分析
【点评】
本题综合考查了最小公倍数和因数的相关知识，同时需要结合生活实际判断年龄的合理性，既考察了数学概念的掌握，也培养了学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
